1.1探索勾股定理同步訓練

一、單選題

1.在RS/1BC中，ZC=90°,AC=5,BC=3,貝的長為（）

A.V13B.4C.V29D.V34

2.《醉翁亭記》中寫道：“…射者中…”，其中“射”指投壺，宴飲時的一種游戲，現(xiàn)有一圓柱

形投壺內(nèi)部底面直徑是5cn,內(nèi)壁高12cm,若箭長17cm,則箭在投壺外面部分的長度不可

能是（）

A.6cmB.5cmC.4.5cmD.4cm

3.一個外輪廓為長方形的機器零件剖面示意圖如圖所示，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：mm）,

可得出兩圓孔中心A,B之間的距離為（）

A.110mmB.170mmC.200mmD.240mm

4.如圖，在ACDE中，^CDE=90°,DE=12cm,CE=13cm,以CD為邊作正方形

則正方形的面積是（）

A.5cm2B.25cm2C.144cm2D.169cm2

5.如圖所示，小明想知道學校旗桿88的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面時還多了1m,

當他把繩子拉直，端點C剛好著地，下端C距離B點5m,則旗桿的高為（）

A.5mB.6mC.12mD.13m

6.如圖，在RtAB/lC中，=90°,AC=3,AB=4,BC的垂直平分線分別交力B,BC于

點。，E.則AD的長為（）

7.意大利著名畫家達?芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個空洞的面積是相等的,

如圖所示，證明了勾股定理，若設圖1中空白部分的面積為工，圖2中空白部分的面積為S2,

則下列對工，S2所列等式不正確的是（）

222

A.Sj=a+/?+2abB.S2=c+ab

C.Si=a?+匕2+帥D.Si=S2

二、填空題

8.如圖，△48C中，AB=AC=5,BC=6,貝U底邊BC上的高40=

9.如圖，兩個較小正方形的面積分別為4,10,則字母A所代表的正方形的邊長是,

10.文物發(fā)掘是考古學的重要組成部分，是對過去歷史遺跡和遺物的科學探索.如圖，考古

學家在某地探明一文物位于4點正下方12m的點P處，由于A點地下有障礙物，無垂直下挖,

于是他們從距離A點5m處的點B處斜著挖掘，那么要挖到該文物至少要挖m.

11.如圖，我國古代數(shù)學家得出的“趙爽弦圖''是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密

鋪構成的大正方形.若小正方形與大正方形的面積分別是為1、8,則直角三角形兩直角邊

12.如圖，在△ABC中，AB=13,AD=12,AD1BC,AC=20.求△ABC的面積.

13.如圖，在一而豎直的水泥墻CQ的4處有兩名跑酷運動員（9C=S米），為爭奪地面目標

點4一名運動員從4處沿墻面攀爬至地面，再奔跑至A處（力C=10米），另一名運動員

從8處繼續(xù)沿墻面攀爬至頂端D后，直接向A處跳躍（跳躍軌跡按直線計算）.若兩名運動

員所經(jīng)過的路程長度相等，求水泥墻CO的高度.

14.如圖，在等腰Rta/18C中，Z.ACB=90°,點。是48上一點，作等腰Rt△CCE,JLzDCF=

90°,連接力E.

(1)求證：AE=BDx

(2)求證：BD2+AD2=DE2.

15.如圖，在△4BC中，LACB=45°,AE,8"分別是BC,4c邊上的高，4E與BF相交于點

P，CP的延長線交48于點0.

(1)問與APCF全等嗎?請說明理由;

(2)若4c=7,AF=3,求CO的長.

<1.1探索勾股定理同步訓練2025-2026學年北師大版數(shù)學八年級上冊》參考答案

1.D

【分析】根據(jù)勾股定理，直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和，直接計算即可.

本題考查勾股定理的應用，涉及的知識點是直角三角形中勾股定理的內(nèi)容.解題中用到的方

法是公式代入法，直接應用勾股定理公式計算斜邊.解題關鍵是準確識別直角邊與斜邊，避

免邊的位置混淆.易錯點是記錯勾股定理的公式，或混淆直角邊與斜邊的平方和關系.

【詳解】???在中，4c=90°,

：,AB2=AC2+BC2,

'：AC=5,BC=3,

?MF=52+32=25+9=34,

=V34.

故選D.

2.A

【分析】本題考查了勾股定理的應用，求出箭在投壺外面部分的最大長度和最小長度即可判

斷求解?，利用勾股定理求出筋在投壺外面部分的最小長度是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意可得，箭在投壺外面部分的最大長度為17-12=5cm,

最小長度為17-V52+122=4cm,

???箭在投壺外面部分的長度不可能是6cm.

故選：A.

3.B

【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)圖中信息，先運算得出AC=80mm,8C=150mm,再

運用勾股定理列式計算，即可作答.

【詳解】解：觀察圖中的數(shù)據(jù)，得出AC=120-40=80(mm),BC=200-50=150(mm),

在Rt△48c中，AB=y/AC2+BC2=V6400+22500=170(mm),

故選：B

4.B

【分析】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那

么/+》2=，2根據(jù)勾股定理可求出進而求出正方形48CZ)的面積.

【詳解】解：在RtaCDE中，LCDE=90°,

由勾股定理得：CD2=CE2-DE2=132-122=25,

AS正方形ABCD=CD?=25cm2.

故選：B.

5.C

【分析】此題考查了學生利用勾股定理解決實際問題的能力，關鍵是利用勾股定理即可求得

48的長.

根據(jù)題意設旗桿的高A3為xm,則繩子的長為（％十l）m,再利用勾股定理即可求得A6的

長，即旗桿的高.

【詳解】解：設旗桿的高為xm,則繩子AC的長為

在RS4BC中，AB2+BC2=AC2,

"+52=Q+1）2,

解得x=12,

=12,

???旗桿的高12m.

故選C.

6.A

【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解

答的關鍵.

連接CD,由線段垂直平分線的性質(zhì)推山8。=CD,設力。=%,由勾股定理得到（4一為2=

x2+32,求出％=得到AD=

88

【詳解】解：連接CD,

;?！甏怪逼椒?。,

:.BD=CD,

設40=X,

：,CD=BD=AB-AD=4-x,

??z=90°,

：.CD2=AC2+AD2,

/.(4-x)2=x2+32,

?.?x——7,

8

7

：.AD=-.

8

故選：A.

7.A

【分析】本題考查了勾股定理的證明，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關

鍵是讀懂圖像信息.根據(jù)勾股定理、直角三角形以及正方形的面積公式計算，即可解決問題.

22

【詳解】解：由勾股定理可得層+b=c,

22222

由題意，可得Si=a+6+2x=a+b+ab=c+abt

22

S2=c+2x-ab=c+ab,

所以Si=S2

故選項A符合題意，選項B、C、D不符合題意.

故選：A.

8.4

【分析】本題考查了等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)和勾股定理的應用，熟知兩個知識點并結

合圖形靈活應用是解題關謔.先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到3,再根據(jù)勾股定理即可

求出力。即可.

【詳解】解：???4B=/1C=5,BC=6,AD1BC,

:.CD=-BC=3,

2

：.AD=yjAC2-CD2=4.

故答案為：4.

9.舊

【分析】本題考查了勾股定理，結合勾股定理和正方形的面積公式，得字母A所代表的正

方形的面積等于其它兩個正方形的面積之和.進而可求出邊長.

【詳解】解：字母A所代表的正方形的面積=10+4=14.

則字母A所代表的正方形的邊長是g.

故答案為：V14.

10.13

【分析】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵，由題意得4B=5m,

AP=12m,Z.BAP=900,利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：由題意得4B=5m,AP=12m,484P=90。，

：,PB2=AB24-AP2=52+122=169,

:?PB=13,

即要挖到該文物至少要挖13m,

故答案為：13.

II.V15

［分析】本題考查了勾股定理以及完全平方公式.注意完全平方公式的展開：(a+b)2=a2+

b2+2ab,還要注意圖形的面積和a,b之間的關系.根據(jù)大正方形的面積即可求得c2,利用

勾股定理可以得到Q2+/)2=C2,然后求得直角三角形的面積即可求得ab的值，根據(jù)

(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解.

【詳解】解：設大正方形的邊長為c,

???大正方形的面積是8,

c2=8,

a2+b2=c2=S,

?.?直角三角形的面積是?=：,

44

...-1ab,=7

24

???ab=

2

???(a+b}2=a2+b24-2ab=c2+2ab=8+2x(=15.

???a+b=g(舍去負值).

故答案為：V15.

12.126

【分析】本題考查了勾股定理.

根據(jù)勾股定理求出8D與OC的長，據(jù)此解答.

【詳解】解：在與RtZi4C0中，由勾股定理得，

BD=>JAB2-AD2=V132-122=5,CD=>JAC2-AD2=V202-122=16,

；?BC=BD+CD=21,

/.△ABC的面積=坊CTO=2x21x12=126.

22

13.當米

【分析】本題主要考查了勾股定理，閱讀題目信息可得兩名跑酷運動員所經(jīng)過的距離相等是

指BD+A￡)=BC+AC,設CD=x,根據(jù)勾股定理列方程求解.

【詳解】解：設水泥墻的高度為x米，則3。=。。一8。=(%-5)米，

由題意,知力C1C。，

所以44CD=90。，

因為兩名運動員所經(jīng)過的路程長度相等，

所以BO+力。=BC+4C,即x-5+/。=5+10,

所以40=(20-工)米，

在RSAC。中，由勾股定理得力C2+C/52=力。2,即1()2+%2=(20一%)2,

解得無即米，

答：水泥墻。。的高度為￡米.

14.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)

是解題的關鍵.

(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出"=C。，AC=BC,^ECD=^ACB=90°,再證明

△AECFDC(SAS),即可得出結論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結合勾股定理可得出結論.

【詳解】(1)證明：???在等腰中，Z.ACB=90°,在等腰RtZkDCE中，Z-DCE=90°,

CE=CD,AC=BC,/ECD=^ACB=90°,

???LECA=乙DCB,

.*.△AEC^△BDC(SAS).

???AE=BD.

(2)由(1)知力E=BD,

???在等B要RtZk/BC中，^.ACB=90°,

乙B=LBAC=45°.

AEC=△BDC,

???Z.EAC=Z.B=45°.

二Z.EAD=Z.EAC+Z.BAC=90°.

:./IE24-/ID2=DE2,

:.BD2+AD2=DE2.

15.（1248F與△PCF全等，理由見解析

⑵CD=