第八章二

重積分教學(xué)內(nèi)容和基本要求

理解二重積分的概念，及其性質(zhì),

掌握積分中值定理。掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)).重點(diǎn)與難點(diǎn)二重積分的計(jì)算方法,二重積分的定義引例主要內(nèi)容第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的性質(zhì)回憶定積分.設(shè)一元函數(shù)y=f(x)在[a,b]可積.則0xyabxixi+1

iy=f(x)f(

i)其中

i[xi,xi+1],xi=xi+1

xi表示小區(qū)間[xi,xi+1]的長,f(

i)xi表示小矩形的面積,λ為所有小區(qū)間長度的最大值.§8.1二重積分的概念與性質(zhì)多元函數(shù)積分學(xué)的內(nèi)容簡介

一元積分學(xué)是討論確定形式和式的極限，并用此思想得出了一些量的計(jì)算。

這種討論和式的極限的思想可以推廣到定義在區(qū)域上的多元函數(shù)的情形。

柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂1.曲頂柱體的體積一、引例曲頂柱體曲頂柱體：以曲面∑：z=f(x,y)為頂，一般z=f(x,y)在D上連續(xù)。以平面有界區(qū)域D為底，側(cè)面是柱面，該柱面以D為準(zhǔn)線，母線平行于z軸。

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法。

設(shè)有一立體.其底面是xOy

面上的區(qū)域D,其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面,其頂是曲面z=f(x,y)0,連續(xù).Oyzxz=f(x,y)D如何求曲頂柱體的體積V.步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，

先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，

具體步驟見下頁:(i)

用曲線將D分成n個小區(qū)域D1,D2,…,Dn

,每個小區(qū)域Di都對應(yīng)著一個小曲頂柱體.如圖z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi(ii)由于Di很小,z=f(x,y)連續(xù),小曲頂柱體可近似看作小平頂柱體.(

i,

i)Di.小平頂柱體的高=f(

i,

i).若記

i=Di的面積.則小平頂柱體的體積=f(

i,

i)

i

小曲頂柱體體積

f(

i,

i)

(

i,

i)Diz=f(x,y)(iii)

因此,大曲頂柱體的體積

分割得越細(xì),則右端的近似值越接近于精確值V,若分割得“無限細(xì)”,

則右端近似值會無限接近于精確值V.也就是(iv)

其中Di的直徑是指Di中相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)的距離.其中

(

i,

i)Di,

i=Di的面積.xyDi如圖

當(dāng)平面薄板的質(zhì)量是均勻分布時,平面薄板的質(zhì)量=面密度×面積.2.平面薄板的質(zhì)量M.

若平面薄板的質(zhì)量不是均勻分布的.這時,薄板的質(zhì)量不能用上述公式算,應(yīng)如何算該薄板的質(zhì)量M？(i)

用曲線將D分成n個小區(qū)域D1,D2,…,Dn

,

設(shè)一平面薄板,所占區(qū)域?yàn)镈,面密度

(x,y)0

連續(xù).(x,y)D.求該平面薄板的質(zhì)量M.0xyDDiDi的面積記作

i.0xyDDi

由于

(x,y)0連續(xù),從而當(dāng)Di很小時,

(x,y)在Di上的變化不大,可近似看作

(x,y)在Di上是不變的.

從而可用算均勻薄板的質(zhì)量的方法算出Di這一小塊質(zhì)量的近似值.(ii)即,(

i,

i)Di,以

(

i,

i)作為Di這一小片薄板的面密度.從而,第i

片薄板的質(zhì)量mi

(

i,

i)

i(iii)故,平面薄板的質(zhì)量(iv)

設(shè)z=f(x,y)是定義在有界閉區(qū)域D

R2上的有界函數(shù).

將D任意分割成n個無公共內(nèi)點(diǎn)的小區(qū)域Di(i=1,2,…,n),其面積記為

i.(

i,

i)Di,作積f(

i,

i)

i,

二、二重積分的定義1.定義

若對任意的分法和任意的取法,當(dāng)

0時,和式的極限存在且極限值都為I,則稱f(x,y)在D上可積,

記為f(x,y)

R(D),并稱此極限值

I為f(x,y)在D上的二重積分.記作

即積分區(qū)域被積函數(shù)面積微元二重積分符號積分變量積分和注1.

定積分二重積分區(qū)別在將小區(qū)間的長度

xi換成小區(qū)域的面積

i,

將一元函數(shù)f(x)在數(shù)軸上點(diǎn)

i

處的函數(shù)值f(

i)換成二元函數(shù)f(x,y)在平面上點(diǎn)(

i,

i)處的函數(shù)值f(

i,

i).可見,二重積分是定積分的推廣.注2.

若將D用兩族平行于x軸和y軸的直線分割.(如圖)DiD則除邊界上區(qū)域外,Di的面積

i=xi

yi,故也將二重積分寫成是我們常用的寫法注3.

可以證明若f(x,y)在D上連續(xù),則f(x,y)在D

上可積,

若f(x,y)在D上有界,且在D內(nèi)只有有限個不連續(xù)點(diǎn),或只在有限條曲線上不連續(xù),則f(x,y)可積.三、二重積分的性質(zhì)設(shè)D為有界閉區(qū)域,以下涉及的積分均存在.性質(zhì)1.

性質(zhì)2.性質(zhì)3.性質(zhì)4.若在D上有f(x,y)

g(x,y),則特別:(i)若在D上f(x,y)0,則(ii)這是因?yàn)?/p>

|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|積分后即得.性質(zhì)5.若在D上m

f(x,y)

M,則設(shè)

f(x,y)

C(D),則(

,

)D,使得性質(zhì)6.性質(zhì)7.1.二重積分的幾何意義(i)

z=f(x,y)