第九章無窮級數(shù)教學內(nèi)容和基本要求

理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解

無窮級數(shù)基本性質及收斂的必要條件。掌握幾何級數(shù)和p—級數(shù)的收斂性。

了解交錯級數(shù)的萊布尼茲定理。了解正項級數(shù)的比較審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審斂法。

了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。

了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。掌握比較簡單的冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法（區(qū)間端點的收斂性可不作要求）。了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質。了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。會利用ex、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)u的麥克勞林（Maclaurin）展開式將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。重點與難點重點：無窮級數(shù)收斂和發(fā)散的概念;

正項級數(shù)的比值審斂法;

級數(shù)絕對收斂與收斂的關系;

冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間;Taylor級數(shù);

函數(shù)的冪級數(shù)展開式.難點：求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.

1.計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積一、問題的提出利用“割圓術”進行計算n無限增大時，和無限接近于面積?！?.1常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(1).《莊子、天下篇》中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！卑衙刻旖叵碌牟糠珠L度“加”起來為＝12.等比數(shù)列求和以上例子都有共同的特點：(2).它們是無窮個數(shù)相加的表達式討論的問題：(1).以無窮數(shù)列為基礎；無窮個數(shù)相加的表達式是否存在和。即：是否存在一個實數(shù)與此表達式對應。此實數(shù)為多少？由此給出下列級數(shù)等概念設有數(shù)列u1,u2,…,un,…,則式子稱為一個常數(shù)項無窮級數(shù).簡稱數(shù)項級數(shù)或級數(shù).第n項un稱為級數(shù)的一般項或通項.二、常數(shù)項級數(shù)的概念1,(常數(shù)項)無窮級數(shù).級數(shù)是無窮多個數(shù)的和.它可能是一個確定的數(shù),也可能不是一個確定的數(shù).比如0+0+…+0+…=0,而1+1+…+1+…就不是一個數(shù).都是常數(shù)項級數(shù)記Sn

=u1+u2+…+un.稱為此級數(shù)的前n項部分和.(如S1=u1,S2

=u1+u2,…,Sn

=u1+u2+…+un.)由部分和構成的數(shù)列S1,S2,…,Sn

,…,稱為此級數(shù)的部分和數(shù)列.易見.(i)un=Sn–Sn

–1(ii)從形式上看,有2.級數(shù)的部分和定義:則稱此級數(shù)收斂,極限值S稱為該級數(shù)的和.記作3.常數(shù)項級數(shù)的斂散性稱為該級數(shù)的余和(余項,余式)性質1.(級數(shù)收斂的必要條件).證:

由于un=Sn–Sn–1三、常數(shù)項級數(shù)的基本性質注1.

性質1是級數(shù)收斂的必要條件而非充分條件.也即,

性質1的逆否命題為

這是以后我們判定一個級數(shù)發(fā)散的重要結論.注２.

例如.級數(shù)1+2+…+n+…,故級數(shù)發(fā)散.故此級數(shù)發(fā)散.性質2.

則

,

R,證

級數(shù)特別(i)取

=1,

=1.(ii)取

=0.推論:

性質3.

證:

只證在級數(shù)中去掉一項的情形.其余情形類似.u1+u2+…+uk–1+uk+1+…在級數(shù)中去掉或增加有限項.不改變級數(shù)的斂散性.由于uk是常數(shù),其極限存在且為uk

.因此,即新級數(shù)與原來的級數(shù)有相同的斂散性.則對其任意加括號后所得到的級數(shù)仍然收斂,且其和不變.性質4.

即,若u1+u2+…+un+…=S.(收斂)則任意加括號后所成新級數(shù).

(u1+u2)+(u3+u4+u5)+(u6+u7)+…=v1+v2+v3+…=S.(收斂)其中,v1=

(u1+u2),v2=

(u3+u4+u5),v3=

(u6+u7)…證:

用

m表示加括號后所成級數(shù)

v1+v2+v3+…=(u1+u2)+(u3+u4+u5)+(u6+u7)+…的前m項部分和.則

1=v1=(u1+u2)=S2,

2=v1+v2=S5,

3=v1+v2+v3=S7,…,一般,設

m=Sn

.其中m

n.當m

時,n.從而故加括號后所成級數(shù)收斂于S.注:比如,級數(shù)(1–1)+(1–1)+…+(1–1)+…收斂于0.但去括號的級數(shù)是發(fā)散的.或由S2n=0,性質4的逆命題不成立.即,若加括號后所成級數(shù)收斂.不能保證原來級數(shù)(即,去括號的級數(shù))收斂.推論:

若加括號的級數(shù)發(fā)散,則原來級數(shù)發(fā)散.而S2n–1=1,都可知原級數(shù)發(fā)散.對于一般的等比級數(shù)(幾何級數(shù))

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上證:用反證法

從而vn

=wn–un.

練習記wn

=un+vn

.設斂斂斂