第1頁（共1頁）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之二項式定理（2025年12月）一．選擇題（共8小題）1．設(shè)i為虛數(shù)單位，則（x+i）6的展開式中含x4的項為（）A．﹣15x4 B．15x4 C．﹣20ix4 D．20ix42．若(xA．180 B．120 C．90 D．453．若（x2﹣a）（x+1x）10的展開式x6的系數(shù)為30，則A．13 B．12 C．1 D4．在(x2+A．15 B．20 C．30 D．1205．在（x2+x+y）6的展開式中，x5y2的系數(shù)為（）A．60 B．15 C．120 D．306．若（2x﹣3）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．107．以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角性”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)為（）A．2017×22015 B．2017×22014 C．2016×22015 D．2016×220148．（1+2x）3（1-3x）5的展開式中A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4二．多選題（共4小題）（多選）9．設(shè)（2x﹣1）5＝a0+a1x+?+a5x5，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)0＝1 B．a(chǎn)1+a2+a3+a4+a5＝1 C．a(chǎn)0+a2+a4＝﹣121 D．a(chǎn)1+a3+a5＝122（多選）10．（1+ax+by）n的展開式中不含y的項的系數(shù)的絕對值的和為32，則a，n的值可能為（）A．a(chǎn)＝2，n＝5 B．a(chǎn)＝1，n＝6 C．a(chǎn)＝﹣1，n＝5 D．a(chǎn)＝1，n＝5（多選）11．關(guān)于(xA．該二項展開式中二項式系數(shù)和是﹣1 B．該二項展開式中第七項為C2020C．該二項展開式中不含有理項 D．當(dāng)x＝100時，(x-1)2020（多選）12．設(shè)（2x+1）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+?+a6（x+1）6，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝36 B．a(chǎn)2+a3＝100 C．a(chǎn)1+2a2+3a3+?+6a6＝12 D．當(dāng)x＝999時，（2x+1）6除以2000的余數(shù)是1三．填空題（共4小題）13．設(shè)n∈N*，an為（x+4）n﹣（x+1）n的展開式的各項系數(shù)之和，bn＝[a15]+[2a252]+…+[nan5n]（[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)），則(n-14．設(shè)a≠0，n是大于1的自然數(shù)，（1+xa）n的展開式為a0+a1x+a2x2+…+anxn．若點Ai（i，ai）（i＝0，1，2）的位置如圖所示，則a＝15．已知（2x﹣1）4＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+a4（x﹣1）4，則a2＝．16．在（1+x+x2）n=D2n0+D2n1x+D2n2x2+?+D2n2n-1x2n﹣1+D2n2nx（1）若在（1+ax）（1+x+x2）5的展開式中，x8的系數(shù)為75，則實數(shù)a的值為；（2）D360C180四．解答題（共4小題）17．已知(3x-（1）求展開式中含x3項的系數(shù)；（2）求(1+118．設(shè)（2x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn展開式中只有第1010項的二項式系數(shù)最大．（1）求n；（2）求|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|；（3）求a119．已知fn（1）設(shè)g（x）＝f3（x）+f4（x）+…+f10（x），求g（x）中含x3項的系數(shù)；（2）化簡：2C（3）證明：Cm20．設(shè)m，n∈N，f（x）＝（1+x）m+（1+x）n．（1）當(dāng)m＝n＝5時，若f(x)=a5(1-x)5+a4(1-x)（2）f（x）展開式中x的系數(shù)是9，當(dāng)m，n變化時，求x2系數(shù)的最小值．

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之二項式定理（2025年12月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案AADAADBC二．多選題（共4小題）題號9101112答案CDCDBDACD一．選擇題（共8小題）1．設(shè)i為虛數(shù)單位，則（x+i）6的展開式中含x4的項為（）A．﹣15x4 B．15x4 C．﹣20ix4 D．20ix4【考點】二項式定理．【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；二項式定理．【答案】A【分析】利用二項展開式的通項公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展開式中含x4的項為C64x4?i2＝﹣15x故選：A．【點評】本題考查二項式定理，深刻理解二項展開式的通項公式是迅速作答的關(guān)鍵，屬于中檔題．2．若(xA．180 B．120 C．90 D．45【考點】二項展開式的通項與項的系數(shù)．【專題】計算題．【答案】A【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項的值．【解答】解：由題意可得只有第六項的二項式系數(shù)Cn5最大，∴n＝故展開式的通項公式為Tr+1=C10r?x10-r2?2r?x﹣2r＝2r令10-5r2=0，求得r＝2，故展開式中的常數(shù)項是22C故選：A．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．3．若（x2﹣a）（x+1x）10的展開式x6的系數(shù)為30，則A．13 B．12 C．1 D【考點】二項式定理．【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；二項式定理；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意求出（x+1x）10展開式中含x4項、x6項的系數(shù)，得出（x2﹣a）（x+1x）10的展開式中x【解答】解：（x+1x）Tr+1=C10r?x10﹣r?(1x)r令10﹣2r＝4，解得r＝3，所以x4項的系數(shù)為C10令10﹣2r＝6，解得r＝2，所以x6項的系數(shù)為C10所以（x2﹣a）（x+1x）10的展開式中xC103-a解得a＝2．故選：D．【點評】本題考查了利用二項展開式的通項公式求二項展開式的特定項問題問題，是基礎(chǔ)題目．4．在(x2+A．15 B．20 C．30 D．120【考點】二項式定理．【專題】計算題．【答案】A【分析】利用二項展開式中中間項的二項式系數(shù)最大求出n，再用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為0求出常數(shù)項【解答】解：∵二項展開式中中間項的二項式系數(shù)最大又∵二項式系數(shù)最大的項只有第4項∴展開式中共有7項∴n＝6展開式的通項為Tr+1=C6r(x2令12﹣3r＝0，r＝4，展開式的常數(shù)項為T5＝C64＝15故選：A．【點評】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)：二項展開式中中間項的二項式系數(shù)最大．考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．5．在（x2+x+y）6的展開式中，x5y2的系數(shù)為（）A．60 B．15 C．120 D．30【考點】二項式定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】A【分析】由題意，利用二項式定理展開式，即可解出結(jié)果．【解答】解：在（x2+x+y）6的展開式中，含y2的項為C62?（x2+x）4?y故含x5y2的系數(shù)為C62?C故選：A．【點評】本題考查了二項式定理，學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．若（2x﹣3）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10【考點】二項式定理．【專題】二項式定理；數(shù)學(xué)建模；運算求解．【答案】D【分析】對已知等式求導(dǎo)數(shù)，對求導(dǎo)后的等式中的x賦值1，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值．【解答】解：對等式兩邊求導(dǎo)數(shù)得10（2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4令x＝1得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5故選：D．【點評】本題考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、考查賦值法求展開式的系數(shù)和常用的方法．7．以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角性”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)為（）A．2017×22015 B．2017×22014 C．2016×22015 D．2016×22014【考點】二項式定理的應(yīng)用．【專題】計算題；規(guī)律型；探究型；推理和證明；新文化類．【答案】B【分析】數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，第2016行只有M，由此可得結(jié)論【解答】解：由題意，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，故第1行的第一個數(shù)為：2×2﹣1，第2行的第一個數(shù)為：3×20，第3行的第一個數(shù)為：4×21，…第n行的第一個數(shù)為：（n+1）×2n﹣2，第2016行只有M，則M＝（1+2016）?22014＝2017×22014故選：B．【點評】本題考查了由數(shù)表探究數(shù)列規(guī)律的問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．8．（1+2x）3（1-3x）5的展開式中A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【考點】二項式定理．【專題】計算題．【答案】C【分析】利用完全平方公式展開，利用二項展開式的通項公式求出x的系數(shù)．【解答】解：（1+2x）3（1-3x）5＝（1+6x+12x+8xx）（1故（1+2x）3（1-3x）5的展開式中含x的項為1×C53（3x）3+12x＝﹣10x+12xC50＝所以x的系數(shù)為2．故選：C．【點評】本小題主要考查了考生對二項式定理的掌握情況，尤其是展開式的通項公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開式中項的系數(shù)與其二項式系數(shù)，同時也考查了考生的一些基本運算能力二．多選題（共4小題）（多選）9．設(shè)（2x﹣1）5＝a0+a1x+?+a5x5，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)0＝1 B．a(chǎn)1+a2+a3+a4+a5＝1 C．a(chǎn)0+a2+a4＝﹣121 D．a(chǎn)1+a3+a5＝122【考點】二項式定理．【專題】對應(yīng)思想；分析法；二項式定理；運算求解．【答案】CD【分析】分別令x＝0和x＝1即可判斷A，B選項；令x＝﹣1和x＝1即可判斷C，D選項．【解答】解：對于A：令x＝0，解得a0＝﹣1，A錯誤；對于B：令x＝1，得到a0+a1+...+a5＝1，再結(jié)合a0＝﹣1，得到a1+a2+a3+a4+a5＝2，B錯誤；對于C，D：令x＝﹣1，得到a0﹣a1+a2+...﹣a5＝﹣243，再結(jié)合到a0+a1+...+a5＝1，可得a0+a2+a4＝﹣121，a1+a3+a5＝122．故選：CD．【點評】本題主要考查二項式定理，屬于中檔題．（多選）10．（1+ax+by）n的展開式中不含y的項的系數(shù)的絕對值的和為32，則a，n的值可能為（）A．a(chǎn)＝2，n＝5 B．a(chǎn)＝1，n＝6 C．a(chǎn)＝﹣1，n＝5 D．a(chǎn)＝1，n＝5【考點】二項式定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】CD【分析】據(jù)（1+ax+by）n展開式中不含y的項是n個（1+ax+by）都不取by，即（1+ax+by）n展開式中不含y的項的系數(shù)絕對值的和就是（1+ax）n展開式中系數(shù)絕對值的和，進而求得結(jié)論．【解答】解：不含y的項的系數(shù)的絕對值為（1+|a|）n＝32＝25，∴n＝5，a＝1或﹣1；故選：CD．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用以及分步乘法原理的應(yīng)用，屬于中檔題目．（多選）11．關(guān)于(xA．該二項展開式中二項式系數(shù)和是﹣1 B．該二項展開式中第七項為C2020C．該二項展開式中不含有理項 D．當(dāng)x＝100時，(x-1)2020【考點】二項式定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】BD【分析】由二項式系數(shù)和為2n，即可判斷選項A；由二項展開式的通項公式求得第七項即可判斷選項B；求出二項展開式的通項公式即可判斷選項C；由二項式定理求得（10﹣1）2020＝100（C20200102018-C20201102017+C20202102016-C【解答】解：二項式(x-1)2020的展開式中二項式系數(shù)和為2展開式中第七項為T7=C20206(x)2014（﹣該二項展開式的通項公式為Tr+1=C2020r(x)2020-r（﹣1）當(dāng)r＝0，2，4，…，2020時，Tr+1為有理項，故C錯誤；當(dāng)x＝100時，（10﹣1）2020的通項公式為（﹣1）rC2020r102020﹣所以（10﹣1）2020=C20200102020-C20201102019+C20202102018-＝100（C20200102018-C20201102017+C20202102016所以（10﹣1）2020除以100的余數(shù)是1，故D正確．故選：BD．【點評】本題主要考查二項式定理及其應(yīng)用，考查二項展開式的通項公式及二項式系數(shù)，屬于中檔題．（多選）12．設(shè)（2x+1）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+?+a6（x+1）6，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝36 B．a(chǎn)2+a3＝100 C．a(chǎn)1+2a2+3a3+?+6a6＝12 D．當(dāng)x＝999時，（2x+1）6除以2000的余數(shù)是1【考點】二項式定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】ACD【分析】選項A，采用賦值法，令x＝﹣2，即可得解；選項B，變形可得（2x+1）6＝[﹣1+2（x+1）]6，寫出其展開式的通項公式，從而得a2和a3的值，得解；選項C，根據(jù)選項B中的通項公式，分別求得a1，a4，a5和a6的值，再代入運算，得解；選項D，（2x+1）6＝19996＝（2000﹣1）6，展開運算，即可．【解答】解：令x＝﹣2，則a0﹣a1+a2﹣?+a6＝（﹣2×2+1）6＝36，即選項A正確；（2x+1）6＝[﹣1+2（x+1）]6，其展開式的通項公式為Tr+1=C6r?（﹣1）6﹣r?[2（x+1）]r＝2r?C6r?（﹣1）6﹣r?（所以a2=22?C62?(-1所以a2+a3＝﹣100，即選項B錯誤；同理可得，a1＝﹣12，a4＝240，a5＝﹣192，a6＝64，所以a1+2a2+3a3+?+6a6＝﹣12+2×60+3×（﹣160）+4×240+5×（﹣192）+6×64＝12，即選項C正確；當(dāng)x＝999時，（2x+1）6＝19996＝（2000﹣1）6=C其中前6項均可以被2000整除，只有最后一項為1不能被2000整除，所以余數(shù)為1，即選項D正確．故選：ACD．【點評】本題考查二項式定理，熟練掌握二項式展開式的通項公式，賦值法是解題的關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．設(shè)n∈N*，an為（x+4）n﹣（x+1）n的展開式的各項系數(shù)之和，bn＝[a15]+[2a252]+…+[nan5n]（[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)），則(n-【考點】二項式定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；邏輯思維．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】令x＝1，有an＝5n﹣2n，求出bn，則(n-t)2+(bn-2+t)2（t∈R）的幾何意義為點（n，n2-n2）到點（t，2﹣t）的距離的平方，最小值為點（1，0【解答】解：令x＝1，有an＝5n﹣2n，∴nan5n=n[1﹣（∴[nan5n]＝n﹣1，bn＝[a15]+[2a252]+…+[nan因此(n-t)2+(bn-2+t)2表示點A（因為y=12x(x-1)與y＝2﹣x的交點的橫坐標(biāo)x0∈（1，2）且n∈N*，又點（1，0）與（2，1）距直線y＝2故(n-t)2+(b故答案為：12【點評】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用、點線距離公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解水平和分析推理能力，有一定的難度．14．設(shè)a≠0，n是大于1的自然數(shù)，（1+xa）n的展開式為a0+a1x+a2x2+…+anxn．若點Ai（i，ai）（i＝0，1，2）的位置如圖所示，則a＝3【考點】二項式定理．【專題】二項式定理．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】求出（1+xa）n的展開式的通項為Tk+1=Cnk(xa)k=1akCn【解答】解：（1+xa）n的展開式的通項為由圖知，a0＝1，a1＝3，a2＝4，∴1aCnna=3，a2﹣3a＝0，解得a＝3，故答案為：3．【點評】本題考查解決二項式的特定項問題，關(guān)鍵是求出展開式的通項，屬于一道中檔題．15．已知（2x﹣1）4＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+a4（x﹣1）4，則a2＝24．【考點】二項式定理．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；二項式定理．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意，將（2x﹣1）4變形為[2（x﹣1）+1]4，分析其展開式的通項Tr+1＝24﹣rC4r（x﹣1）4﹣r，令r＝2可得：T3＝22C42（x﹣1）2＝24（x﹣1）2，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，（2x﹣1）4＝[2（x﹣1）+1]4，其展開式的通項Tr+1＝C4r[2（x﹣1）]4﹣r×1r＝24﹣rC4r（x﹣1）4﹣r，令r＝2可得：T3＝22C42（x﹣1）2＝24（x﹣1）2，又由（2x﹣1）4＝a0+a1（x﹣1）+a2(x-1則a2＝24；故答案為：24．【點評】本題考查二項式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是對（2x﹣1）的變形．16．在（1+x+x2）n=D2n0+D2n1x+D2n2x2+?+D2n2n-1x2n﹣1+D2n2nx（1）若在（1+ax）（1+x+x2）5的展開式中，x8的系數(shù)為75，則實數(shù)a的值為2；（2）D360C180【考點】二項式定理的應(yīng)用．【專題】計算題；閱讀型；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用廣義楊輝三角形得出第4行的系數(shù)，并計算出第五行，再計算出（1+ax）（x2+x+1）5的展開式中x8系數(shù)的表達式，即可求出a；（2）利用二項式定理得出（x﹣1）18的展開式，將D360C180-D361C181+D362C182-D363C18【解答】解：（1）由題意可得廣義楊輝三角形第4行為：1，4，10，16，19，16，10，4，1；第5行為：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；所以（1+ax）（x2+x+1）5的展開式中，x8項的系數(shù)為15+30a＝75，解得a＝2；（2）由題意可知，(1+x+x2)所以，D360C180-D361C181+D362C182-D363C18而二項式（x3﹣1）18的展開式通項為C18r?(x3)18-r?(-1)r，令3×（18﹣故答案為：2；C18【點評】本題考查二項式定理，考查二項式定理與楊輝三角形之之間的關(guān)系，屬于中等題．四．解答題（共4小題）17．已知(3x-（1）求展開式中含x3項的系數(shù)；（2）求(1+1【考點】二項展開式的通項與項的系數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先求出n＝9，利用通項公式即可得；（2）（1+1x）（2x﹣1）n＝（2x﹣1）9【解答】解：（1）因為(3x-所以令x＝1．得：2n＝512，所以n＝9，通項公式：Tr+1＝C9r（3x﹣1）9﹣r（﹣x12）r＝C9r39﹣r（﹣1令32r﹣9＝3，解得r＝8C98×3＝27，所以x3（2）由（1）知，n＝9，（1+1x）（2x﹣1）n＝（2x﹣1）9因為（2x﹣1）n的展開式的通項為Tr+1＝Cnr（2x）n﹣r（﹣1）所以（2x﹣1）9的常數(shù)項為T10＝（﹣1）9＝﹣1，(2x-1)9x的常數(shù)項為C所以（1+1x）（2x﹣1）n的展開式中的常數(shù)項為﹣1+18＝【點評】本題考查二項式定理，考查通項，屬于中檔題．18．設(shè)（2x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn展開式中只有第1010項的二項式系數(shù)最大．（1）求n；（2）求|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|；（3）求a1【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由二項式系數(shù)的對稱性，可得展開式共計2019項，n2+1＝1010，由此求得（2）要求的式子即即（2x+1）n＝（2x+1）2018的展開式中各項系數(shù)和，令x＝1，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|的值．（3）先求得a0＝1，再令x=12，可得1+a12+【解答】解：（1）由二項式系數(shù)的對稱性，可得展開式共計2019項，且n2+1＝1010，∴n＝（2）|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|即（2x+1）n＝（2x+1）2018的展開式中各項系數(shù)和，令x＝1，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|＝32018．（3）在（2x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn中，令x＝0，可得a0＝1，再令x=12，可得1+a12【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．19．已知fn（1）設(shè)g（x）＝f3（x）+f4（x）+…+f10（x），求g（x）中含x3項的系數(shù)；（2）化簡：2C（3）證明：Cm【考點】二項式定理．【專題】方程思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；二項式定理．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由g（x）＝（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）10，g（x）中含x3項的系數(shù)為：?3（2）通項為(k+1)Cnk=kCnk+Cnk，fn(x)=(1+x)n（3）設(shè)h（x）＝（1+x）m+2（1+x）m+1+……+n（1+x）m+n﹣1．函數(shù)h（x）中含：xm項的系數(shù)為：?nm+2?m+1m+??+n?m+n-1m．由（1+x）h（x）＝（1+x）m+1+2（1+x）m+2+……+（1+x）m+n．可得：﹣xh（x）＝（1+x）m+（1+x）m+1+……+（1+x）m+n﹣1﹣n（1+x）m+n．利用求和公式化為：h（x）=【解答】解：（1）由g（x）＝（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）10所以g（x）中含x3項的系數(shù)為：C33+（2）通項為(k+1)Cnk=kCn∴fn兩邊求導(dǎo)可得：n（1+x）n﹣1=k=1令x＝1得到n?∴2Cn1（3）設(shè)h（x）＝（1+x）m+2（1+x）m+1+……+n（1+x）m+n﹣1．①則函數(shù)h（x）中含：xm項的系數(shù)為：?nm+2?∵（1+x）h（x）＝（1+x）m+1+2（1+x）m+2+……+（1+x）m+n．②①﹣②可得：﹣xh（x）＝（1+x）m+（1+x）m+1+……+（1+x）m+n﹣1﹣n（1+x）m+n．即﹣xh（x）=(1+x)m[1-(1+x)n]1-(1+x)-化為：h（x）=(1+x函數(shù)h（x）中含xm的系數(shù)為：-?∴Cm【點評】本題考查了二項式定理的通項公式、組合數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運算法則、等比數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20．設(shè)m，n∈N，f（x）＝（1+x）m+（1+x）n．（1）當(dāng)m＝n＝5時，若f(x)=a5(1-x)5+a4(1-x)（2）f（x）展開式中x的系數(shù)是9，當(dāng)m，n變化時，求x2系數(shù)的最小值．【考點】二項式定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；二項式定理．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）當(dāng)m＝n＝5時，f（x）＝2（1+x）5，令x＝0時，x＝2時，代入相加即可得出．（2）由題意可得：?m1+?n1=m+n＝【解答】解：（1）當(dāng)m＝n＝5時，f（x）＝2（1+x）5，令x＝0時，f（0）＝a5+a4+…+a1+a0＝2，令x＝2時，f（2）＝﹣a5+a4+…﹣a1+a0＝2×35，相加可得：a0+a2+a4=2+2×3（2）由題意可得：?m1+?n1x2系數(shù)=?又m，n∈N，∴m＝4或5，其最小值為16．即m=4n=5或m=5n=4時，x2系數(shù)的最小值為【點評】本題考查了二項式定理的展開式及其性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．二項式定理【知識點的認識】二項式定理又稱牛頓二項式定理．公式（a+b）n=i=0nCnian例1：用二項式定理估算1.0110＝1.105．（精確到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101?19×0.01+C102?18?0.01故答案為：1.105．這個例題考查了二項式定理的應(yīng)用，也是比較常見的題型．例2：把(3i-x)解：由題意T8=C107×(3i)3×(-1)故答案為：3603i．通過這兩個例題，大家可以看到二項式定理的重點是在定理，這類型的題都是圍著這個定理運作，解題的時候一定要牢記展開式的形式，能正確求解就可以了．性質(zhì)1、二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)n，都有這個公式就叫做二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b）n的二項展開式．其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)．注意：（1）二項展開式有n+1項；（2）二項式系數(shù)與二項展開式系數(shù)是兩個不同的概念；（3）每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，