第1頁（共1頁）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之橢圓（2025年12月）一．選擇題（共8小題）1．已知橢圓的焦點F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），P是橢圓上一點，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中項，則橢圓的方程是（）A．x216+y29=C．x24+y232．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足MF1→?MFA．（0，1） B．（0，12] C．（0，22） D．[223．點P在焦點為F1（﹣4，0）和F2（4，0）的橢圓上，若△PF1F2面積的最大值為16，則橢圓標準方程為（）A．x220+y24=C．x232+y2164．過橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)A．22 B．33 C．12 5．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，P為橢圓C上除長軸端點外的任一點，△F1A．12 B．13 C．23 6．已知方程x22-m+A．（﹣1，2） B．(-C．(-1，17．橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的兩頂點為A（a，0），BA．3-12 B．1+54 C．58．F1、F2是橢圓C：x225+y29=1的左、右焦點，點P在橢圓C上，|PF1|＝6，過F1作∠F1A．1 B．2 C．3 D．4二．多選題（共4小題）（多選）9．設(shè)橢圓的方程為x22+y24=1，斜率為k的直線不經(jīng)過原點O，而且與橢圓相交于AA．直線AB與OM垂直 B．若點M坐標為（1，1），則直線方程為2x+y﹣3＝0 C．若直線方程為y＝x+1，則點M坐標為（13，D．若直線方程為y＝x+2，則|AB|=（多選）10．如圖所示，用一個與圓柱底面成θ（0＜θ＜π2）角的平面截A．橢圓的長軸長等于4 B．橢圓的離心率為32C．橢圓的標準方程可以是x2D．橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為4（多選）11．我們通常稱離心率是5-12的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A1，A2，B1，B2A．|A1F1|?|F2A2|＝|F1F2|2 B．∠F1B1A2＝90° C．PF1⊥x軸，且PO∥A2B1 D．四邊形A1B2A2B1的內(nèi)切圓過焦點F1，F(xiàn)2（多選）12．已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，長軸長為4A．離心率的取值范圍為（0，12）B．當離心率為24時，|QF1|+|QP|的最大值為4+C．存在點Q使得QF1D．1|QF三．填空題（共4小題）13．已知平面直角坐標系中有兩個定點A（﹣2，0），B（2，0），若動點P滿足|PA|+|PB|＝6，則動點P的軌跡方程為．14．已知橢圓：x24+y2b2=1(0＜b＜2)，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|+|AF15．橢圓x29+y22=1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上，若|PF1|＝4，則|PF2|＝，∠F1PF216．橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F四．解答題（共4小題）17．平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率是32，拋物線E：（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M．（?。┣笞C：點M在定直線上；（ⅱ）直線l與y軸交于點G，記△PFG的面積為S1，△PDM的面積為S2，求S1S218．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1過點A（﹣（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點B（﹣4，0）的直線l交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別交直線x＝﹣4于點P，Q．求|PB||BQ|19．設(shè)橢圓x2a2+y23=1（a＞3）的右焦點為F（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸于點H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍．20．已知斜率為k的直線l與橢圓C：x24+y23=1交于A，B兩點，線段AB的中點為M（1（1）證明：k＜-1（2）設(shè)F為C的右焦點，P為C上一點，且FP→+FA→+FB→=0→．證明：|FA

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之橢圓（2025年12月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CCCBABCA二．多選題（共4小題）題號9101112答案BDBCDBDBD一．選擇題（共8小題）1．已知橢圓的焦點F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），P是橢圓上一點，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中項，則橢圓的方程是（）A．x216+y29=C．x24+y23【考點】橢圓的標準方程．【專題】計算題．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓和數(shù)列的基本性質(zhì)以及題中已知條件便可求出a和b值，進而求得橢圓方程．【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|＝2，∵|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，∴2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|＝4，∴點P在以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓上，∵2a＝4，a＝2c＝1∴b2＝3，∴橢圓的方程是x故選：C．【點評】本題利用橢圓的定義求解橢圓的坐標方程，關(guān)鍵是求出其基本量．2．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足MF1→?MFA．（0，1） B．（0，12] C．（0，22） D．[22【考點】橢圓的幾何特征．【專題】計算題．【答案】C【分析】由MF1→?MF2→=0知M點的軌跡是以原點O為圓心，半焦距c為半徑的圓．又M點總在橢圓內(nèi)部，∴c＜b，c2＜b2【解答】解：設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為a，b，c，∵MF1→?∴M點的軌跡是以原點O為圓心，半焦距c為半徑的圓．又M點總在橢圓內(nèi)部，∴該圓內(nèi)含于橢圓，即c＜b，c2＜b2＝a2﹣c2．∴e2=c2a2＜1故選：C．【點評】本題考查橢圓的基本知識和基礎(chǔ)內(nèi)容，解題時要注意公式的選取，認真解答．3．點P在焦點為F1（﹣4，0）和F2（4，0）的橢圓上，若△PF1F2面積的最大值為16，則橢圓標準方程為（）A．x220+y24=C．x232+y216【考點】由橢圓的焦點焦距求解橢圓方程或參數(shù)．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】C【分析】由已知求得c，結(jié)合△PF1F2面積的最大值為16，求得b，再由隱含條件求解a，則橢圓標準方程可求．【解答】解：由題意，2c＝8，即c＝4，∵△PF1F2面積的最大值為16，∴12即4b＝16，b＝4，∴a2＝b2+c2＝16+16＝32．則橢圓的標準方程為x2故選：C．【點評】本題考查橢圓標準方程的求法，明確△PF1F2面積何時取最大值是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．4．過橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)A．22 B．33 C．12 【考點】求橢圓的離心率．【專題】計算題．【答案】B【分析】把x＝﹣c代入橢圓方程求得P的坐標，進而根據(jù)∠F1PF2＝60°推斷出2cb2a=3整理得3e2+2e【解答】解：由題意知點P的坐標為（﹣c，b2a）或（﹣c，∵∠F1PF2＝60°，∴2cb即2ac=3b2=3（a2﹣c∴3e2+2e-3=∴e=33或e故選：B．【點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查了考生綜合運用橢圓的基礎(chǔ)知識和分析推理的能力．5．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，P為橢圓C上除長軸端點外的任一點，△F1A．12 B．13 C．23 【考點】橢圓的幾何特征．【專題】壓軸題；運算求解．【答案】A【分析】在焦點△F1PF2中，設(shè)P（x0，y0），由三角形重心坐標公式，可得重心G的縱坐標，因為IG→=λF1F2→，故內(nèi)心I的縱坐標與G相同，最后利用三角形F1PF2【解答】解：設(shè)P（x0，y0），∵G為△F1PF2的重心，∴G點坐標為G（x03，∵IG→=λF1F∴I的縱坐標為y0在焦點△F1PF2中，|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴S△F1PF2=12?|F又∵I為△F1PF2的內(nèi)心，∴I的縱坐標y0內(nèi)心I把△F1PF2分為三個底分別為△F1PF2的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形∴S△F1PF2=12（|PF1|+|F1F∴12?|F1F2|?|y0|=12（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）即12×2c?|y0|=12（2a+2c）∴2c＝a，∴橢圓C的離心率e=故選：A．【點評】本題考查了橢圓的標準方程和幾何意義，重心坐標公式，三角形內(nèi)心的意義及其應(yīng)用，橢圓離心率的求法6．已知方程x22-m+A．（﹣1，2） B．(-C．(-1，1【考點】橢圓的標準方程．【專題】計算題；方程思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標準方程的形式可得2-m＞【解答】解：根據(jù)題意，方程x2則2-解可得：﹣1＜m＜2，且m≠1故m的取值范圍為（﹣1，12）∪（12，故選：B．【點評】本題考查橢圓的標準方程，注意橢圓標準方程的基本形式，屬于基礎(chǔ)題．7．橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的兩頂點為A（a，0），BA．3-12 B．1+54 C．5【考點】橢圓的幾何特征．【專題】計算題；數(shù)學(xué)建模；運算求解．【答案】C【分析】先求出F的坐標求出直線AB和BF的斜率，兩直線垂直可知兩斜率相乘得﹣1，進而求得a和c的關(guān)系式，進而求得e．【解答】解：依題意可知點F（﹣c，0）直線AB斜率為b-00-a=-ba∵∠FBA＝90°，∴（-ba）?整理得c2+ac﹣a2＝0，即（ca）2+ca-1＝0，即e2+e解得e=5-1∵0＜e＜1∴e=5故選：C．【點評】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，要注意橢圓的離心率小于1．屬基礎(chǔ)題．8．F1、F2是橢圓C：x225+y29=1的左、右焦點，點P在橢圓C上，|PF1|＝6，過F1作∠F1A．1 B．2 C．3 D．4【考點】橢圓的幾何特征．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】A【分析】延長F1M和PF2交于N，由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|＝2a，由|PF1|＝6，可得|PF2|＝4，由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)及其三角形的中位線定理即可得出．【解答】解：延長F1M和PF2交于N，橢圓C：x225+由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|＝2a＝10，由|PF1|＝6，可得|PF2|＝4，由等腰三角形的三線合一，可得|PF1|＝|PN|＝6，可得|NF2|＝6﹣4＝2，由OM為△F1F2N的中位線，可得|OM|=12|F2N|＝故選：A．【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、等腰三角形的三線合一的性質(zhì)、三角形的中位線定理，考查了推理能力計算能力，屬于難題．二．多選題（共4小題）（多選）9．設(shè)橢圓的方程為x22+y24=1，斜率為k的直線不經(jīng)過原點O，而且與橢圓相交于AA．直線AB與OM垂直 B．若點M坐標為（1，1），則直線方程為2x+y﹣3＝0 C．若直線方程為y＝x+1，則點M坐標為（13，D．若直線方程為y＝x+2，則|AB|=【考點】橢圓的中點弦．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】BD【分析】根據(jù)橢圓中點弦的性質(zhì)kAB?kOM=-42=-2，可以判斷A，C選項錯誤，B選項正確，對于D選項，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式即可求得【解答】解：對于A選項：因為在橢圓中，根據(jù)橢圓中點弦的性質(zhì)kAB?kOM=-42=-2≠﹣對于B選項：根據(jù)kAB?kOM＝﹣2，kOM＝1，所以kAB＝﹣2，所以直線方程為y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3＝0，故選項B正確；對于C選項：若直線方程為y＝x+1，點M(13，43)，則kAB?kOM＝1×4＝對于D選項：若直線方程為y＝x+2，與橢圓方程x22+y24=1聯(lián)立，得到2x2+（x+2）2﹣4＝0，整理得：3x2所以|AB|=1+12故選：BD．【點評】本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，是中檔題．（多選）10．如圖所示，用一個與圓柱底面成θ（0＜θ＜π2）角的平面截A．橢圓的長軸長等于4 B．橢圓的離心率為32C．橢圓的標準方程可以是x2D．橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為4【考點】橢圓的幾何特征．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】BCD【分析】根據(jù)給定圖形，求出橢圓長短半軸長a，b，再逐項計算、判斷作答．【解答】解：設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，橢圓長軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面成銳二面角θ=π3得：2a=4cosθ=8，解得a顯然b＝2，則c=a2-b2當以橢圓長軸所在直線為y軸，短軸所在直線為x軸建立平面直角坐標系時，橢圓的標準方程y2橢圓上的點到焦點的距離的最小值為a-故選：BCD．【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）11．我們通常稱離心率是5-12的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A1，A2，B1，B2A．|A1F1|?|F2A2|＝|F1F2|2 B．∠F1B1A2＝90° C．PF1⊥x軸，且PO∥A2B1 D．四邊形A1B2A2B1的內(nèi)切圓過焦點F1，F(xiàn)2【考點】橢圓的幾何特征．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】BD【分析】由橢圓方程分別求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），對選項一一分析，結(jié)合兩點的距離公式、直線的斜率公式和離心率公式，解方程即可得到結(jié)論．【解答】解：由橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），可得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F(xiàn)1（﹣c，對于A，|A1F1|?|F2A2|＝|F1F2|2，即為（a﹣c）2＝（2c）2，所以a﹣c＝2c，即e=ca=對于B，若∠F1B1A2＝90°，則|A2F1|2＝|B1F1|2+|B1A2|2，即（a+c）2＝a2+（a2+b2），所以c2+ac﹣a2＝0，即有e2+e﹣1＝0，解得e=5-12（-1-對于C，若PF1⊥x軸，且PO∥A2B1，所以P（﹣c，b2由kPO=kA2B1，可得b2a-c=b-a，解得b＝c，又a2＝對于D，若四邊形A1B2A2B1的內(nèi)切圓過焦點F1，F(xiàn)2，即四邊形A1B2A2B1的內(nèi)切圓的半徑為c，則ab＝ca2+b2，結(jié)合b2＝a2所以c4﹣3a2c2+a4＝0，即e4﹣3e2+1＝0，解得e2=3+52（舍去）或e2=3-52故選：BD．【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及“黃金橢圓”的理解和運用，考查方程思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．（多選）12．已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，長軸長為4A．離心率的取值范圍為（0，12）B．當離心率為24時，|QF1|+|QP|的最大值為4+C．存在點Q使得QF1D．1|QF【考點】橢圓的幾何特征．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】BD【分析】由題意可得a，由點P（2，1）在橢圓內(nèi)部，解得2＜b＜2對于A：e=ca∈（0，22對于B：|QF1|+|QP|＝4﹣|QF2|+|QP|，當點Q，F(xiàn)2，P共線且Q在x軸下方時，|QF2|＜|QP|取最大值4+|PF2|，即可判斷B是否正確；對于C：若QF1→?QF2→=0，則|OQ|＝c，但是c＝ae∈（0，2），b∈（2，2），推出|OQ對于D：由基本不等式可得（|QF1|+|QF2|）（1|QF1|+1|QF2|）≥4，又|QF【解答】解：因為長軸長為4，所以2a＝4，即a＝2，因為點P（2，1）在橢圓內(nèi)部，所以222+1b2＜對于A：e=ca=1-(所以e∈（0，22），故A對于B：|QF1|+|QP|＝4﹣|QF2|+|QP|，當點Q，F(xiàn)2，P共線且Q在x軸下方時，|QF2|＜|QP|取最大值4+|PF2|，由e=24，即ca=c2=24，解得c所以|PF2|=(所以|QF|+|QP|的最大值為4+62，故對于C：若QF1→?QF2→=0，則|OQ|=由A選項知，c＝ae∈（0，2），b∈（2，2），所以|OQ|min＝b＞c，所以不存在Q使得QF1→?對于D：由基本不等式可得（|QF1|+|QF2|）（1|QF1|+1|Q又|QF1|+|QF2|＝4，所以1|QF1|故選：BD．【點評】本題考查橢圓的方程，向量的數(shù)量積，解題中需要理清思路，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．已知平面直角坐標系中有兩個定點A（﹣2，0），B（2，0），若動點P滿足|PA|+|PB|＝6，則動點P的軌跡方程為x29+【考點】橢圓的定義．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用橢圓的定義判斷出動點P的軌跡，再由題意求出基本量，代入橢圓的標準方程即可．【解答】解：因為動點P滿足|PA|+|PB|＝6＞|AB|＝4，所以由橢圓的定義得：動點P的軌跡是以A（﹣2，0），B（2，0）為焦點的橢圓，則a＝3、c＝2，即b2＝9﹣4＝5，所以動點P的軌跡方程是x2故答案為：x2【點評】本題考查定義法求動點的軌跡方程，以及橢圓的定義、標準方程，熟練掌握橢圓的定義、標準方程是解題的關(guān)鍵．14．已知橢圓：x24+y2b2=1(0＜b＜2)，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|+|AF【考點】橢圓的幾何特征．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值．【解答】解：由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．當AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時|AB|＝b2，∴5＝8﹣b2，解得b=3故答案為3．【點評】本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，解答此題的關(guān)鍵是明確過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，是中檔題．15．橢圓x29+y22=1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上，若|PF1|＝4，則|PF2|＝2，∠F1PF2【考點】橢圓的幾何特征．【專題】計算題；壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】第一問用定義法，由|PF1|+|PF2|＝6，且|PF1|＝4，易得|PF2|；第二問如圖所示：角所在三角形三邊已求得，用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6﹣|PF1|＝2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2=|P=16+4-28∴∠F1PF2＝120°．故答案為：2；120°【點評】本題主要考查橢圓定義的應(yīng)用及焦點三角形問題，這類題是?？碱愋停y度不大，考查靈活，特別是對曲線的定義和性質(zhì)考查的很到位．16．橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F【考點】橢圓的幾何特征．【專題】計算題；壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用橢圓的定義，結(jié)合|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，即可求出橢圓的離心率．【解答】解：因為橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，|AF1|＝a﹣c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a+c，所以（a﹣c）（a+c）＝4c2，即a2＝5c2，所以e=5故答案為：55【點評】本題考查橢圓的基本性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，考查計算能力．四．解答題（共4小題）17．平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率是32，拋物線E：（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M．（ⅰ）求證：點M在定直線上；（ⅱ）直線l與y軸交于點G，記△PFG的面積為S1，△PDM的面積為S2，求S1S2【考點】橢圓的幾何特征．【專題】方程思想；分析法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（I）運用橢圓的離心率公式和拋物線的焦點坐標，以及橢圓的a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進而得到橢圓的方程；（Ⅱ）（i）設(shè)P（x0，y0），運用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率和方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，可得中點D的坐標，求得OD的方程，再令x＝x0，可得y=-（ii）由直線l的方程為y＝x0x﹣y0，令x＝0，可得G（0，﹣y0），運用三角形的面積公式，可得S1=12|FG|?|x0|=12x0?（12+y0），S2=12|PM|?|x0-4x0y01+4【解答】解：（I）由題意可得e=ca=32，拋物線E：x2＝2y的焦點F即有b=12，a2﹣c2解得a＝1，c=3可得橢圓的方程為x2+4y2＝1；（Ⅱ）（i）證法一：設(shè)P（x0，y0），可得x02=2由y=12x2的導(dǎo)數(shù)為y′＝x，即有切線的斜率為x則切線的方程為y﹣y0＝x0（x﹣x0），可化為y＝x0x﹣y0，代入橢圓方程，可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02Δ＝64x02y02-4（1+4x02）（4y0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=8x0y01+4x直線OD的方程為y=-14x0x，可令x＝x即有點M在定直線y=-證法二、如圖：設(shè)P（2t，2t2），切線l的方程為y＝2tx﹣2t2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x12+4y12=1兩式相減可得（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，可得kAB=y1-y2x1則kOM=-18t，即直線OM：y再令x＝2t，可得M（2t，-1所以點M在定直線y=-法三：設(shè)l的斜率為k，y=12x2，y′＝P（k，12k2），l：y-12k2＝k（x﹣k），即y＝kx-12k2，設(shè)A（x1，y1），B（x由x2+4y2=1y=kx-12k2，∴x2（1+4k2）﹣4k3x+k4﹣1＝0，∴x1+則D（x1+x22，y1+∴直線OD的方程為y=-14k?x，M（k，y′）在直線OD上，∴y′=-14k（ii）法一：直線l的方程為y＝x0x﹣y0，令x＝0，可得G（0，﹣y0），則S1=12|FG|?|x0|=12x0?（12+y0）=S2=12|PM|?|x0-4x0y01+4x02|=則S1令1+2x02=t（t≥=2t2+t-1t2=2則當t＝2，即x0=22時，S1此時點P的坐標為（22，1法二：F（0，12），P（x0，12x02），G（0S1=12|FG|?|x0|=12×（12+12k2）?D（2k31+4k2，2k4S2=12（12x則S1S2=12k(當S1S2最大時，1k2+4+4k2取最小值，又1k2+4+4k2≥4+2?當2k=1k，即k=22時取等號，此時S1S2【點評】本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率和拋物線的焦點坐標，考查直線和拋物線斜的條件，以及直線方程的運用，考查三角形的面積的計算，以及化簡整理的運算能力，屬于難題．18．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1過點A（﹣（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點B（﹣4，0）的直線l交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別交直線x＝﹣4于點P，Q．求|PB||BQ|【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征．【專題】綜合題；對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）由題意可得4a2+1b2=1a=2b，解得b2（Ⅱ）設(shè)直線方程為y＝k（x+4），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），可得直線AM的方程為y+1=y1+1x1+2（x+2），直線AN的方程為y+1=y2+1x2+2（x+2），【解答】解：（Ⅰ）橢圓C：x2a2+y2b2=1過點A（﹣則4a2+1b2=1a=2b，解得b2∴橢圓方程為x2（Ⅱ）由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為y＝k（x+4），由y=k(x+4)x消y整理可得（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣8＝0，∴Δ＝﹣32（4k2﹣1）＞0，解得-12＜設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-32k21+4k2則直線AM的方程為y+1=y1+1x1+2（x+2），直線AN的方程為分別令x＝﹣4，可得yP=-2(y1+1)x1∴|PB|＝|yP|＝|(2k+1)x1+(8k+4)x1+2|，|QB|＝|yQ∴|PB||BQ|=|[(2k+1)x1+(8k+4)](∵（2k+1）x1x2+（4k+2）（x1+x2）+8（2k+1）=32∴|(2k+1)x1x2+(4k+2)(x1+x2)+8(2k+1)+(4k+2)x故|PB||BQ|=【點評】本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，考查了運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，分類與整合能力，屬于難題．19．設(shè)橢圓x2a2+y23=1（a＞3）的右焦點為F（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸于點H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍．【考點】橢圓的幾何特征．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由題意畫出圖形，把|OF|、|OA|、|FA|代入1|OF|+1|OA|=（2）由已知設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣2），（k≠0），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標，由BF⊥HF，得BF→?HF→=(1-x1，-y1)?(1，-yH)=0，整理得到【解答】解：（1）由1|OF|+1即a+a∴a[a2﹣（a2﹣3）]＝3a（a2﹣3），解得a＝2．∴橢圓方程為x2（2）由已知設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣2），（k≠0），設(shè)B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x0≥1，再設(shè)H（0，yH），聯(lián)立y=k(x-2)x24+y23=1，得（3+4k2）x2﹣16kΔ＝（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）＝144＞0．由根與系數(shù)的關(guān)系得2x∴x1=8MH所在直線方程為y-令x＝0，得yH∵BF⊥HF，∴BF→即1﹣x1+y1yH=1-整理得：x0=9+20k212(k∴k≤-64【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“整體運算”思想方法和“設(shè)而不求”的解題思想方法，考查運算能力，是難題．20．已知斜率為k的直線l與橢圓C：x24+y23=1交于A，B兩點，線段AB的中點為M（1（1）證明：k＜-1（2）設(shè)F為C的右焦點，P為C上一點，且FP→+FA→+FB→=0→．證明：|FA【考點】直線與橢圓的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題．【答案】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∵線段AB的中點為M（1，m），∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m將A，B代入橢圓C：x243x兩式相減可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，∴k=點M（1，m）在橢圓內(nèi)，即14解得0＜m＜∴k=-3（2）32128或【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用點差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，k=又點M（1，m）在橢圓內(nèi)，即14+m23＜（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2＝2由FP→+FA→+FB→=0→，可得x3﹣1＝0，由橢圓的焦半徑公式得則|FA|＝a﹣ex1＝2-12x1，|FB|＝2-12x2，|FP|＝2-12x3【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∵線段AB的中點為M（1，m），∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m將A，B代入橢圓C：x243x兩式相減可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，∴k=點M（1，m）在橢圓內(nèi)，即14解得0＜m＜∴k=-3（2）由題意得F（1，0），設(shè)P（x3，y3），則x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，y1+y2+y3＝0，由（1）及題設(shè)得x3＝3﹣（x1+x2）＝1，y3＝﹣（y1+y2）＝﹣2m＜0．又點P在C上，所以m=34，從而P（1，-3于是|FA→|=同理|FB→|=所以|FA→|+|FB→|＝4故|FA→|+|FB→|＝2|FP→|，即|FA→|，|FP→|設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2|d|=||FB→|-|FA→||=12|將m=34代入①得k＝﹣所以l的方程為y＝﹣x+74，代入C的方程，并整理得7x故x1+x2＝2，x1x2=128，代入②解得|d|所以該數(shù)列的公差為32128或【點評】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查了點差法、焦半徑公式，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用與計算能力的考查．屬于中檔題．

考點卡片1．橢圓的定義【知識點的認識】1．橢圓的第一定義平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的動點P的軌跡叫做橢圓，其中，這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離|F1F2|叫做焦距．2．橢圓的第二定義平面內(nèi)到一個定點的距離和到一條定直線的距離之比是常數(shù)e=ca（0＜e＜1，其中a是半長軸，c是半焦距）的點的軌跡叫做橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫橢圓的準線，常數(shù)3．注意要點橢圓第一定義中，橢圓動點P滿足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）當2a＞|F1F2|時，動點P的軌跡是橢圓；（2）當2a＝|F1F2|時，動點P的軌跡是線段F1F2；（3）當2a＜|F1F2|時，動點P沒有運動軌跡．【命題方向】利用定義判斷動點運動軌跡，需注意橢圓定義中的限制條件：只有當平面內(nèi)動點P與兩個定點F1、F2的距離的和2a＞|F1F2|時，其軌跡才為橢圓．1．根據(jù)定義判斷動點軌跡例：如圖，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓分析：根據(jù)CD是線段MF的垂直平分線．可推斷出|MP|＝|PF|，進而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|結(jié)果為定值，進而根據(jù)橢圓的定義推斷出點P的軌跡．解答：由題意知，CD是線段MF的垂直平分線．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又顯然|MO|＞|FO|，∴根據(jù)橢圓的定義可推斷出點P軌跡是以F、O兩點為焦點的橢圓．故選A點評：本題主要考查了橢圓的定義的應(yīng)用．考查了學(xué)生對橢圓基礎(chǔ)知識的理解和應(yīng)用．2．與定義有關(guān)的計算例：已知橢圓x24+y23=1A．25B．23C．5D．3分析：先由橢圓的第一定義求出點P到右焦點的距離，再用第二定義求出點P到右準線的距離d．解答：由橢圓的第一定義得點P到右焦點的距離等于4-32=5再由橢圓的第二定義得52d=∴點P到右準線的距離d＝5，故選C．點評：本題考查橢圓的第一定義和第二定義，以及橢圓的簡單性質(zhì)．2．橢圓的標準方程【知識點的認識】橢圓標準方程的兩種形式：（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標為F（±c，0），焦距|（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標為F（0，±c），焦距|兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標不同．標準方程x2a2+y2b中心在原點，焦點在x軸上y2a2+x2b中心在原點，焦點在y軸上圖形頂點A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B