2026年東城區(qū)數(shù)學考試題及答案

一、填空題（每題2分，共20分）1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2+x-6=0}，則A∪B=______。2.函數(shù)f(x)=ln(x+1)的定義域是______。3.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=5，a_3=11，則公差d=______。4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)的概率是______。5.若直線y=kx+3與圓(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，則k=______。6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√3，則邊b=______。7.若復數(shù)z=1+i，則|z|=______。8.函數(shù)f(x)=e^x在點(1,e)處的切線方程是______。9.在直角坐標系中，點P(a,b)關于y軸對稱的點的坐標是______。10.若向量u=(2,3)，v=(1,k)，且u∥v，則k=______。二、判斷題（每題2分，共20分）1.若a>b，則a^2>b^2。（）2.函數(shù)f(x)=sin(x)是奇函數(shù)。（）3.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_2=2，則a_4=4。（）4.拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和出現(xiàn)反面的概率都是1/2。（）5.若直線y=kx+b與x軸平行，則k=0。（）6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C=75°。（）7.復數(shù)z=a+bi的模是√(a^2+b^2)。（）8.函數(shù)f(x)=x^3在定義域內(nèi)是增函數(shù)。（）9.在直角坐標系中，點P(a,b)關于原點對稱的點的坐標是(-a,-b)。（）10.若向量u=(1,2)，v=(2,4)，則u與v共線。（）三、選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是增函數(shù)的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=1/xD.f(x)=ln(x)2.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A∩B=（）。A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}3.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=7，a_5=17，則a_10=（）。A.27B.28C.29D.304.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點數(shù)之和為7的概率是（）。A.1/6B.1/12C.5/36D.1/185.直線y=2x+1與圓(x-1)^2+(y-2)^2=5的位置關系是（）。A.相交B.相切C.相離D.重合6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√3，則邊b=（）。A.1B.√2C.√3D.27.復數(shù)z=1+i的模是（）。A.1B.2C.√2D.√38.函數(shù)f(x)=e^x在點(1,e)處的切線斜率是（）。A.1B.eC.e^2D.09.在直角坐標系中，點P(2,3)關于y軸對稱的點的坐標是（）。A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,2)D.(-3,2)10.若向量u=(3,4)，v=(6,8)，則u與v的關系是（）。A.共線B.不共線C.垂直D.平行四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。2.解方程x^2-5x+6=0。3.求等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，其中a_1=2，d=3。4.求向量u=(2,3)和v=(1,2)的夾角θ。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的單調(diào)性。2.討論直線y=kx+1與圓(x-2)^2+(y-3)^2=4的位置關系。3.討論復數(shù)z=a+bi的模的性質(zhì)。4.討論向量u=(a,b)和v=(c,d)共線的條件。答案和解析一、填空題1.{1,2,3}2.(-1,+∞)3.34.1/25.±√36.√27.√28.y=e(x-1)+e9.(-a,b)10.3二、判斷題1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√三、選擇題1.B2.B3.C4.A5.A6.B7.C8.B9.B10.A四、簡答題1.解：f(x)=x^3-3x^2+2x，求導得f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√3/3。計算f(-1)=0，f(1-√3/3)=4√3/9-1，f(1+√3/3)=1-4√3/9，f(3)=0。所以最大值是4√3/9-1，最小值是0。2.解：x^2-5x+6=0，因式分解得(x-2)(x-3)=0。所以x=2或x=3。3.解：S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[4+3(n-1)]=3n^2+n/2。4.解：向量u和v的夾角θ滿足cosθ=u·v/|u||v|=(2×1+3×2)/√(2^2+3^2)√(1^2+2^2)=8/√13√5。所以θ=arccos(8/√65)。五、討論題1.解：f(x)=x^2-4x+3，求導得f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，解得x=2。當x<2時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當x>2時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。所以函數(shù)在(-∞,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增。2.解：直線y=kx+1與圓(x-2)^2+(y-3)^2=4的位置關系取決于圓心(2,3)到直線的距離d與半徑r=2的關系。d=|2k+1-3|/√(k^2+1)。當d=r時，相切；當d>r時，相離；當d