9.1.1正弦定理人教B版（2019)必修第四冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)CONTENTS1.通過(guò)探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握正弦定理，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）3.掌握正弦定理的推論及變形公式，能應(yīng)用其進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，解決三角形問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力（重難點(diǎn)）2.應(yīng)用正弦定理解三角形，能根據(jù)正弦定理確定三角形解的個(gè)數(shù)，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）課程引入情境與問(wèn)題在現(xiàn)代生活中，得益于科技的發(fā)展，距離的測(cè)量能借助紅外測(cè)距儀、激光測(cè)距儀等工具直接完成.不過(guò)，在這些工具沒(méi)有出現(xiàn)以前，你知道人們是怎樣間接獲得兩點(diǎn)間距離的嗎？如圖所示，若想知道河對(duì)岸的一點(diǎn)A與岸邊一點(diǎn)B之間的距離，而且已經(jīng)測(cè)量出了BC的長(zhǎng)，也想辦法得到了∠ABC與∠ACB的大小，你能借助這3個(gè)量，求出AB的長(zhǎng)嗎？課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)1.如圖，已知△ABC中，已知a=5,b=3,C=，你能求出這個(gè)三角形的面積嗎？如圖，在△ABC中，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高AD，在Rt△ADC中，由正弦的定義可知AD=bsinC，因此所求三角形的面積為：DABCba課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)2.在上述△ABC中，若已知邊a、c及其夾角B，則三角形的面積如何表示？若已知邊b、c及其夾角A，則三角形的面積又如何表示？可以看出，上述求三角形面積的方法在C為銳角時(shí)都成立；而當(dāng)C為鈍角時(shí)，如圖所示，仍設(shè)△ABC的BC邊上的高為AD，則可知DABCbaAD=bsin∠ACD=bsin(π–C)=bsinC,因此仍有S

=absinC

當(dāng)C為直角時(shí)，由sin

90°=1，可知上述面積公式仍成立.課程內(nèi)容教學(xué)三角形面積的概念

一般地，若記△ABC的面積為S，則由此可知：課程內(nèi)容教學(xué)正弦定理的概念

又因?yàn)閟inA>0，sinB>0,sinC>0，因此可得：這就是正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊的長(zhǎng)和它所對(duì)的角的正弦的比相等.課程內(nèi)容教學(xué)例1：已知△ABC中，B=75°，C=60°，a=10，求c.由已知得A=180°-B-C=180°-75°-60°=45°由正弦定理可知

所以也可以構(gòu)造直角三角形求解.課程內(nèi)容教學(xué)思考一下：根據(jù)例1，你可以得到什么啟示？由例1可知，在一個(gè)三角形中，如果已知兩個(gè)角與一條邊，就可以求出這個(gè)三角形的另外一個(gè)角，然后由正弦定理可求出該三角形其他的兩條邊.因此，確定了一個(gè)三角形的兩個(gè)角與一條邊之后，這個(gè)三角形就唯一確定了.事實(shí)上，這與我們初中所學(xué)的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致.課程內(nèi)容教學(xué)解三角形的概念

習(xí)慣上，我們把三角形的3個(gè)角與3條邊都稱為三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般稱為解三角形.課程內(nèi)容教學(xué)

因?yàn)椋杂捎?°<B<180°，所以B=60°或B=120°.當(dāng)B=60°時(shí)，有C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°，此時(shí)△ABC為直角三角形，c為斜邊，從而有

課程內(nèi)容教學(xué)

當(dāng)B=120°時(shí)，有C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°，此時(shí)△ABC為等腰三角形，從而由等角對(duì)等邊可知

c=a=2例2的啟示：圖中都滿足例2的條件，事實(shí)上，這與我們所學(xué)的SSA不能作為三角形全等的判定定理一致.2

30°

230°課程內(nèi)容教學(xué)

由

，得由于0°<C<180°，所以C=45°或C=135°.當(dāng)C=45°時(shí)，A=180°-B-C=180°-120°-45°=15°，而所以三角形面積課程內(nèi)容教學(xué)

當(dāng)C=135°時(shí)，A=180°-A-B=180°-120°-135°=-75°不合題意，舍去.例3的啟示：例3的C=135°不可能成立，從b>c，B=120°及大邊對(duì)大角看出C=135°不可能成立.課程內(nèi)容教學(xué)例4：判斷滿足條件A=30°，a=1，c=4的△ABC是否存在，并說(shuō)明理由.假設(shè)滿足條件的三角形存在，則由可知，又因?yàn)閟inC≤1，所以這是不可能的，因此不存在這樣的三角形.根據(jù)上面的例題，思考已知三角形兩邊a、b和其中一邊a的對(duì)角A，如何求解三角形？課程內(nèi)容教學(xué)思考一下：根據(jù)上面的例題，思考已知三角形兩邊a、b和其中一邊a的對(duì)角A，如何求解三角形？已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法：1．先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值．2．判斷另一邊對(duì)角的正弦值的大?。海?）如果正弦值>1，則無(wú)解．（2）如果正弦值=1，則一解且為直角，（3）如果正弦值<1，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論解的取舍，根據(jù)內(nèi)角和或大邊對(duì)大角驗(yàn)證.課程內(nèi)容教學(xué)例5：△ABC中，已知sin2A+sin2B=sin2C，求證△ABC為直角三角形.設(shè)

，則k

≠0，且又因?yàn)閟in2A

+sin2B=sin2C，所以即a2+b2=c2，因此由勾股定理的逆定理可知△ABC

是直角三角形.課程內(nèi)容教學(xué)例6：如圖所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，求證：DABCββαπ–α如圖，設(shè)∠ADB=α，∠BAD=β，則由題意可∠ADC=π-α，∠CAD=β.在△ABD和△ADC中，分別應(yīng)用正弦定理，可得兩式相除，可得課程內(nèi)容教學(xué)在正弦定理中，設(shè)

，研究常數(shù)k與△ABC外接圓的半徑的關(guān)系.（提示：先考慮直角三角形.）探究與研究作出如圖所示圖象，由圖可知：∠A=∠A'，因?yàn)樵凇鰽BC中，其中R為外接圓的半徑所以，在△A'BC中，所以在△AB'C中有課程內(nèi)容教學(xué)又因?yàn)樵趫AO上，不論B′怎么移動(dòng)，上述結(jié)論都成立，所以對(duì)于任意△ABC都有在正弦定理中，設(shè)

，研究常數(shù)