2025新教材數(shù)學(xué)高考第一輪復(fù)習(xí)

專題十一概率與統(tǒng)計(jì)

11.1隨機(jī)事件及概率

五年高考

考點(diǎn)1隨機(jī)事件的概率

1.（2019課標(biāo)II文,4,5分，易）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo).若從這5

只兔子中隨機(jī)取出3只,則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為（）

2.（2018課標(biāo)III文,5,5分，易）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付

也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為（）

A03R.04C.06DO7

3.（2021全國(guó)甲理,10,5分沖）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為

1224

一

A.3一5-35-

考點(diǎn)2古典概型

1.（2022全國(guó)甲文,6,5分，易）從分別寫(xiě)有1,2,345,6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽

到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

1B22

A.5-5-3-

2.（2020課標(biāo)I文,4,5分，易）設(shè)O為正方形4BCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3點(diǎn)，則取到的

3點(diǎn)共線的概率為（）

1214

B.gC-D.-

3.（2022新高考1,5,5分，易）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的

概率為（）

ilBilCi?

6323

4.（2019課標(biāo)I理,6,5分，中）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化每一“重卦”由從

下到上排列的6個(gè)爻組成,爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻"——”,下圖就是一重卦.在所有重卦

中隨機(jī)取一重卦,則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是（）

5.（2022全國(guó)乙理,13,5分，易）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、

乙都入選的概率為.

6.（2022全國(guó)甲理』5,5分，中）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的

概率為.

考點(diǎn)3事件的相互獨(dú)立性

1.（2021新高考1,8,5分，中）有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取

兩次,每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的

球的數(shù)字是2”,丙表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的

數(shù)字之和是7",則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

2.（2022全國(guó)乙理,10,5分，中）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互

獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為0必必，且P3>P2>">O.記該棋手連

勝兩盤(pán)的概率為P，則（）

A.p與該棋手利甲、乙、區(qū)的比賽次序無(wú)關(guān)

B.該棋手在第二盤(pán)與甲比賽,p最大

C.該棋手在第二盤(pán)與乙比賽最大

D.該棋手在第二盤(pán)與丙比賽,p最大

3.（多選）（2023新課標(biāo)II,12,5分，難）在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào),信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送0時(shí)，

收到1的概率為口（0々<1）,收到0的概率為1?區(qū)發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為以0<廬1）,收到1

的概率為1/?考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次;

三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次收到的信號(hào)需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時(shí)，收

到的信號(hào)即為譯碼;三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到

1,0,1,則譯碼為1）（）

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為

B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為以1/）2

C.采用二次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為以

D.當(dāng)0〈a<0.5時(shí),若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯

碼為0的概率

4.（2020天津,13,5分，中）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為:和《.假定兩球是否落入盒

子互不影響,則甲、乙兩球都落入盒子的概率為;甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子

的概率為.

5.（2019課標(biāo)/理,15,5分，中）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝

利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客

主”設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲

隊(duì)以4：1獲勝的概率是.

6.（2019課標(biāo)11,18,12分，中）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后,

每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假

設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互犯立.在某

局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.

⑴求P（六2）;

（2）求事件“六4且甲獲勝”的概率.

考點(diǎn)4條件概率與全概率公式

1.（2023全國(guó)甲理,6,5分，中）某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛(ài)好滑冰,50%的同學(xué)愛(ài)好滑

雪,70%的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),若該同學(xué)愛(ài)好

滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

2.（2023天津,13,5分，中）甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為

5：4：6.這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)

球，取到的二個(gè)球都是黑球的概率為;將二個(gè)盒子中的球混合后仔取一個(gè)球，是白

球的概率為.

3.（2022新高考1,20/2分，中）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生

習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100

例（稱為病例組），同時(shí)在未息該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

⑵從該地的人群中任選一人，/表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好表示事件“選到

的人患有該疾病”,黑與儡的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)

度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

⑴證明:穴=P(A\B)P(A\B\

P(Z|B),P(麗，

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)?，給出P（M8）,P（ZE）的估計(jì)值,并利用⑴的結(jié)果給出R的估計(jì)值

n(ad-bc)2

附:爛=

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(爛X)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.（2024屆四川眉山青神中學(xué)期中,2）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書(shū)中任取

兩本書(shū)，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）

A.至少有一本政治與都是數(shù)學(xué)

B.至少有一本政治與都是政治

C.至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué)

D.恰有一-本政治與恰有兩本政治

2.（2024屆重慶八中適應(yīng)性月考（一）,3）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下:選6只

小白鼠，隨機(jī)地將其中3只分配到試驗(yàn)組且飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，另外3只分配到對(duì)照組

且飼養(yǎng)在正常環(huán)境,一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位:g）,則指定的兩只小白

鼠分配到不同組的概率為（）

3213

A.-5-B.：CiD]

10525

3.（2024屆四川達(dá)州育才外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考,9）從1,2,345中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù),若這三

個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率為（）

4.（2023山東濰坊二模,5）已知事件力、〃滿足產(chǎn)（力啰）=0.7/（m=0.3,則)

A.P（力CI團(tuán)=0.3B/（B|/）=0.3

C.事件A,B相互獨(dú)立D.事件Afi互斥

5.（2024屆湖南名校聯(lián)合體第三次聯(lián)考,5）為慶祝我國(guó)第39個(gè)教師節(jié)，某校舉辦教師聯(lián)誼會(huì),

甲、乙兩名數(shù)學(xué)老師組成“幾何隊(duì)''參加"成語(yǔ)猜猜猜''比賽，每輪比賽由甲、乙兩人各猜一

個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為之乙每輪猜對(duì)的概率為*在每輪比賽中，甲和乙猜對(duì)與否

互不影響，則“幾何隊(duì)”在一輪比賽中至少猜對(duì)一個(gè)成語(yǔ)的概率為（）

AA-3Bn.-19cC.-7cD.l—

5202020

6.（2024屆湖北四市聯(lián)考,5）長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查,某校學(xué)生大約30%的人近

視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí),這些人的近視率約為60%,現(xiàn)從每天

玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（）

7.（2023河北衡水二模,5）某校有演講社團(tuán)、籃球社團(tuán)、乒乓球社團(tuán)、羽毛球社團(tuán)、獨(dú)唱社

團(tuán)共五個(gè)社團(tuán)，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)分別從五個(gè)社團(tuán)中選擇一個(gè)報(bào)名,記事件4為

“五名同學(xué)所選項(xiàng)目各不相同”,事件B為“只有甲同學(xué)選籃球”，則P（A\B）=（）

A卷3B.—3C.73D.72

321645

8.（2024屆安徽蚌埠二中期中,7）已知P（8）=0.4,P（8⑷=0&P（瓦5）=。3,則尸（力尸（）

A，4B.《C=

4835

9.（2024屆浙江寧波一模,15）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法

國(guó)巴黎舉行.某田徑運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備參加100米、200米兩項(xiàng)比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運(yùn)動(dòng)員

100米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為a2。0米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為徐兩項(xiàng)比賽都

未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為若該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)，則他在200米比賽中

也站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率是________

綜合拔高練

1.（2023陜西寶雞三模,8）已知口袋內(nèi)有一些大小相同的紅球、白球和黃球，從中任意摸出一

球，摸出的球是紅球或白球的概率為0.4,摸出的球是紅球或黃球的概率為0.9,則摸出的球

是黃球或白球的概率為（）

A.0.7B.0.5C.0.3D.0.6

2.（多選）（2024屆江蘇常州前黃中學(xué)期中,9）已知事件4B滿足。（力尸05P（8）=0.2,則（）

A.若874則P（AB）=0.5

B.若A與B互斥，則P（AUB）=0.7

C.若4與B相互獨(dú)立，則P（A豆尸0.9

D.若尸（8⑷=0.2,則A與B相互獨(dú)立

3.（多選）（2023廣東廣州二模）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%,

第2臺(tái)加工的次品率為3%,第3臺(tái)加工的次品率為2%,加工出來(lái)的零件混放在一起.已知

第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%,40%,50%,從混放的零件中任取一個(gè)零件,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.該零件是第1臺(tái)車床加工出來(lái)的次品的概率為0.08

B.該零件是次品的概率為0.03

C.如果該零件是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的，那么它不是次品的概率為0.98

D.如果該零件是次品,那么它不是第3臺(tái)車床加工出米的概率為

4.(2023湖北十堰|四調(diào),16)甲、乙兩位同學(xué)玩游戲:給定實(shí)數(shù)m=3,按下列方法操作一次產(chǎn)生

一個(gè)新的實(shí)數(shù)，由甲擲一枚骰子，若朝上的點(diǎn)數(shù)為123,則s=2m-4,若朝上的點(diǎn)數(shù)為4,則

42m，若朝上的點(diǎn)數(shù)為5,6,則42=。|+2.對(duì)實(shí)數(shù)6重復(fù)上述操作，得到新的實(shí)數(shù)。3,若

則甲獲勝，否則乙獲勝，那么甲獲勝的概率為.

5.(2023江蘇南京二模,15)一個(gè)袋子中有個(gè)紅球和5個(gè)白球，每次從袋子中隨機(jī)摸

出2個(gè)球.若摸出的兩個(gè)球顏色不相同發(fā)生的概率記為p(〃),則p(〃)的最大值為.

6.(2023山東荷澤一模,18)為了促進(jìn)學(xué)生德、智、體、美、勞全面發(fā)展，某校成立了生物科

技小組，在同一塊試驗(yàn)出內(nèi)交替種植4、B、。三種農(nóng)作物(該試驗(yàn)田每次只能種植一種農(nóng)

作物卜為了保持土壤肥度，每種農(nóng)作物都不連續(xù)種植，共種植三次.在每次種植A后會(huì)有3的

可能性種植8,前勺可能性種植C;在每次種植B的前提下再種植A的概率為a種植C的概

率為：；在每次種植C的前提下再種植A的概率為￡種植B的概率為

(1)在第一次種植B的前提下,求第三次種植A的概率；

(2)在第一次種植4的前提下，求種植力作物次數(shù)X的分布列及期望.

專題十一概率與統(tǒng)計(jì)

11.1隨機(jī)事件及概率

五年高考

考點(diǎn)1隨機(jī)事件的概率

1.（2019課標(biāo)n文45分，易）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo).若從這5

只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為（）

答案B

2.（2018課標(biāo)III文,5,5分，易）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付

也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為（）

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

答案B

3.（2021全國(guó)甲理,10,5分，中）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為

（）

1224

A虧B*C,-D.-

答案C

考點(diǎn)2古典概型

1.（2022全國(guó)甲文,6,5分，易）從分別寫(xiě)有123,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽

到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

A.|BiC.1D.|

oooo

答案c

2.（2020課標(biāo)I文,4,5分，易）設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O/,B,C,D中任取3點(diǎn)，則取到的

3點(diǎn)共線的概率為（）

1214

AAiBD.g%rDn.-

答案A

3.（2022新高考1,5,5分，易）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的

概率為（）

答案D

4.（2019課標(biāo)I理,6,5分，中）我國(guó)古代典籍《周易》用“撲’描述萬(wàn)物的變化每一“重卦”由從

下到上排列的6個(gè)爻組成,爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻"——”,下圖就是一重卦.在所有重卦

中隨機(jī)取一重卦,則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是（）

答案A

5.（2022全國(guó)乙理,13,5分，易）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、

乙都入選的概率為.

答案卷

6.（2022全國(guó)甲理,15,5分，中）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的

概率為.

答案￡

考點(diǎn)3事件的相互獨(dú)立性

1.（2021新高考1,8,5分，中）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字123,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取

兩次,每次取I個(gè)球.甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的

球的數(shù)字是2”,丙表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的

數(shù)字之和是7",則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

答案B

2.（2022全國(guó)乙理,10,5分，中）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互

獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為pi必必，且P3*2>6>0.記該棋手連

勝兩盤(pán)的概率為P，則（）

A,與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)

B.該棋手在第二盤(pán)與甲比賽夕最大

C.該棋手在第二盤(pán)與乙比賽“最大

D.該棋手在第二盤(pán)與丙比賽,p最大

答案D

3.（多選）（2023新課標(biāo)II,12,5分，難）在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào),信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送0時(shí)，

收至U1的概率為。收至IJ0的概率為1-%發(fā)送I時(shí)，收至IJ0的概率為"0＜的1）,收到1

的概率為1/.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次;

三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次收到的信號(hào)需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時(shí)，收

到的信號(hào)即為譯碼;三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到

1,0,1,則譯碼為1）（）

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為（1區(qū)）（1/）2

B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收至IJ1,0』的概率為以I/）?

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為以1/）2+（1/）3

D.當(dāng)0＜。＜0.5時(shí),若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯

碼為0的概率

答案ABD

4.（2020天津,13,5分，中）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為;和;?假定兩球是否落入盒

子互不影響,則甲、乙兩球都落入盒子的概率為;甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子

的概率為.

Myctx12

答案

5.（2019課標(biāo)笈軋15,5分，中）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝

利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客

主”設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為06客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲

隊(duì)以4：1獲勝的概率是_______.

答案0.18

6.（2019課標(biāo)II,18,12分，中）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后,

每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假

設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為05乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某

局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.

⑴求P*2）;

⑵求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

解析（1）六2就是10：10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分,

或者均由乙得分.因此產(chǎn)（X=2）=U.5x。.4+（1-0.5）x（1-U.4）=。.5.

⑵六4且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情

況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分.因此所求概率為

[0.5X（1-0.4）+（1-0.5）x0.4]xO,5x0.4=0.1.

名師點(diǎn)撥

由于先多得兩分的一方獲勝,10：10平后，又打X球該局比賽結(jié)束，故外2和X=4分別表示

打2球和4球后有一方比對(duì)方多得2分.

考點(diǎn)4條件概率與全概率公式

1.（2023全國(guó)甲理,6,5分，中）某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛(ài)好滑冰,50%的同學(xué)愛(ài)好滑

雪,70%的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),若該同學(xué)愛(ài)好

滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

答案A

2.（2023天津』3,5分，中）甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為

5：4：6.這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)

球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為;將三個(gè)盒子中的球混合后任取一個(gè)球，是白

球的概率為.

口術(shù)2055

3.（2022新高考1,20,12分，中）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生

習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100

例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)

據(jù)：

不夠良好良好

病例組

對(duì)照組

⑴能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

⑵從該地的人群中任選一人/表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好表示事件“選到

的人患有該疾病''.需與鬻的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)

度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（力⑸/（川歷的估II值,并利用⑴的結(jié)果給出R的估“值

n(rrr/—

附:K?=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P^k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解析（1）由題中數(shù)據(jù)可知群含黑震零普=24>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為患該疾

1UUX1UUXJUXIJU

病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

證明?因?yàn)镽-P^A）?P?4）=生竺.P（U）P@=P（竺）"J）

l八）力P（B\A）P（B\A）~P（A）P（BA）P（A）P（BA）~P（BA）-P（BA）,

（注意p（叱翎

RP（川8）P（可初_PQ4B）P（8）P（Z耳）P（月）_P（AB）P（Ag）

且P（Z|8）.P（A\B）~P（8）?P（AB）,P（B）,P（疝）-P（AB）-P（AB）9

所以R-&IB].誣1

也八P（AIB）P（力⑻.

m）由題表中數(shù)據(jù)可知zwy=招"面端=（須）喘=款（被）端=i

29

崎⑻-_

平

所

以--=-5X6

臉

W而3

5-

10

三年模擬

綜合基礎(chǔ)練

1.（2024屆四川眉山青神中學(xué)期中,2）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書(shū)中任取

兩本書(shū)，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）

A.至少有一本政治與都是數(shù)學(xué)

B.至少有一本政治與都是政治

C.至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué)

D.恰有一本政治與恰有兩本政治

答案D

2.（2024屆重慶八中適應(yīng)性月考（一）,3）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下:選6只

小白鼠，隨機(jī)地將其中3只分配到試驗(yàn)組且飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，另外3只分配到對(duì)照組

且飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一?段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位:g）,則指定的兩只小白

鼠分配到不同組的概率為（）

3213

A?行%D.-

答案D

3.（2024屆四川達(dá)州育才外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考,9）從1,2,345中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù),若這三

個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率為（）

12「4c5

AA.—nB.-C.—D.—

3399

答案D

4.（2023山東濰坊二模,5）己知事件力、B滿足尸（4⑻=Q7,P（?=0.3,則（）

A.P（JA5）=0.3B/（B⑷=0.3

C.事件A,B相互獨(dú)立D.事件A,B互斥

答案C

5.（2024屆湖南名校聯(lián)合體第三次聯(lián)考,5）為慶祝我國(guó)第39個(gè)教師節(jié)，某校舉辦教師聯(lián)誼會(huì),

甲、乙兩名數(shù)學(xué)老師組成“幾何隊(duì)”參加“成語(yǔ)猜猜猜”比賽，每輪比賽由甲、乙兩人各猜一

個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為之乙每輪猜對(duì)的概率為未在每輪比賽中，甲和乙猜對(duì)與否

互不影響，則“幾何隊(duì)”在一輪比賽中至少猜對(duì)一個(gè)成語(yǔ)的概率為（）

A.fB.察C.5D.j

5202020

答案B

6.（2024屆湖北四市聯(lián)考,5）長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查,某校學(xué)生大約30%的人近

視,而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí),這些人的近視率約為60%,現(xiàn)從每天

玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（）

5997

A.-B.-C.-D.-

21402020

答案B

7.（2023河北衡水二模,5）某校有演講社團(tuán)、籃球社團(tuán)、乒乓球社團(tuán)、羽毛球社團(tuán)、獨(dú)唱社

團(tuán)共五個(gè)社團(tuán)，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)分別從五個(gè)社團(tuán)中選擇一個(gè)報(bào)名,記事件4為

“五名同學(xué)所選項(xiàng)目各不相同”，事件B為“只有甲同學(xué)選籃球”，則P（A\B）=（）

3332

A及B五C.;七

答案A

8.（2024屆安徽蚌埠二中期中,7）已知尸（8）=0.4,P（8⑷=0.8,P（8|彳）=0.3,則P（A）=（）

D3

B-5c5

答案D

9.（2024屆浙江寧波一模,15）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法

國(guó)巴黎舉行.某田徑運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備參加100米、200米兩項(xiàng)比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運(yùn)動(dòng)員

100米比賽木能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為a200米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為已兩項(xiàng)比賽都

未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為靠若該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)，則他在200米比賽中

也站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率是.

答案|

綜合拔高練

1.（2023陜西寶雞三模,8）已知口袋內(nèi)有一些大小相同的紅球、白球和黃球，從中任意摸出一

球，摸出的球是紅球或白球的概率為04摸出的球是紅球或黃球的概率為0.9,則摸出的球

是黃球或白球的概率為（）

A.0.7B.0.5C.0.3D.0.6

答案A

2.（多選）（2024屆江蘇常州前黃中學(xué)期中,9）已知事件A,B滿足尸（/尸0.5,P（3尸0.2，則（）

A.若8工4則P（AB）=0.5

B.若Z與5互斥，則P（ZU8）=0.7

C.若A與B相互獨(dú)立，則P（A且）=0.9

D.若P（8|4）=0.2,則4與B相互獨(dú)立

答案BD

3.（多選）（2023廣東廣州二模）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第