解析幾何：定點問題、定值問題、定直線問題專項訓(xùn)練

考點一定點問題

1.(2025高三下?甘肅白銀?學(xué)業(yè)考試)已知橢圓C：f=1(4>/,>0),點4(0,-9，4△科

4(o,￡j，中恰有兩點在c上

⑴求。的方程；

(2)C的左、右焦點分別為《，鳥，過點片且斜率存在的直線/與。交于P,。兩點.

(i)若AP。鳥的面積為胃，求/的斜率；

(ii)過點P作直線/'：x=-4的垂線垂足為R,試問直線OR是否過定點?若過定點，求出該定點的坐標；若

不過定點，請說明理由.

【答案】(1)二+仁=1

43

⑵(i)y=±*(x+l)；(ii)直線。E過定點

【詳解】(I)由題可知，4僅，-6)，中有且僅有一點在橢圓C上,

故/)=3或y.

若點4(1,0)在橢圓c上，則“=：<入，不符合題意，

故點一定不在橢圓c上，

所以點4(石,亭)一定在橢圓c上.

當(dāng)點4(6，乎)

在橢圓c上時,

b=百a=2

解得

33h=VJ

則橢圓,的方程為99=h

當(dāng)點4佰岑j，4(o,￡|在橢圓c上時,

,,方程組無解.

L，.h，fl

綜上，橢圓C的方程為工+￡=i.

43

（2）（1）由題意知直線也的斜率不為0,故設(shè)其方程為x=1,6（-1,0）,瑪（1,0）,

聯(lián)立蘭+片=1,可得（3:+4）「-6夕-9=0,尸。過點”，則△＞（）,

43

設(shè)尸（小必），。（々，8），乂＞必，故乂+為=可J，，仍=亍匕,

貝IJi=1（必+乃）2-4），昆1|f-4^T-4x^Z=空三1,

力.22"2認3/+4）3/+43r+4

故Si＞0F=!|￡F,|x（必-y2）=—x2x,

“PQ，21,215皿23/2+413

即得隼1=2,設(shè)/Ti=s，則=解得s=2或。（舍去）,

3?+4133s2+1136

解得/=±百，故/方程為x=±6.y-l,即y=±*（x+l）；

（ii）由（i）知當(dāng)直線/的斜率存在且不為0時，-2%%=3（乂+%）,

且R（~4,乂），則G=??.

人,If

所以直線QR的方程為y-必=三二?（X+4）.

x2+4

由對稱性可知，若直線OR過定點，則定點在不軸上，

令…,得空

1（^1-^2）35

=-4-2-------=-4+-=---

乃一必22

所以直線Q?過點卜|,（））.

（5

當(dāng)直線/的斜率為0時，直線OR：y=o,過點-彳,0

I乙

綜上，直線過定點卜會o）.

2.（24?25高二下?湖南衡陽?期末）已知拋物線C：_/=23經(jīng)過點。（〃\2后〃），C的焦點尸在x軸的正半軸上,

點4B在C上運動.

（1）求。的方程.

（2）若直線AB的方程為y=x-2,求“6尸內(nèi)切圓的半徑

（3）設(shè)點￡（3,1）,且跖平分4尸8,試問直線/8：A叩+〃（〃=1）是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是,

請說明理由.

【答案】⑴、=4x

⑵10石-12上

⑶是，（T4）

【詳解】⑴因為拋物線C/=2px經(jīng)過點0（p3,20p）,所以2p.p=（2&p『,

解得p=0或p=±2,

又C的焦點廠在x軸的正半軸上，所以P>0,則〃=2,則C的方程為jJ=4x.

（2）設(shè)/（*,乂），8（馬，月）?

y=x-2,、X)+x2=8,

由4得f_8x+4=0,A=48>0,貝IJ

[y=缶x)x2=4,

\AB\=71+1"J(X[-4XR=4娓，

\AF\+|SF|=Xj+l+x2+1+x2+2=10.

因為點尸（1,0）到直線AB的距離d/,

所以濟?的面積5=；小|力用二26,

所以尸二i一-,,25,,一~r=4^Z-=10V3-12>/2.

\Ab]+\Bb]+\AB\10+4#

（3）是，定點坐標為（T4）,

/______\

~FAFB

因為EF平?分乙4EB,所以而=2

設(shè)N(X],必),B(x2,y2),

~FA~FB（7-1,乂），A7+-4+上

人同同一x,+lx2+l~

「Qix2+1X］+1x2+1?

X,-1X,-1_

因為打1,0),麗=(2,1),所以-1—+-^—=2

X1+1X,+1

整理得中2-1=x}y2+x2y}+乂+必,

則嚕%+4X+…2，

即(4必必+16)(必+必)=(弘必『-16.①

將工=［沙+〃代入y2=4x,^y2-4my-4n=0,

則卜必=械

［必為二-4%

代人①可得(4〃?+/?+1)(/?-1)=0,

因為〃工1,所以4〃?+〃+1=0,即〃=-4〃?一1,

所以直線方程為x+i=〃?(y-4),

所以直線48過定點(-1,4).

3.(24-25高二下?山西?期末)已知拋物線G：V=2px(”0)的焦點為八。(2,")是0上一點，且|。可=3.橢圓

22

C2：'W=lg八0)的左、右頂點分別為4B,右焦點為尸，是。2上一點.

(I)求G，G的方程;

⑵已知火為。2上的一點(異于力，4兩點)，直線切?分別與直線X=4相交于P,。兩點，求|尸。|的最小值：

⑶己知直線/：X=，d+，(〃?工0)與G交于"，N兩點，直線產(chǎn)M和四的斜率分別為用，k2t且4+&=(),證明:

直線/過定點，并求出該定點的坐標.

【答案】(i)G：V=4x,G的方程為工+匕=1

43

(2)6.

⑶證明見解析，定點7(4,0).

【詳解】(1)因為。(2,d),且⑷3=3,所以⑷尸|=2+§=3,解得〃=2,

所以拋物線C：4=4x,尸(1,0),

設(shè)G的半焦距為J則由題意得c=L解得6=后

(T-b2=c2,C=1,

所以G的方程為右

因為4R,尸三點共線，所以;iQ/Q,

乂方二(.”+2,為)，存=(6/〃)，所以(%+2)匕,=6典,

所以外=”匕，同理為=當(dāng)，

與+2XQ-2

所以阿=|〃』卜佬-懸卜|陪3

人0T乙人。勺If人0

22A

因為點火在G，所以衛(wèi)+生=1,所以4-￡=彳尤，

433

所以仍。|二中：（4手）二3上,

4-片為

令=3則4=左（與-4）,

X。一4

代入]+[=1并整理，得（3+4左2卜；-32公%+64/-12=（）,

所以△=（-32/丫-4（3+4r）（64r-12”0,

解得0＜網(wǎng)《；，所以3』之6,即|尸。|的最小值為6.

2%

（3）

設(shè)”（七,必）,%（乙,%），

聯(lián)立;消去》并整理，得（3心力2+6,-2=0,

所以A=36/R2—4（3〃?2+4）（3——12）>0,化簡得3/>0,

由韋達定理得必+必=-黑3/2-12

乂）2

3/H2+4

%（工2-1）+力（』-1）%（〃必+—1）+乃（〃明+/一）「o

所以左+刈=乂?外

X]—1X?—1（x（-i）（x2-l）（x,-l）（x2-l）

此時必（研+/T）+為（加M+/T）=0,即2孫》2+。-1）（必+V2）=°，

6mt3廠—12叱1、|c3廠—12/\—6/w/

因為乂+必=-y,y=—；——，所以2〃?x--——+（/-l）x--——0,

3〃/+42123m2+43m?+4'73m2+4

所以6陽。-4）=0,因為加工0,所以1=4,

所以直線/過定點H。）.

4.（24?25高二下?陜西西安?期末）已知雙曲線。：.--3=18>0）的左頂點為“，右焦點為尸，A,8是C上的

兩點，線段48的中點為〃.當(dāng)8/_LM/時，tan^；V/F=2.

（1）求C的標準方程；

⑵若求直線/A的斜截式方程；

⑶若M,A,8三點不共線，且=證明：直線48過定點.

【答案】（1）/一己=1

8

⑵y=x+i

（3）證明見解析

【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為。，則《2=〃+],由題意產(chǎn)（c,O）,M（-l,O）,

當(dāng)6Q_L板時，過點尸且垂直于x軸的直線為x=c,

2

將x=c代入雙曲線方程,得c*2—卓=1,解得尸士〃；又tan-8”尸?2,則網(wǎng)。,〃）,

h2

又M（-1,O）,所以/一=2,結(jié)合〃2=°2一1,得/_]=2c-2,

解得。=3或。=一1,

所以〃=32-1=8,所以雙曲線C的標準方程為，-或=1；

8

（2）易知直線4?的斜率存在，設(shè)必）,8仁,為），

8，作差可得片-犬-士戈=0,

21=18

8

（必一為）（弘+必）_0

所以-工2）（玉+/）-

（1Q

因為線段AB的中點坐標為Hl-,-

，所以X[+x2=

所以2八.丫\（乂一必）:所以直線的斜率為"叢二"=1,

7（xi-x2）-----------------=0M

Q1

所以直線的斜截式方程為J-1=x-0即產(chǎn)x+1.

（3）由M,A,8三點不共線，故設(shè)直線力慶x="少+〃，

聯(lián)立/一一寸=I得（8/bmny+8/-8=0,

x=my+n

8/12-8

則必+%=一而丁必乃二薪口，A>0,

因為|，B|二2|M〃],則==所以4W_L8”，則必.麗=U,

因MA=(芭+1,必)=(my[+n+1,M)，M8=(x2+1,^2)=(my2+n+1,y2),

所以(孫+n+1)(,ny2+/7+1)+y]y2=0,

即(疝-1)必為+川(〃+1)(兇+%)+(〃+1)=°，

即依+m(〃n+1)+(“+1)2=0.

-科)'\8/H2-1)

即一]-8)-+1)+(8/-1)(〃+1)、。，

9

得7〃2—2〃一9=0,解得〃=,或〃=一1，

若〃=-1,則直線48:x=my-l,過點M,不符合題意;

H9,則直線2,滿足A>。，則過定點[9*0),

若〃二一

17

5.(24?25高二下?浙江?期末)已知拋物線￡:/=2X5>0),且過拋物線焦點廠作直線/交拋物線于A,B兩

點，弦長48最小值為4

(1)求拋物線￡的方程；

(2)過點A作直線力。交拋物線于點C,且直線/C過定點23.0),連接直線CE并交拋物線于點。，請問直線8。是

否經(jīng)過定點，若是請求出定點坐標，若不是請說明理由.

【答案】(1)V=4x

(2)直線經(jīng)過定點(；,0

【詳解】(1)因為拋物線E：j，2=2px[p>0),所以焦點坐標為：F3°，

過該焦點的直線方程為：x=〃?y+5,與拋物線的交點為：力(不必)，/占，8)，

與拋物線方程聯(lián)立得：卜'*咤nyJ2p〃w-p2=0,則『十%"2笠

而由拋物線的定義可知AB=xx+x2+p=〃*+y+my2+y+/?=2pm-+2p,

因為p>0,所以當(dāng)〃?=0時，力8有最小值，所以2P=4=p=2,

所以拋物線方程為V=4x.

y.+y,=4"？…

由(1)得，直線方程為x=〃?.y+l,且力人〃①

必必=T

設(shè)直線力C方程為x=(y+3,c(x3,y3)

與拋物線方程聯(lián)立得：2[=/_4夕-12=0,貝ij，”②

[y=?[必乃=T2

/、=4〃-

設(shè)直線C。方程為x=，少+1,。%，為，同理可得，③

[%乂=T

4

聯(lián)立①②③可得為乂=-3

設(shè)直線8。方程為工=做+6

x=ay+b,fy,+y=4a

與拋物線方程聯(lián)立得：2，=r-4砂-46=0,則七”d

[y=4x〔必以=一4人

因為必為=-^，所以力=g，所以直線80經(jīng)過定點(；,0)

22

6.(24?25高二下?云南?期末)已知雙曲線C:工-與=1僅>0)的離心率為亞,0為坐標原點，過點。的直線/交。

7b~

于乙。兩點，其中點尸在第一象限.

(1)求。的標準方程.

(2)設(shè)|04=5.

①求直線/的方程.

②過點尸作斜率分別為3心的兩條直線44,且直線4與。交于另一點A,直線4與。交于另一點8.若

勺+&2=3,證明直線過定點，并求該定點坐標.

【答案】（1）］一5=】

（2）①31y=0；②證明見解析，2,

【詳解】（1）因為C的離心率為0，所以=V2>解得b~=11

①由10Pl=5,得點。在以。為圓心，5為半徑的圓/+/=25上

設(shè)尸（私〃）（,〃>0,〃>0）,則卜〃「〃:解得［"=：’即尸（4,3）,

m~+n~=25,［n=3,

所以直線/的斜率為，直線,的方程為八即3x-4y=0.

44

②當(dāng)直線48的斜率不存在時，點48關(guān)于x軸對稱，設(shè)4（.”,%）,8（%,-%,）,

由勺+&=3,得及+二^=3,即:^二3,解得％=2<J7,不符合題意,

%-4x0-4x0-4

所以直線的斜率存在.

22

￡__2_=1

設(shè)直線48:〉="+/,由,77一'得（1一公卜2-2依一/2-7=0,

y=kx+/,

則l—"、0,A=4%2產(chǎn)+4（1—犬）（產(chǎn)+7）>0,即r>7*-7.

設(shè)a（X，必），8（孫必）,則中2二-一^，％+'

1一〃1-n

"-3-3。kx、+Z-3kx,+f-3-

因為人+〃2=3,所以—+—=3,即」?i1=3,

X1-4.v2-4-4x2-4

得（2k-3）X,X2十（/一4A十9）（七十KJ-&-24=0,

所以3d+24左2一14左+18切一8。一3=0,即(4〃+—3)(6女+3/+1)=0,

所以4"1-3=0或6々+3/+1=0.

當(dāng)必+”3=0時，直線49的方程為廣區(qū)+3-必，經(jīng)過定點戶(4,3),不符合題意；

當(dāng)6%+%+1=0時，直線/出的方程為)，=米-2左-;，經(jīng)過定點(2,.

綜上，直線過定點，且定點坐標為(2,一；.

22

7.(24?25高二下?河南南陽?期末)已知耳工分別是雙曲線C:*-3=1(?！?1〉0)的左、右焦點，A是C的右頂

點，|4耳|=3,且C與橢圓］+V=i有相同的焦點.

(1)求C的方程；

(2)若直線/：?=h+1與C的公共點個數(shù)為1,求A?的值；

(3)已知",N是C上不同的兩點，直線4WMN的斜率分別為腦內(nèi),4不在直線MN上，月.左他=3,證明：直線MN

過定點.

【答案】(IM-匯=1

3

(2)±百或±2

(3)證明見解析

【詳解】(1)橢圓］+_/=1的焦點為(-2,0),(2,0),所以雙曲線C的焦點也為(-2,0),(2,0),即c=2.

因為|4胃=a+c=3,所以。=1,所以從=。2一/=3,

2

故雙曲線。的方程為--二=1.

3

y=kx+\

(2)聯(lián)立J2，得3工2_(京+1)2_3=0,即(3—42)彳2—2h一4=0.

x2-^-=\

3

①當(dāng)3-F=O,即4=±6時，直線i與。的漸近線平行，只有1個交點；

②當(dāng)A=4k2+16(3-F)=48-⑵二=0,即4=±2時，

直線/與C相切，只有1個交點.

綜上，當(dāng)直線/與。的公共點個數(shù)為1時，k=±6或±2；

（3）

易知4(1,0),如圖，設(shè)M(XQJ,N(WJ2)，

顯然直線A/N不與歹軸垂直，則設(shè)的方程為》=〃少+〃，且〃工1.

x=my+n

聯(lián)立消去X得(-1)V+6mny+3/-3=0,

?4=1

顯然△=-4(3w2-l)(3/r-3)>0,

-6nin3〃2-3

所以必+為=

因為%冉=必必=3,

再一1X2一]

所以y防=3(X]-1)(/-1)=3(加必+〃-1)(my2+/?-1),

化簡得(3〃/—1)乂%+3〃?(〃一1)(必+必)+3(〃-1)2=0,即0病7),"-3)_183(〃-1)+3(〃=0

3"T3m~-1

又〃工1,化簡得〃=0,所以直線MN過定點(0,0).

8.(2025?河北邢臺?三模)橢圓C：￡+5=1(。>/,>0)的離心率為卜點(東G在。上.

⑴求仁的方程；

(2)圓。：f+3一百)2=/在橢圓。內(nèi)，過。的右頂點「作圓。的兩條切線心/2，斜率分別為勺.且分別與

C交于A,，兩點(均不與點F重合).

①求4"的值;

②當(dāng)f變化時，證明：直線48與X軸交于定點.

22

【答案】⑴?+g=l

(2)①1;②證明見解析

【詳解】(1)由題意可得e=￡c=71,且3二+39_=1,

a2a~4b~

又/=^+。2,解得a=2,b=0c=l,故C的方程為匕+二=1.

43

（2）①由題可得P（6,（）），設(shè)直線產(chǎn)力，PB的斜率分別為勺，42，

則直線4的方程為y=4。-G）,

由直線刃與圓。相切可知，圓心。到直線口的距離卜嚴一

整理得（3-產(chǎn)）〃；+6勺+3-產(chǎn)=0,同理（3--汽+6七+3-J=o,

則心網(wǎng)為方程（3-/）爐+6女+3"=o的兩個根，所以■.七=1.

y=k、(x-Q),

②證明：設(shè)/（對必），8（占,乃），由1歹2x2得(34+4卜2-652工+%-12=0,

+=1,

TT

milA9k；72HII3揚：一4行.一8百勺

則島一叩，即'=3啟+4'所以M=T'

所以d嚼孝福

3鳳-4仆-8圓

同理得8

3代+4~~'3代+4

-8限

-------H.....-

342+43立？+4

直線.的斜率心=巫二瓦五還

34；+43攵：+4

_-8詫+8例=_&+占=T

-24回-24?-33-3好-3依+七）'

所以直線初的方程為尸瑞二顯扁3亞;-4百、

3k+4y

人n陽-215-286G

令P=0,得彳=———r—;——=一7弋3,

3人「+4

所以直線/出與x軸交于定點7（-773,0）.

考點二定值問題

1.(24?25高二下?江西新余?期末)已知雙曲線「：，-￡=1(。＞0,方＞0)的左頂點為A,離心率為亭，過點

(-2,-2)作直線/與「交于8,C兩點，當(dāng)直線/的斜率為0時，的面積為4石.

(1)求雙曲線「的標準方程;

(2)若4B上AC,求直線/的方程;

\PD\

(3)若直線力8,力。分別與直線x=2交于。，E兩點,試探究在直線x=2上是否存在定點?，使得匕］為定值?

\PE\

若存在，求出定點尸的坐標和定值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)《一丁=1

4

(2)3x+2^+10=0

(3)存在,定點尸(2,1),定值為1

【詳解】(1)因為當(dāng)直線/的斜率為0時，△力5c的面積為4石.

所以的面積為S=1|^C|x|-2|=|BC|=4＞/5,

由對稱性得8,。點坐標為(±2有,-2),

則(±2＞圖(-2)

"b2"

結(jié)合e=正,c?=/+〃，得。=2,b=\,

2

所以雙曲線「的標準方程為二.

4,

2

(2)因為雙曲線上一步二1的左頂點為A,則力(-2,0),

4

因為直線/斜率不存在時不滿足題意，

所以設(shè)直線/,AB,力。的斜率分別為-k、,直線/的方程為j，+2=￡(x+2),

貝［左i：x+2)—歹］=1,

2

雙曲線三=1,gpX2-4/=4,

4

所以(X+2-2『-4./=4,貝I］(X+2)2-4./-4(K+2)=0,

所以(工+2)2-4/-4(X+2)-；,(.丫+2)—卜］=0,

即4/-2(x+2)^+(2A--l)(x+2)2=0,

所以4上一2」一+2"1=0,

lr+2；x+2

設(shè)8($,必)，C(x2iy2)f

則匕+左="+—=_1就鼠=』_匚=竺二1

人」?2x,+2/+2212再+2/+24

2k—13

若ABJ.AC,則〃芯=^——=-1?！?一士，

42

則直線/的方程為y+2=—'(x+2),即3x+2y+10=0.

(3)設(shè)直線48：y=k}(x+2).

令x=2,得歹=44,則。（2,他），同理可得E（2,軟2）,

假設(shè)存在點尸（20滿足題設(shè),

t—2+422

喘二管=告為定值,

t-4k2

所以t丁-2=M4=7'所以』,且|P晝D|=卜1+4文

卜4局一

即存在定點尸（2,1）,使得區(qū);為定值I.

2.（24-25高二下?廣西崇左?期末）已知雙曲線Q：4-4=1（?>0，b>0）的焦距為2#，/01），且點

（Tb'

“（Ml在。上?

（1）求。的方程；

⑵若直線/：y=/（x+l）與c的右支交于點￡（4,兄）（/>2）,求,2的取值范圍；

（3）若N是Q上不同的兩點（異于點A）,-M4V的平分線垂直于04為坐標原點），證明：直線的傾

斜角為定值.

【答案】（1）—一I=1

⑵俘5）

（3）證明見詳解

2c=2娓

b~b~[a2=1

【詳解】⑴由題知7T-R=1=L」

4a4h~[Zr=5

222

a+b=c

則c的方程為x、q=l.

（2）因為直線/：y=/（x+l）與C的右支交于點￡（4,加）（/>2）,

所以,一半=1=￡=5（,一1）,

仁+1『（丹+1）24+1IS'）

（5、

則r的取值范圍為-,5.

7

（3）記明：根據(jù)題意直線A/N斜率存在，

設(shè)了=后+〃？,M（xl9yi）,N（x2,y2）t

y=kx+m

<、v2=>（5-A:2-2kmx-m'-5=0,

r2-2_=i、7

C5

2km-nr-5

玉中2"MK，

2k2ni+2〃,=%

%+卜2=左（玉+%）+2〃1-

5-k25-k2

-2km2-10k2km2-\0k

xty24-x2y\=2kxiX1+〃?（演+x2）二5-k2-+5-k-=5-k2

浮與可0網(wǎng)，又乙以N的平分線垂直于兩

由（1）知/

所以直線4WMN的斜率尢,左2互為相反數(shù),

即k.+k2

卮、日、5—10k45km5y/5m5

3+%%-彳（"切-彳（必+%）+5==---汴+5

-20〃-2行癡一106”?+25-5/-5（左+5）（左一1）一26（左+5）

2（5-^2）~2（5--）

異于點A,.?.點A不在直線MN上，

+W*正-n立-k+m一立-手0,

2222

所以〃-5=0nA=-5,

即直線MN的傾斜角為定值.

3.(24?25高二下?上海閔行?期末)在直角坐標系xQy中，已知橢圓「:「■+/=I(a>〃>0)的長軸長為26，離

心率為手，直線，與X軸交于點旭(，％0),與「相交于A、8兩點.

(1)求「的標準方程；

(2)若/的斜率為1,且次?歷=0，求”的值；

11

(3)是否存在加，使兩7+口研恒為定值兄？若存在，請求出〃?與見的值，若不存在，請說明理日.

【答案】(1),+r=1

±

〃=V26

2)如

3)

土

〃=2,2=4

【詳解】(1)由已知橢圓的長軸長為2a=2追，即°=百,

又橢圓的離心率《=￡=逅，則°=&，

a3

所以力=42_，=],

故橢圓方程為5+"=1；

(2)由已知直線/的斜率為1,且過點〃(〃?,())，則直線/的方程為》=x-〃?，

設(shè)4(不乂)，8(%,%)，

---FV*=1

聯(lián)立直線與橢圓J3-，得4--6/內(nèi)+3〃，-3=0,

y=x-m

則A=36/n2-4x4(3m2-3)>(),即一2<〃?<2,

□3〃？3"/一3

且X|+工2=29XW=4~

XmXXXmX2

則必必=(l~)(2~〃?)=\2~(l+X2)+m=~~~

rmI7717Tn37w~-3nr—34〃廠-6

則OA-OB=x(x2+y[y2-——-——+—--=——-——=0,

解得〃?=；

2

(3)當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)直線/：y=k(x-m),即-局,

X2_]

聯(lián)立直線與橢圓了+”=,得(1+3公卜2-6公〃比+3公〃j_3=o,

y=kx-km

則△=(一6二加了一4(1+3公)(3A%/-3；=12(3二一時/+1)>0,

且%+%=%，中，=紋白

''1+3犬'1+3公

22

則=(X]-m)~+X=(1+^)(X],\MB\"=(X2-ni\+y[=(1+A)(x2-m\,

111f1112〃/+6-6公("，-3)68W2-12

\MB[1+r"演-〃?丫(々-〃?)J(w2-3)(1+^2)"-3(用2一3)~(1+4二)

11

又由「詢恒為定值汨

則8〃/-12=0,解得"[=彳，即"[二士，^,

22

且"$=4；

當(dāng)直線/斜率不存在時，直線=

此時|血/『=阿4『=^^

116

則2"

易知當(dāng)加=±*時''=嵩等

4.（2025?安徽蕪湖?模擬預(yù)測）在平面直角坐標系?中，雙曲線C：]-親＞=lg0力＞0）的左、右焦點分別為

石，?，離心率為2,過點“（0,〃?）（加＞0）且傾斜角為45度的直線4交雙曲線于A,8兩點（A在歹軸右側(cè)）且

而=3福0408=3.

（1）求雙曲線。的方程；

（2）若直線4是過C的右支上點尸的切線，且4不與X軸垂直，過大，層分別作直線4的垂線，垂足為工，T2.

①求證：點《均在以。為圓心的定圓上，&OT/PF”O(jiān)T2HPF.；

②求證：陽功|￡豈|是定值.

【答案】（1）--（二1

（2）①證明見解析；②證明見解析

【詳解】（I）e=-=2,:.c=2a,b=y/5a,

a

設(shè)4：y=x+m,力（X],乂），B（x29y2）,

22

廣廣.1

＜a，3a22r—2zwx—nV—3Q-=0,

y=x+〃？

設(shè)5（X2,J2）,則A=4〃J+8（/+3叫＞0,

fx（+x2=m

-m2-3a2c，

中2=2＜0

所以直線4：y=x+〃，與雙曲線交點位于兩支上，即8點在P軸左側(cè)，

/.nf=6〃

又=+必必=X\X2+（XI+川）（42+陽）=2X1%2+〃?（再+工2）+〃?。=3，

即2?丁，--+〃，--—+陽-=3,又m>0,解得加=6，

21乙）I，乙）

，/=1,

x2--=1.

3

（2）（2）①設(shè)尸60片7；=。，PFX（｝FJ2=W,

由雙曲線光學(xué)性質(zhì)，HP7\=NF】PQ

vPTX1F^,PF21F2T2,

??△PFQ,△尸5"均為等腰三角形，

:.PF、=PQ,F^=QT,,PF2=PW,F2T2=WT2

又YOT.，。弓分別為△/巧，△附鳥的中位線，

:.OTJ/PF2iOTJ/PF、,

又???QF1=PQ-PF1=%-PB=2a=2,

.?.。7；=1,同理，。弓=1,

??.(,△在以原點為圓心的單位圓上.

②法?：設(shè)尸關(guān)于。的對稱點為點/??設(shè)R處雙曲線的切線交6（于

由對稱性：Fr=F、T；,

由于X?-金=1的左右頂點為〃（TO）,K（1,O）,

3

故〃（-l,O）,K（l,O）,小%,號，均在單位圓上，如圖，

由圓的性質(zhì)得乃分￡（=月＜/（=耳H￡K=（c—a）（c+〃）=/=3；

法二、設(shè)P（玉,坊），過尸伉,小）的直線/2：尸及＞=左（%一旦）

y=kx+yQ-kx0,

＜2/=（3-公卜2-2〃（%-無％）》-3-（%-h0了=0

%一1=1

J

△=4日打-4）2-4（3-燈13-（凡-乜）［=0,

即（凡一5）2=公一3,故/卜：一1）一2履0%+尤+3=0,

又片-亨=1,故34=3+*

所以子公_2aoy。+3片=0,即（親＞6%）=0,解得太=》,

v-y=i,

又6(-2,0),鳥(2,0),

卜2.%7|=也日

5.(24-25高二下?上海青浦?期末)已知橢圓「:，+￡=1(〃＞。＞0),耳應(yīng)分別是橢圓短軸的上下兩個端點，片是

橢圓左焦點，M是橢圓上異于點牛打的點，固層是邊長為2的等邊三角形.

⑴寫出橢圓r的標準方程和高心率;

(2)當(dāng)直線“為的一個法向量是(-1,1)時，求以M片為直徑的圓的標準方程;

(3)設(shè)點戶滿足:PB、上MB、,PB2工MB2,求證:Sg:SNPB、BI為定值.

【答案】(1)《+/=1,e=—；

4-2

(3)證明見解析.

【詳解】(1)因為△用月層是邊長為2的等邊三角形，所以。=26=2,c=回,

又所以。=2,b=l,c=＞/3

故橢圓「的標準方程為工+/=1，離心率為6=3；

42

(2)因為"4的一個法向量是(-1,1),且直線過點810,1),

所以直線知功方程為:、-歹+1=0,

/f83

聯(lián)立直線加4方程與橢圓方程二+/=1,得5/_2y-3=0,解得M

4I55

所以線段"為中點為EH，線段“為長度為四圖=苧，

故以為直徑的圓的標準方程為fx4--T+L-!-T=—：

I5JV5)25

(3)由題意，點產(chǎn)為直線M片過點用的垂線與直線M層過點々的垂線的交點,

則直線做為:曠=產(chǎn)工+1,直線即為:曠二戶-工-1,

1一為1+為

聯(lián)立直線尸片方程與直線P&方程，消去y,得產(chǎn)工+1=產(chǎn)》-1,

1一%1+%

整理得4+4x=-2,解得_K-l__iLX。，

u-^o1+y。1]一打p~~r~~r~~~\

人0人or

111x

因為工倡用.忸也|同,8帥=點即訓(xùn)與上不忸也H,

所以S、MB,%:SAP8]&=4,得證.

6.(2025?湖北武漢?模擬預(yù)測)已知圓月：*+1)2+/=1,圓巴：(工-湖+卡=9.若動圓。與圓片外切,且與圓月

內(nèi)切，設(shè)動圓圓心C的軌跡為E.不過原點。的動直線/與曲線￡交于48兩點，平面上一點。滿足石，連

接BD交E于點、F(點產(chǎn)在線段4力上且不與端點重合)，若二；

3A048q

(1)求軌跡E的方程：

(2)試問：直線0408的斜率乘積是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.

(3)試問：四邊形Q/1F8的面積否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.

【答案】(1)《+?=1。工一2)

43

(2)不是，理由見解析

(3)是定值，”正

16

【詳解】(1)設(shè)動圓。的半徑為凡???動圓。與圓石外切，則|然|=氏+1,

乂因為?.?動圓C與圓石內(nèi)切，結(jié)合圖象可知：&<3,，|c6|=3-/?,

所以|函十|C周=4〉忸周,

由橢圓的定義可知，動點C在以大、鳥為焦點，4為長軸長的橢圓上,

設(shè)橢圓的方程為￡+￡=1(。>/>>0),半焦距為J

a~bz

貝ija-2,c-\,b2=a2/=3,

乂可知圓￡與圓石內(nèi)切，所以點。不能在切點處，即橢圓應(yīng)去掠點（-2,0）,

???曲線C的方程為三+上=1*。-2）.

43

（2）直線。4,。、的斜率乘積不是定值,理由如下：設(shè)4知必）,4々，為），則。（2石,2%）,

因為蹙:蹙啜T所以叫取進而T+密力管爭

土也25,3乃2

由點/在曲線E上得丁）/，丁'

---------r-----------1

43

所以工（工+近）+2（五+江）+之（2+地）=1,

4431643443

EK

+-

43

乂因為點力，8均在E上，即422帶入上式得牛+中二,

二

+A-

43

所以""研=告=:±-1不為定值;

2￡

、

+-

43

（3）因為點力，B均在E上,所以，E2

+

4232-

兩式同向相乘得￡+學(xué)今+專）=1，整理得：（竽+號＞+*戶72%）』，

由⑵知牛+守一帶入上式解得"必一52嚀，

又因為68=[。/1。例sinAAOB=；收+必2.月下1-懸懸

2zy|OA|IUliI

ir_■r_rJ（x；+y；）（*+頁）一即2+弘為『i,,3亞

5,X；+Ky/x；+無------jW+爐&+y2-------=71王為一與必1二—，

1575

所以S[MF8=^SOAB+S&FAB=WS&OAB

16

7.（24.25高二下?北京順義?期中）橢圓》的左、右頂點分別為43過右焦點尸的直線，與橢圓交于C,

D兩點、（與A,4重合），設(shè)"/C="l'^BD="2,

（1）求橢圓的離心率e與右焦點F的坐標.

（2）求證：g為定值.

【答案】⑴e=g,尸（I,。）.

（2）證明見解析

【詳解】（1）由橢圓方程二+亡=1得。2=4,〃=3,