第五節(jié)橢圓

課標要求

1.了解翻圓的實際背景，感受橢圓在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.

2.經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質.

3.通過柳圓的學習，進一步體會數形結合的思想.

4.了解械圓的簡單應用.

知識?逑點夯實八??ttMiRIBUftll

*MH

西甌亙1夯基

1.橢圓的定義

條件結論1結論2

平面內的動點M與平面內的兩個定點Fi，F2

4，B為橢圓的焦點；

IMFiI+IMF?I=2aM點的軌跡為橢圓

IFiF?I為橢圓的焦距

2a>IFIF2I

提醒若2a—IF1F2I,則動點的機跡是線段為乃；若24VIF1F2I,則動點的就跡不存在.

2.橢圓的標準方程和幾何性質

標準

>0)纖捺=">心。）

方程

圖形

續(xù)表

范圍—aWxWa；-bWyWb一bWxWb；-aWyWa

對稱軸：，軸、V軸：

對稱性

對稱中心：（0,0）

A\(—a>0),A2(a，0)；B\(0?—Ai(0>—a)?A2(0,a)；B\(—b,0)>

頂點

b),B,(0,b)B>(〃，0)

性

長軸A\A2的長為2a；

質軸

短軸的長為2b

焦距1F1F21=2c

e=￡,(0,1)

離心率a

a,b,c的

a2=/>24-c2

關系

口常用結論

1.若點P在橢圓上，尸為橢圓的一個焦點，O為橢圓中心，則（1）bWI。尸IW”；（2）a-cW尸FlWa+c.

2.焦點三角形：橢圓上的點P（的，y0）與兩焦點Q,&構成的△PFiB叫做焦點三角形，如圖所示，設NQPE=

0.

（1）IPFiI=IPF.I時，即點P的位置為短軸端點時，0最大，S△吊pF2最大，最大值為兒；

（2）IPFiIIPFiIsin（f=b2（an1=cIyoI；

S^FIPF2=\

（3）IPFiI?IPBIW（?：1%I）2=a2.

（4）焦點三角形的周長為2（a+c）.

3.焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦中通徑（垂直于長軸的焦點弦）最短，弦長/min=空.

a

f一點自

1.判斷正誤.（正確的畫7,錯誤的畫“x”）

（1）平面內與兩個定點H，三的距離之和等于常數的點的軌跡是梢圓.（x）

（2）橢圓的離心率。越大,橢圓就越圓.（X）

（3）方程//+〃），2=1〃>0,〃田〃）表示的曲線是橢圓.（\1）

（4）（a>b>0）與守2=1的焦距相同.（V）

2.（人A選一P109練習1題改編）設橢圓瑛+〈=1上一點。到焦點R的距離等于6,則點尸到另一個焦點出

1。036

的距離是（）

A.20B.14C.2A/5D.V14

解析：B由橢圓的定義知I尸BI+IPF2I=2/又橢畫<+^=1上一點P到焦點*的距離等于6,即I

10036

PF\I=6,且a=10,所以6+IPFiI=20,故IPBI=14.

3.（人A選一PI16習題12題改編）若橢圓C：?+?=1，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為（）

A.3B.2+6

C.2D.V3+1

解析：A由題意知。=2,b=W，所以c=l,則橢圓上的點到焦點距離的最大值為a+c=3.

4.（多選）已知橢圓的焦距是8,離心率等丁0.8,則（）

A.長軸的長為10

B.短半軸的長為6

C.焦點坐標可■以是（0,4）

D.橢圓的標準方程可以是1+<=1

解析：ACD由題意知2c=8,即c=4.又e=￡=0.8,所以a=5,2a=1（）,A正確.因為/—82=。2,所以〃2=

a

9,b=3,B錯誤.若橢圓的焦點在x軸上，則橢圓的標準方程為《十1=1,D正確.若橢圓的焦點在y軸上，則一

個焦點坐標是（0,4）,橢圓的標準方程為5+^=1,C正確.

5.已知P是橢圓C：《+3=1（。＞心。）上一點，Fi，B分別是橢圓C的左、右焦點，若NPFE=60°,

ZPF2FI=3O°,則橢圓C的離心率為遮一1.

解析：由題意知，NBPB=180°—/尸尸尸2一/〃尸2K=90°,所以I尸RI=IFIF2Isin30°=c,IPF?I

=IF1F2Icos30°=V3c由IPRI+IP&I=2a得，（百+1）c=2a,所以￡=々=6一1.

av3+l

考點.分類突破.???選考點I■,演第

橢圓的定義及其應用（師生共研過關）

Q&\?_____________________

[fill（1）如圖，圓。的半徑為定長r，A是圓0內一個定點，。是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線/和半

徑OP相交于點Q,當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是（A）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

（2）（2023?全國甲卷文7題）設尸尸2為橢圓。：9+丁=1的兩個焦點，點P在C上，若麗麗=0,則|

PFiI-IPF2I=（B）

A.1B.2C.4D.5

解析：（1）連接QA（圖略）.由已知得\QA\=\QP\,所以IQOI+IQAI=IQOI+IQPI=IOPI

=’.又因為點A在圓內，所以I04IVI0PI,根據橢圓的定義，點。的軌跡是以。，4為焦點，「為長軸長的

橢圓.故選A.

22

（2）由題意，得/=5,b=\,則/=/一〃=4.:而?耐=0,，尸4_1_尸尸2，???IPF}I+IPF2I?=I

22

F/2I=4C.VIPFiI+IPF2I=2mZ.IPF|I-IPF2I="，+%.丁6I+…=4a2/=2.故

選B.

解題技法

橢圓定義的應用技巧

（1）梢圓定義的應用主要有：判斷平面內動點的軌跡是否為橢圓，求焦點三角形的周長、面積及橢圓的弦長、最

值等；

（2）與焦點三角形有關的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、IPQI+IPF2I=2a,得到小。的關系.

口霰密訓練

1.已知Q,B是橢圓葛+3=1的兩個焦點，點P是橢圓上一點，3IPFiI=4IPFiI,則S%&F2=（）

A.24B.26C.22V2D.24V2

22

解析：A由橢圓方程可得焦點在y粕上，且4=7,b=2瓜,c=Ja-b=5.由橢圓定義可得II+I產卜?I

2

=2a=14.又3IPFiI=4IPF2I,所以IPF\I=8,IPF2I=6,又IF(F2I=2c=IO,所以IPQI+I

2

尸產2I=IF1F2I2,所以PFI±PF2,所以SziPF/zWIPRII尸尸2I=^X8X6=24.故選A.

2.已知橢圓梟+[=1上的一點。到焦點Fi的距離為6,點M是叩的中點，。為坐標原點，則OM|=

10036

()

A.2B.4C.7D.14

解析：C如圖所示，設橢圓的另一焦點為尸2，因為0,例分別是尸尸2和戶居的中點，所以IOMI=?PBI,

由橢圓的方程得。=10,所以2a=20,所以IPBI=2〃-I0FM=20—6=14,所以IOMI=7,故選C.

橢圓的標準方程(師生共研過關)

-點2/____________________d

IM21(1)已知橢圓c：2+\=1->。)的左、右焦點分別為a，B,離心率為右過B的直線與橢圓c交

于A,B兩點，若△RAB的周長為8,則橢圓C的方程為(A)

A.立+^=1B.日+日=1

431612

C.5=lD.3=I

242

(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點P(后，1),「2(-y/3,-V2),則該橢圓的方

程為5+2=1.

解析：(1)如圖，由橢圓的定義可知，△BAB的周長為4小所以4〃=8,〃=2,又離心率為g所以。=1,h2=

3,所以橢圓C的方程為[+《=].

43

缶

(2)設橢圓的方程為"火+與2=1(〃]>0,〃>0,且mW“).因為橢圓經過P”P2兩點，所以點P，尸2的坐標滿

(_1

足橢圓方程，則(6m+n=l,解得,加一?’所以所求橢圓的方程為￡+4=1.

13TH4-2n=1,n=-.93

3

解題技法

根據條件求橢圓方程的兩種方法

(1)定義法：根據橢圓的定義，確定序的值，結合焦點位笈寫出橢圓方程;

（2）待定系數法：根據題目所給的條件確定橢圓中的a,A當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓

的方程為/九F+〃y2=1（機＞（）,〃＞（）,〃浮〃），不必考慮焦點位置，用待定系數法求出"1,〃的值即可.

1.一個橢圓的中心在原點，焦點Q,F2在入軸上，P（2,V3）是橢圓上一點，且IPRI,IFRI,IPBI成

等差數列，則橢圓的方程為（）

A.江+^=i

86166

C.X=]D.S=]

84164

解析：A設橢圓的標準方程為《+《=1（QQO）.由點（2,遮）在橢圓上，可得去+得=[.=|所|,|

Fi&I.IPF2I成等差數列，，ISI+IPFiI=2IF\F?I,即2a=2-2c,-=^.又??,/=/一/落聯立解得/

a2

=8,〃=6.???橢圓方程為[+[=1.

86

2.過點尸（3,言）且與橢圓三十，=1有相同焦點的橢圓的標準方程為￡+三=1.

5156TH

解析：設所求橢圓的標準方程為2+《=1（心心0）,則。2—〃=9①.又點P（3,Y）在所求橢圓上，所以，+

胃L—1,即2+翔一1②.由①②得儲一25,屋―6故所求橢圓的標準方程為

a425b42516

橢圓的ri何性質（定向精析突破）

鋁虎3

考向1離心率問題

[M3]（1）（2023?新高考I卷5題）設橢圓G：捺+尸1（心1）,Q：9+產1的離心率分別為6，々，若

62=8臼，則4=（A）

A.—B.V2

3

C.V3D.V6

（2）⑵25?保定一模）已知橢圓C：攝+普=1（4/A0）的左、右焦點分別為B，F?,P是。上的點，且在第

一象限，M是/尸/后的角平分線，過點B作孫的垂線，垂足為B,若IPF?I=m，1。61=6/,一小，則。

的離心率為（B）

解析：（1）法一由題意知勺=:一Q：02=±N^=4z，因為及=b。1，所以/;=6義"a一:得〃=竽3.故選A.

法二代入臉證，若。=苧，則C產也"=必魯二=%又色=今所以62=恁1，所以。=乎符合題意，由

于是單選題，故選A.

(2)如圖，延長交PFi于點、E,可知\PF2\=\PE\=〃?，IEF\I=2〃-2〃?，所以IOBI=a-m=y[3b-

m,a=y/3b,所以e=；=Jl-.=平故選B.

解題技法

求橢圓離心率的方法

（1）直接求出4,C的值，利用離心率公式直接求解：

（2）列出含有a,b,。的齊次方程（不等式），借助于〃2=〃2一/消去〃，轉化為含有e的方程（不等式）求

解；

（3）利用公式。=卜一號求解.

yja2

考向2與橢圓性質有關的最值（范圍）問題

[?41（多選）己知橢圓卷+?=1,R,乃為左、右焦點，B為上頂點,P為橢圓上任一點，則（）

A.SAP&FZ的最大值為4V3

B.I尸尸J的取值范圍是[4一2百，4-I-2V3]

C.不存在點。使PQ_L尸尸2

D.IPBI的最大值為2V5

解析：AB依題意知，。=4,b=2,c=2痘,當P為短軸頂點時，（S^PF/2）a=gx2cX〃=4、后，故A正確；

由橢圓的性質知1小的取值范圍是5c,〃+c],即[4-2行4+2⑶故B正確；對于3

第，所以N柳0=爭所以NF山尸2=當，即/人尸匕的最大值為?，最小值為0，所以存在點戶使尸Q_LP尸2，故C

錯誤；對于D,設尸（血，兆），所以I尸81=]部+（y0-2）-又余+苧=1，所以詔=16—4瑞所以IP8I

=J16—4%+（y°—2）=J-3%—4y0+20=J-3（先+?+J又一2WyoW2,故當然=號時，IPBI

max=岑=竽，故D錯誤.

解題技法

與橢圓性質有關的最值（范圍）問題的求解策略

I利用*國的幾何泰義.七其足，■!的對作

￡?l一住.黑點三年彩.長“長逅山點,

F|丁丁二*_________________

*62）?1H用七爪.尤其是二次1Mt

￡電32包用不等人.乙方￡幅囪5的范m

口跟辭訓練

1.（2024.安慶一模）設廠是橢圓C：'+3=1的一個焦點，過橢圓。中心的直線交橢圓于尸，。兩點，則△PQf'

的周長的最小值為（）

A.12B.14

C.16D.18

解析：C由橢圓的對稱性可知P,Q兩點關于原點對稱，設橢圓的另一個焦點為長，則四邊形為平行四

邊形，由橢圓定義可知：IPFI+IPRI+IQFI+IQFM=4a=20,又IPFI=IQQI,IPFiI=I

QF\,所以IPFl+IQ/N=10,又PQ過原點，所以IPQImin=2〃=6,所以尸的周長的最小值為10+6

=16.故選C.

2.（2024?青島一模）己知。為坐標原點，點尸為橢圓C：=1（心心。）的右焦點，點A，B在。上,AB

的中點為F，OA±OIL則C的離心率為亨.

解析：產為48的中點，故AB與x軸垂直，令x=c,則三十卷=1,尸土L又可得c=t,即砒

a，/aa

—/=0,解得￡=匹三.

3.已知Q,B是橢圓C：攝+，=1->0）的兩個焦點，P為C上的點，。為坐標原點.

（1）若△POB為等邊三角形，求C的離心率：

（2）如果存在點P,使得PFI_LPF2,且△尸產出的面積等于16,求〃的值和。的取值范圍.

解：（1）連接PFi（圖略）.由△POF2為等邊三角形可知在△QPB中，NQP尸2=90°,IPF2I=c,IPF}I

=V3c,于是2a=IPFiI+IPFI=（V3+i）c,故C的離心率為

2e=a-=y[3~\.

（2）由題意可知，滿足條件的點尸（x,y）存在，且;lyl.2c=16,三.上=-1,1,

2x+cx—ca"b￡

即c|yl=16,①

/+）2=°2,②

S+S=|-③

由②?及〃2=/+c2得./=*■.

又由①知）2=與，故b=4.

由②?及片=護+/得f=與（如一③），

C

所以從而/=/+c222b2=32,故a24A泛.

當/?=4,位時，存在滿足條件的點P.

所以8=4,〃的取值范圍為[4a,+-）.

諜時?■蹤檢測??美.倦力|■唐.習

A旬*碗達標

1.（2025?江南十校聯考）與橢圓9/-4）2=36有相同焦點，且滿足短半軸長為26的橢圓方程是（）

B.次+^=]

25202025

C.丘+^=|D.^=l

20458085

解析：B橢圓9f+4）2=36化成標準方程為9+9=1,焦點在”日上，設所求橢圓方程為捻+5=1（a>b>

0）,依題意有「12產，所以片=25,從=20,所求橢圓方程為《+'=1.

U2-b2=9-4=5,2025

A.4B.8C.4或8D.12

解析：C當焦點在x軸上時，2>0,10-/??—（〃?-2）=4,，/〃二4".當焦點在y軸上時，〃?一2>10

—/n>0,m~2—（1。-/〃）=4,，5=8..?.〃?=4或8.

3.已知橢圓的長軸長為10,短軸長為8,則橢圓上任意一點P到橢圓中心。的距離的取值范圍是（）

A.[4,5]B.[6,8]

C.[6,10]D.[8,10]

解析：A不妨設橢圓的焦點在x軸上，則該橢圓的標準方程為巨卷=1.設點2G,），），則5條W5,且有V

2

=16一熱.所以I。產I=]爐+*=J±x2+16e[4,5],故選A.

4.已知尸是橢圓E：捺+3=1（心力>0）的左焦點，經過原點。的直線/與橢圓E交于P,Q兩點，若15=

3IQ產I,且NP~Q=12（）°,則橢圓E的離心率為（）

A.旦

解析：A如圖所示，由橢圓的對稱性可知，IPFI+IQFI=2a,由于IPFI=3IQFI,則IQFI=梟I

PFI=kt,由NPrQ=120°,得IP。I="〃，在△FQP與△FQ。中利用同角余弦值相等，則

IQFI：-產廣小2="一：+筆己,。：解得。=亞小則e=￡="

2\QF\-\QP\2IQFI?IQOI4a4

5.（多選）若橢圓C：?+\=l（力>0）的左、右焦點分別為B，尸2，則能使以FlE為直徑的圓與橢圓C有公共

點的〃的值為（）

A.V2B.V3

D.75

解析：ABC以后尸2為直徑的圓的方程為r+Vn/.因為圓/+,2=/與橢圓c有公共點，所以d2/,即9—

b22b2,所以加w￡即0V反子，故VLV3,2滿足條件，故選A、B、C.

6.(多選)(2025?沈陽質量監(jiān)測)設橢圓C：總+蔣=1的左、右焦點分別為Q，B，尸是C上的動點，則下列說

法正確為足()

A.IPFiI的最大值為8

B.橢圓C的離心率

C.△PAE面積的最大值等于12

D.以線段為直徑的圓與圓(x-4)2+(y-3)?=4相切

解析：ACD橢圓C：《+《=1的長半軸長。=5,短半軸長沙=4,則半焦距。=[2一爐=3.對于A,|PF]I

的最大值為a+c=8,A正確；對于B,橢圓C的離心率e=\=￡B錯誤；對于C,設點P(沏，并)，則I)叫I

max=4,而I尸|尸2I=2c=6,因此△PFiB面積的最大值等于:X6X4=12,C正確；對于D,以線段FiB為直徑

的圓為圓心0(0,0),半徑門=3,圓(x-4)2+(,-3)2=4的圓心C(4,3),半徑鹿=2,I

OCI=5=n+/2，則圓。與圓。外切，D正確.故選A、C、D.

7.若橢圓￥+t=1(5>0)的離心率為名則該橢圓的長軸長為4或2位.

m22

解析：由橢圓正+。=1的離心率為名當〃〉2時，橢圓焦點在x軸上，￡=乎=年1解得〃?=4,所以橢圓的

m22a2ym

長軸長為4；當0V〃?<2時，橢圓焦點在y軸上，￡="=屋，得,〃=1,所以橢圓的長軸長為2企.

a2V2

8.設B，巳分別是橢圓及(0</?<1)的左、右焦點,過點B的直線交橢圓E于A,B兩點.若I

AFxI=3IFiBI,AB_Lx軸，則橢圓E的方程為『+%2=1.

解析：如圖所示，設Fi(—c,0),F?(c,0),其中c=1一塊,則可設A(c,b2),B(xo，yo).由IAF\I

-2c=3x+3c,

=3IRbI,可得麗=3用，故0

2

-b=3y0,

5

-c

3，

即1

2代入橢圓方程，可得25(1；」)+多2=1,解得故橢圓方程為f+答=1.

-匕

3

9.已知橢圓C：a+￡=1(4>〃>0),焦點Fl(-C,0),Fl(c,0),左頂點為4,點七的坐標為(0,c),

A到直線硒的距離為裂

(1)求橢圓。的離心率；

O

(2)若尸為橢圓C上的一點，ZF1PF2=60,△PFiB的面積為次，求橢圓C的方程.

解：(1)由題意得，A(-a,0),EF”x+y=c,

因為A到直線的距離為凈，即喋?=爭，

所以a+c=V5〃，

即（a+c）2=3*又/=/-d,

所以（a+c）2=3（d2—c2）,所以2/+"—/=o,

因為離心率e=￡,所以2/+e—l=0,

a

解得e=：或e=-l（舍），

所以橢圓C的高心率為，

（2）由（1）知離心率6=￡=；,即a=2c,①

a2

因為NFIPF2=60°,的面積為

則;IPF\IIPFiIsin60°=V3,

所以IPFiIIPF?I=4,

（IPFXI+IPF2I=2a,

又|222

（IPRI+IPF2I-2IPF/IPF21cos60。=（2c）,

所以/一/=3,（2）

聯立①②得4=2,C=I,所以〃=/—°2=3,

所以橢圓C的標準方程為?+?=1.

10.橢圓C：\+，=1（。>〃>0）的左頂點為A,點尸，。均在C上，旦關于），軸對稱.若直線AP,A。的斜率之

積為;，則。的離心率為（）

4

A.—B.—C.-D.-

2223

解析：A法一設P（m，〃）（〃#0）,則。（一小，〃），易知A（一小0）,所以以/>?以0=T——

m+a-m+aM-m%

=7（*）.因為點P在橢圓C上，所以會■+%=l,得〃2=看（『一切2）,代入（*）式，得4=；,結合3=〃2—

4a2b2a2a24

c2,得3/=4/,所以e=￡=3.故選A.

a2

法二設橢圓C的右頂點為氏則直線BP與直線AQ關于），軸對稱，所以匕0=一依尸，所以以p?無?公。=一：

=《2—1,所以.故選A.

11.已知橢圓C：總十3=1的左、右焦點分別為H，”2，點M在橢圓C上，當△MFR的曲積最大時，AMFE

內切圓半徑為（）

A.3B.2C.-D.-

33

解析：D因為橢圓為，+《=1,所以。=5,b=3,.當△MF1B的面積最大時，點M為橢圓C的

短軸頂點，不妨設點M為橢圓C的上頂點，點O為坐標原點，內切圓半徑為，，則IMRI=IMF?I=

。=5,IFRI=2c=8,IOMI=b=3,S^MFiF1=^（IMRI+IMF?I+IQBI）?r=[IFRI-I

OMI,所以/?=%故選D.

12.（多選）如圖所示，一個底面半徑為迎的圓柱被與其底面成45°角的平面所截，截面是一個橢圓，則

()

A.橢圓的長軸長為4

B.橢圓的離心率為弓

C.橢圓的方程可以為。+4=1

D.橢圓上的點到焦點的距離的最小值為2-V2

解析：ACD圓柱的底面半徑是遮，直徑是2或，所以橢圓的長軸長2〃=蓋;=4,。=2,短軸長2。=2&，b=

V2,則c=Ja2-b2=或，離心率《=：=￥，以橢圓中心為原點，長軸與短軸所在直線分別為x軸，丁軸建立平面

直角坐標系，可得橢圓的方程為9+9=1,橢圓上的點到焦點的距離的最小值是。一。=2一企?故選A、C、D.

13.（2024?臨沂二模）橢圓盤+3=1（a>QO）的左、右焦點分別為尸I，尸2，P為橢圓上第一象限內的一點，且

PF,±PF,m與），軸相交于點Q,離心率e=粵，若誣=入的,則4=|

23o

解析：設I麗*I=〃?，IPF；I=n,則有〃尸+〃2=4/,機+〃=2。=2乂｝=華c,則（〃?+〃）2=/??2+n2+2wn=

當c2,即=^c2—4c2=yc2,貝】(m—n)2=nr+n2—2nin=4c2—yc2=1c2,即加一〃=言c,即m—$?：

釁?=―匚［二^=當小貝竽由，則有(竽)2

Ac,/A4IQKI=aII=4“2=D4c,IQKI=?OKID4c=

14.己知/i，&是橢圓