數(shù)列求和：錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組與并項(xiàng)求和專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)一錯(cuò)位相減法

1.(24-25高三下?河北邯鄲?開(kāi)學(xué)考試)19x；+17x,+15x.+…+升擊=()

3333

A.18H——B.17H——C.18H——D.17H—

22202°

2.（24-25高二上?湖南株洲?期末）已知數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和S”=（）

nw+1

A宜2'^-n-2「2-n+\、2-//+2

A-—B--—C.---D.---

3.（24-25高三下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)?多選）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿(mǎn)足卬=1,4=3,

。川=3%-2aM（〃22）,則下列說(shuō)法王確的有（）

A.數(shù)列｛%,「4｝為等差數(shù)列

B.數(shù)列卜%-2%｝為等比數(shù)列

C.S'=2"J

D.若4=〃％,則數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和7；=(〃-1)?2向-〃="4

4.（24?25高二下?浙江?期中?多選）已知在等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，其中％=1,%〃=2%+1,在等比數(shù)列

｛2｝中,4=°2，b2=a5，則（）

A.S.二〃2B.數(shù)列｛bgzU｝是等差數(shù)列

C.數(shù)列」一的前〃項(xiàng)和為D.數(shù)列｛。也｝的前〃項(xiàng)和為（〃-1）3川+3

44-2〃+1

5.(24?25高二下?遼寧?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=仞-2)?3”，其前〃項(xiàng)和為S.,貝ij

Sn=?

6.(24?25高二下?山西?開(kāi)學(xué)考試)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿(mǎn)足2'=3/-3,則數(shù)歹U｛皿：｝的前〃項(xiàng)和

為.

7.(2025?全國(guó)一卷?高考真題)設(shè)數(shù)列｛〃"｝滿(mǎn)足q=3,4壯=勺+/=

n〃+1n(n+\)

(1)證明：卜町,｝為等差數(shù)列；

2m

(2)設(shè)/'?=a,x+a2x++amx,求f\-2).

8.(2025?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))設(shè)S”為數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，當(dāng)〃之2時(shí)，S“+2=5S/「8S.+4si已知q=1,

。2=4,%=12.

(1)證明：數(shù)列｛a.+,-2a?｝為等比數(shù)列：

(2)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

⑶求S..

9.(24?25高三下?日麗慶陽(yáng)?期中)記S.為正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且qS“二(〃十1)4.

⑴求q的值；

(2)判斷/｝是否為等差數(shù)列，并求｛叫｝的通項(xiàng)公式；

⑶求數(shù)列｛%?旬｝的前〃項(xiàng)和9.

10.(2025?遼寧盤(pán)錦?三模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，其中為=3,S,,=；〃2+Q?.

(1)求％的值以及數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：

(2)若4=%…，求數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和T“.

11.(2025?海南?模擬預(yù)測(cè))已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝的前Q項(xiàng)和為

&+1)(?+1)=4(工+磯〃cN)數(shù)列色｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)々=3也=%.

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)％=%?"，求數(shù)列&｝的前“項(xiàng)和

12.(2025?四川成都一模)記S。為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知。2=6,且(〃+2)S“=〃％.

⑴求S1,S2,S3：

(2)在下列兩個(gè)結(jié)論中，任選一個(gè)加以證明；(若兩個(gè)都證明，以首選計(jì)分)

①｛｝｝是等比數(shù)列：②｛言y｝是等比數(shù)列.

(3)記7；為數(shù)列｛S,J的前〃項(xiàng)和，求7；.

13.(24?25高二下?遼寧?期末)已知數(shù)列應(yīng)｝滿(mǎn)足勺=-2,且。,+產(chǎn)勺=-4、3".

⑴求，，%，4；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)2=y,求數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和S”.

14.(24?25高二下?遼寧大連?期末)已知數(shù)列應(yīng)｝的前〃項(xiàng)和為S”，q=1,凡“=2'.

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式：

⑵設(shè)bn=求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Tn.

考點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法

1.（24?25高二下?河南南陽(yáng)?期末）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且q=2,2s+數(shù)列｛2｝滿(mǎn)足

記｛4｝的前〃項(xiàng)和為若北〈陽(yáng)恒成立，則機(jī)的最小值為（）

2.（24-25高二下?云南麗江?期末）已知數(shù)列依｝滿(mǎn)足巴包二^="一一”川￡N）且q=l,『*=焉，則

anan+21013

卅2+6%+???+4%

n

2〃+1

3.（24?25高二下?廣東肇慶?期末）記等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，且S?=2,S6=12,記7；為!的前〃項(xiàng)

和，則久=（）

9八116〃14「232

A.-B.C.—D.---

54555

4.（24-25高二下?云南?期末）設(shè)數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足％+2%+36+…+〃《=2〃-1（〃六），則數(shù)列黑｝的前9項(xiàng)和

為（）

5.（24-25高二下?四川雅安?期末?多選）已知數(shù)列｛牝｝中，?,=-7,%=a“+2,〃eN「其前〃項(xiàng)和為S“，則

A.an=2/i-9B.Ss=0

C.當(dāng)工取最小值時(shí)，〃-5D.數(shù)列’的前"項(xiàng)和為'=一廠(chǎng)市7

6.（24?25高二下?內(nèi)蒙古包頭?期末?多選）若等差數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)和為%=4,57=42,則下列說(shuō)法正確

的是（）.

A.4=7B.{4+〃}為遞增數(shù)列

2

C.Sn=l?+|-wD.‘------的前4項(xiàng)和為卷

22[ana^21

7.（24?25高二下?四川資陽(yáng)?期末）如圖所示的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人

稱(chēng)為“三角垛.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)第〃層有凡個(gè)球，則

牝=，數(shù)列｛/｝的前50項(xiàng)和為.

8.（24?25高二下?河南焦作?期末）在數(shù)列?。校?=4,且。川=%+卬+8〃，則

q-Ia2-\%—I%025一?

9.（24-25高二下?湖北武漢?期末）己知數(shù)列，-4〃2既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，且則數(shù)列｛%｝的前

U3

50項(xiàng)的和S$o=.

10.（24?25高二下?湖南永州?期末）已知數(shù)列｛〃"｝滿(mǎn)足《+2%+…+2”&=〃.2",則數(shù)列,<-前100項(xiàng)和

為.

11.(24-25高三下?山西大同?期末)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且q=6,+

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式：

⑵若"二；,*=岫2+b2b3+…+b也+],求?；.

“If

12.(24-25高二下?廣東江門(mén)?期末)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，且S“=〃2+3〃.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

4

(2)令4=—-+1,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和乙

,“"I

13.(24-25高三下?云南?階段練習(xí))設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為2,滿(mǎn)足，=54+―

，Ian/

⑴求。2；

⑵求證：數(shù)列為等差數(shù)列：

4J

(3)求數(shù)列｛4｝的前100項(xiàng)的和兒0.

14.(24-25高三上?天津?階段練習(xí))已知等差數(shù)列｛凡｝的首項(xiàng)為1,30=%.數(shù)列｛0｝為等比數(shù)列，且

4-%=1，%=1.

⑴求數(shù)列n｝和圾｝的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)數(shù)列｛%,。｝的前〃項(xiàng)和為S”，求S。；

⑶求證￡上=".

15.(24?25高三上?福建福州?階段練習(xí))已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列乩｝滿(mǎn)足卬=1,4「冊(cè)+廣片+%.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

⑵設(shè)"二兀匕數(shù)列｛“｝的前〃項(xiàng)和為北，若1>100”,求滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)〃.

16.(24-25高二下?遼寧大連?期末)已知等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S”，4=11，$3=21.

⑴求｛。力的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)“=」一，數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為9,求心.

Ui

考點(diǎn)三分組與并項(xiàng)求和

1.(2025?河南?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛叫和｛，｝滿(mǎn)足卬=2嗎=5力=2也=3,｛%+“｝是等比數(shù)列，｛〃“-2｝是等

差數(shù)列

⑴求｛。"+“｝和｛a”-。｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛q｝和也｝的通項(xiàng)公式:

⑶求｛qj的前〃項(xiàng)和

2.(24?25高二下?北京房山?期末)設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，｛2｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，已知q=1,A=2,

b2=a2.b3=a2+4.

⑴求｛q｝和也｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)%=q+”,求數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和2.

3.(24?25高二下?河南商丘?期末)己知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)是1,%=1%+：空震；

%+2,〃為偶數(shù).

(1)證明：｛〃"｝的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列；

⑵求應(yīng)｝的前〃項(xiàng)和S”

4.(2025?黑龍江齊齊哈爾?三模)已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足％=3,%=6,數(shù)列｛“｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿(mǎn)足

⑴求數(shù)列"｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為S”，若.

下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線(xiàn)中.

①3sLs3-3；

②2%也成等差數(shù)列；

③4,。3也成等比數(shù)列.

:"’7斗篇曲求數(shù)列｛%｝的前20項(xiàng)和

log?&，〃為偶數(shù)，

注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

5.(2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛,｝滿(mǎn)足/=-1,。向=?+；”+便將，記4=的"一

2。,+1,〃為偶數(shù)

⑴證明：數(shù)列｛%小+5｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列低｝的通項(xiàng)公式；

⑶求數(shù)列卜也｝的前〃項(xiàng)和