第一章集合與常用邏輯用語、不等式

第5節(jié)一元二次函數(shù)、方程和不等式

第二課時一元二次方程、不等式

益學習導航站

二核心知識庫：重難考點總結(jié)，梳理必背知識、歸納重點

考點1一元二次不等

考點2三個“二次”間的關

考點3（x-a）（x-d）>0或（x-W（x-b）〈O型不等式的解

考點4分式不等式與整式不等式★★★☆☆

（星級越高，重要程度越高）

青限時【變式訓練】挑戰(zhàn)場：感知真題，檢驗成果，考點追溯

【知識梳理】

考點1一元二次不等式

只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式.

考點2三個“二次”間的關系

判別式

J>0J=0J<0

A=h2-4ac

二次函數(shù)

義

y-（vr^bx+c

（4>0）的圖象

—元二次方程有兩相異實

有兩相等實根沒有實

aj^+bx+c-O

根XI,X2b

X\=X2=--數(shù)根

（。>）的根2a

0（X\<X2）

a^^bx+oO

{x\x>X,或

2x<%1}R

3>0)的解集卜叱一a

ar+Z?x+c<0

3xi4<X2}00

m>（））的解集

考點3（廠〃）（廠。）>0或（廠〃）（廠。）〈0型不等式的解集

解集

不等式

a<ba-ba>b

(x-tz)*(x-/?)>0{x|.￥<67,或x>b}［小-b,或■￥>〃}

(x-a)-(x-b)<0{x|t7<X<Z?)0

考點4分式不等式與整式不等式

（1端>0（<0）何（“四）>0（〈0）.

（2瑞，（）（wo）q（x）?ga）eo（wo）且ga）wo.

【解題技巧】

1.絕對值不等式|x|>a（a>0）的解集為（-8,u（a,+<?）;|x|<a（a>0）的解集為（-a,a）.

記憶口訣:大于號取兩邊，小于號取中間.

2.解不等式加+笈+00（<0）時不要忘記當a=0時的情形.

3.不等式aF+以+c>（）（<0）恒成立的條件要結(jié)合其對應的函數(shù)圖象決定.

⑴不等式加+法30對任意實數(shù)x恒成立=?；颍?；JJ

⑵不等式加+/叱<（）對任意實數(shù)x恒成立=｛：：；="或｛11J

【教材回用概念思考辨析+教材經(jīng)典改編

1.思考辨析（在括號內(nèi)打“Y”或“x”）

(1盧等價于(尸。)(丁〃)20.()

(2)若不等式加+以+。<0的解集為(xi,X2),則必有〃>().()

(3)不等式的解集為[-歷,Va].()

(4)若方程加+歷"=0(火0)沒有實數(shù)根，則不等式加+法+00(。<0)的解集為

R.()

【答案】⑴X(2)4⑶X⑷義

【解析】⑴錯誤.弁20等價于(尸。)。-/?)20且xWb.

x-b

(3)錯誤.當a=0時,其解集為{0};當a<0時,其解集為。.

(4)若方程加+匕廿c=0(d<0)沒有實根,則不等式aF+/?x+c>0(4<0)的解集為0.

2.(人教A必修一P53練習TI改編)不等式-2?+不忘-3的解集

為.

【答案】(-oo,-i]ug,+oo)

【解析】由-2f+xW-3可得2好-尸320,

即(2x-3)a+l)20,

得xWT或x2|,

故不等式的解集為(-8,-1]U[|,+8).

3.(北師大必修一P41T1改編)若不等式/+辦+疣>0的解集為(-8,T)U(2,+8),則

a+b=.

【答案】-3

【解析】由題意可得-〃=T+2"二(T)X2,

即a=-\,Z?=-2,故a+b=-3.

4.(蘇教必修一P69Tli(2)改編)若一元二次不等式2心2+止]<0對一切實數(shù)x都成

O

立,則實數(shù)k的取值范圍是.

【答案】(-3,0)

(k<0,

【解析】由題意知［/=/_4x2kx(-§<0,

解得3Vz<0.

【考向核心題型】

考點1三個二次之間的關系

【典例】1.(多選)已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(-8,-2)U(3,+8),

則()

A.a>0

B.a+b+c>0

C.不等式hx十c>()的解集是{x|x<-6}

D.不等式cjr-bx^a<0的解集為(一8,-U&+8)

【答案】ACD

【解析】???關于x的不等式加+區(qū)+。>0的解集為(-8,-2)U(3,+8),

/.a>0,A正確；

-2和3是關于x的方程or+Z?x+c-0的兩根，

—2-|-3=--

由根與系數(shù)的關系得c°,

-2x3=:

a

則『=u

(c=—6a,

n+h+c=-6a<(),R錯誤；

不等式bx+c>0可化為-0￥-6〃>(),得工<-6,C正確：

不等式cr2—Z?X+Q<0可化為一GaF+ar+KO,艮［16.r-x-l>0,

解得或x>|,D正確.

故選ACD.

【思維建模】

1.一元二次方程的根就是相應一元二次函數(shù)的零點，也是相應一元二次不等式解

集的端點值.

2.給出一元二次不等式的解集,相當于知道了相應二次函數(shù)的開口方向及與二軸

的交點,可以利用代入根或根與系數(shù)的關系求待定系數(shù).

【變式訓練】1.（多選）已知關于x的不等式。（田1卜（k3）+1>0（〃#0）的解集是

（X1,X2）（X]<X2）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.xi+xz-2B.xiX2<-3

C.-1<YI<Y2<3D.X2-XI>4

【答案】ABD

【解析】由題意得,4<0,且X1,X2是一元二次方程。（x+1）（尸3）+1=0,

即ax2-2ox+1-3a=0的兩根，

所以的+X2=-3二2,故A正確：

a

xix2二上四二工-3〈-3,故B正確：

aa

X2-XI=7（^1+X2y-4X1%2

=k-4x—=2k-->4,故D正確；

yjayja

由X2~xi>4y可得T<XI<X2<3是錯誤的，故C錯誤.

考點2不等式的解法

【典例】2.（多選）下列選項中，正確的是（）

A.不等式『+廠2>0的解集為{?。?2或Q1}

B.不等式言W1的解集為3-3Wx<2}

C.不等式|尸2|21的解集為{x|lWxW3}

D.設x￡R,則“|尸l|vl”是“善0”的充分不必要條件

【答案】ABD

【解析】因為方程廠2=0的解為川=1,12=-2,

所以不等式X2+X-2>0的解集為{^|.r<-2或Qi},故A正確；

因為組}1W0,即當￡0,

x-2X-2

即。+3)(尸2)《0(尸2金0),

解得-3Wx<2,

所以不等式的解集為{r|-3^x<2},故B正確；

由|廠2|21,可得X-2W7或廠221,

解得1或工23,所以不等式的解集為1或x23},故C錯誤;

由|廠1|<1,可得

解得04<2,由=<(),可得-4<rv5,

x-5

因此“|尸1|<1"是“空<()”的充分不必要條件，故D正確.

【典例】3.解關于x的不等式1)x+1<0(aR).

【解析】原不等式變?yōu)?kl)(x~l)<0,

①當〃>0時，原不等式可化為

(x-J)(x-l)<0,

所以當時，解得

a

當。二1時，解集為。；

當0<〃<1吐解得1<V<-.

a

②當a=0時，原不等式等價于-x+l<(),

即Ql.

③當。<0時,Li,原不等式可化為

a

解得Q1或

a

綜上，當()va<l時,不等式的解集為

當個1時，不等式的解集為。，

當時,不等式的解集為卜［1<X<1},

當a=0時，不等式的解集為{耳>1},

當a<0時,不等式的解集為{如V［或x>1).

【思維建?！繉瑓⒌牟坏仁?應對參數(shù)進行分類討論,常見的分類有:

(I)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類.

(2)根據(jù)判別式/與0的關系判斷根的個數(shù).

(3)有兩個根時?，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論.

【變式訓練】2.不等式|疝的解集是()

MF)Bg)

c.(-8,0)U&+8)D.(-8,0)U(0彳)

【答案】D

【解析】原不等式等價于

IJL44*****U,

即且XW0,故選D.

【變式訓練】3.解關于x的不等式f-or+l<0,

【解析】當/=/_4或0,即-2W〃W2時,原不等式的解集為。,

當J=tz2-4>0,即a>2或a<-2時,

方程『-以+1=0的兩根為

a-Va2-4a+7a2-4

元|=~--，X2二一--，

原不等式的解集為卜|出|三<%<竺當}.

綜上可知，當-時,原不等式的解集為。,

當〃>2或〃<-2時，原不等式的解集為

22

{a-Va-4,/a+Va-4)

考點3一元二次不等式恒成立問題

角度1在實數(shù)集R上恒成立

【典例】4.(多選)對任意實數(shù)%不等式2床2+丘-3Vo恒成立，則實數(shù)Z可以是

()

A.OB.-24

C-20D-2

【答案】ACD

【解析】當始0時，不等式即為-3<(),不等式恒成立；

當LW0時，若不等式恒成立,

<0,

=>-24<^<0,

=必+24kV0

于是-24<kW0,故選ACD.

角度2在給定區(qū)間上恒成立

【典例】5.(2025?鐵嶺協(xié)作校調(diào)研)已知VxG[l,2],力，￡[2,3],介入門/W0,則實

數(shù)小的取值范圍是()

A.[4,+8)B.[0,+8)

C.[6,+8）D.[8,+8)

【答案】C

【解析】因為x￡[l,2],y￡[2,3],

貝耳目”],所以諄[1,3],

2

又爐_*y〃及2<0,可得加子，

令可￡[1,3],

則”￡[1,3],“2戶一，

即只需〃72（產(chǎn)-％叫尸-尸（士一

當尸3時，P「取到最大值，（Pr）max=9-3=6,

所以實數(shù)m的取值范圍是[6,+8）.故選C.

角度3給定參數(shù)范圍的恒成立

【典例】6.(2024?杭州調(diào)研)若不等式『+px>4x+p-3,當0<pW4時恒成立,則x的

取值范圍是()

A.[-l,3]B.(-oo,-i]

C.[3,+8)D.(-8,-i)u(3,+8)

【答案】D

【解析】不等式x2+px>4x+p-3,

可化為(x-1)p+x2-4x+3>0,

由已知可得「(x-Dp+x2-4x+3]min>0(0W〃W4),

令?P)=1)p+f-4工+3(0W4),

可同f(0)=/一軌+3>0,

1/(4)=4(%-1)4-%2-4x+3>0,

解得上<-1或x>3.

【思維建?！亢愠闪栴}求參數(shù)的范圍的解題策略

(1)弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).

(2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判別式4一元二次不等式在給定區(qū)間上

恒成立,不能用判別式4一般分離參數(shù)求最值或分類討論.

【變式訓練】4.已知關于x的不等式2x-\>ni(x2-i).

⑴是否存在實數(shù)相，使不等式對任意xeR恒成立,并說明理由；

(2)若不等式對于x￡(l,+8)恒成立,求m的取值范圍；

⑶若不等式對于We[-2,2]恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.

【解析】

(1)原不等式等價于ntr-2x+(1-/n)<0,

當m=0時，-2x+1<0不恒成立；

當時,若不等式對于任意實數(shù)x恒成立，

貝|J需ni<0且/=4-4加(1-〃。<0,無解，

所以不存在實數(shù)或使不等式恒成立.

⑵因為x>],所以加〈言

設2x~l二二三二。,

4

所以吃:..

t2+2t-3C—+2

設g⑺十》2,y(i,+8),

顯然g⑺在(1,+8)上單調(diào)遞增.

當/-+8時,廣。+2—+8,-4——0,

tt-y+2

所以

所以m的取值范圍是（-8,（）］.

（3）設人機尸（『-11）,

當me［-2,2］時，火團<0恒成立.

當且僅當降2黑0,

即2/—2x—1<0,①

.-27—2%+3<0.（2）

由②得歡匚盧或其注”

取交集,得苧<x<?

所以X的取值范圍是kI鋁<%<芋}.

【限時訓練】（限時：60分鐘）

一、單選題

1.已知集合A二{月酎一尸6<0},8二{x|合WO},則ACI8等于（）

A.口卜1令W3}B.{4rW3或犬>4}

C.{川-2<xW4}D.{.用2?1}

【答案】A

【解析】因為不等式的解集為{#2?},

又不等式的解集為3一1〃<4},

人?JL

所以A={x|-2WxW3},8={川一1<XW4},

所以ACB={X|T4<3}.

2.（2025?鄭州質(zhì)檢）某同學解關于工的不等式加+反十c<0（〃W0）時，因弄錯了常數(shù)

的符號,解得其解集為（-8,-3）U（-2,+8）,則不等式bx2+cx+a>0的解集為（）

A.(TV)

B.(-8,—i)u(/+8)

C.&1)

D.

【答案】C

【解析】由題意可知亦0,

且-3+(-2尸上,-3X(-2)=—,

aa

所以b=5a,c=-6a,

所以bx2+cx+a>0可化為5X2-6X+1<0,

EP(5x-l)Cr-l)<0,解得&1.

5

故選c.

3.若不等式(〃-2)/+4(〃-2)廠12<0的解集為R,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.MTW〃<2}B.]〃|-kaW2}

C.{a\-l<a<2}D.{〃|TW〃W2}

【答案】B

【解析】當。二2時，原不等式為T2<0,滿足解集為R;

當a手2時,根據(jù)題意得〃-2<0,且6"2)2-4(52)X(-12)v0,解得-ka<2.

綜上,-lv〃W2,故a的取值范圍為{〃H<aW2}.

4.(2025?廈門調(diào)研)“若匕￡[：,2],3f-拉+1>0恒成立”是真命題，則實數(shù)2可能

的取值是()

A.2V2B.2V3

C.4D.5

【答案】A

【解析】力￡住,2],30-忒+1：>0恒成立，

即/<3盧2恒成立，

X

只需2<（3%+工）即可，

'"min

3x+-^23x--=2y/3,

X7X

當且僅當3d,即產(chǎn)包時等號成立，

X3

故x<2V3.故選A.

5.（2025-1月八省聯(lián)考）已知函數(shù)y（x）二,中-〃卜2〃2.若當x>2時,應。>0,則a的取值

范圍是（）

A.（-oo,l]B.[-2,1]

C.[-1,2]D.[T,+8）

【答案】B

【解析】法一fix）=x\x-a\~2a

2

_（x-ax—2Q2,X2Q,

I—%2-Vax—2a2,x<a,

當x<a時,?v）=ax2a

=-（x-：）可WO,

此時不滿足火戲>0;

當工2〃時,/0）二（k2。）（工+。），

若所0,加尸x符合題意；

若。<0,貝在（2。,一〃）上為負，（一+8）上為正,所以一〃W2,貝ij心一2;

若o>0,則於）在（-a,2〃）上為負，（24+8）上為正，所以2aW2,則“W1.

綜上,4￡[-2,1].

法二當x>2時,段)>0等價于x(x-a)-2a>0或x(a-x)-2a>0.

將?？闯晌粗?上述不等式變形為

(a+x)(a-0<0或(Q-+徐<6

2

對于("￡)40v0,此式不成立，。不存在；

對于(。+此(@-0<o,解得-x〈W，

故a的取值范圍是1.

6.(2025.恩施調(diào)研)已知關于x的不等式f-(研1)戶〃<0恰有三個整數(shù)解,則實數(shù)a

的取值范圍是()

A.[-3,-2)U[4,5)B.(-3,-2]U(4,5]

C.(-3,-2]U[4,5)D.[-3,-2)U(4,5]

【答案】D

【解析】不等式/-(。+1)工+。<0,可化為(廠。)(廠1)<0,

當。二1時，不等式(〃+1)廿戰(zhàn)0的解集為空集,不符合題意；

當a>\時，不等式f-(〃+l)x+〃v0的解集為

要使不等式恰有三個整數(shù)解，則4q《5;

當a<l時，不等式d-g+i)x+a<o的解集團，i),

要使不等式f-m+1)廣〃<0恰有三個整數(shù)解,則-3或興-2,

綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是|~3,-2)U(4,5].

7.關于x的不等式加-|川+2。20的解集是R,則實數(shù)a的取值范圍為()

A.憐+00)

B.(一8,苧

小然]

D.(一8,一葉U償,+8)

【答案】A

【解析】不等式以Tx|+2aN0的解集是R,

即對于V.t￡R,。/-國+2〃20恒成立，

即心(晟:U

當產(chǎn)0時，心0,

當xWO時，心了--」2,

日21n+諭

因為

F2比

當且僅當I川崎,即國二夜，

即戶土&時,等號成立,所以。岑，

綜上所述,狂憐+8).

8.下面給出了問題：“己知關于x的不等式*2+b+”0的解集為{犬卜24<1},解

關于x的不等式or?-反+c>0.”的一種解法：

因為不等式如斗公+O。的解集為3-2令<1},又不等式CLe-bx+c>0可化為a(-

4+Wx)+c>0,所以

-2<-x<l,即-l<r<2.所以不等式ax:~bx+c>0的解集為{川T<x<2}.

參考上述解法，解答問題：

若關于x的不等式*T魯<°的解集為{力2令<7,或《<3}.則關于x的不等

式」三十處1*0的解集為()

mx—1cx-1

A-(-1--l)u(p1)

B.(-l,1)U(1,3)

C.(-3,-l)U(l,2)

D.(-1，-3嗚1)

【答案】A

【解析】因為戶0不是不等式」L+吧<o的解，

mx-lcx-1

所以不等式」三十生二<0等價于

mx-lcx-1

恐+G)+b<0

(4)-(T+c'

所以-2<---1或1<--<3,

XX

解得T或1.

二、多選題

9.(2025.王州診斷)下列說法正確的是()

A.不等式4f-5戶1>0的解集是|

B.不等式2/-k6W0的解集是或X22}

C.若不等式8G+21<0恒成立,則a的取值范圍是0

D.若關于x的不等式2XV-3<0的解集是(g,1),則p+q的值為彳

【答案】CD

【解析】對于A,4X2-5X+1>0,即(尸1)(4廠1)>0,解得xJ或Q1,故A錯誤；

4

對于B,2X2-A-6^0,即(X-2)(2X+3)W0,解得-|<XW2,故B錯誤；

對于C,若不等式ox*2+8ax+21<0恒成立，

當片0時,21<0是不可能成立的，所以只能曰2Q,1?八而該不等式組

LA=64Q/—84a<0,

無解，故C正確；

對于D,由題意得名1是一元二次方程2f+p廠3二。的兩根，

從而”1=熱解得F=，3

(2+p—3=0,(5=一小

而當p=l時，一元二次不等式為2/+x-3<0,即（x-l）（2x+3）<0,

解得-2<1滿足題意，

所以〃+q的值為T故D正確.

10.（2025?紹興質(zhì)測）已知a￡R,關于x的不等式（〃廣2）。+2）>0的解集可能是

（）

A.{xx>（或％<_2}B.{x\x>~2}

C.x-2<%<-1D.k-<xV-2）

【答案】ACD

【解析】當。二0時，?仇-2）（戶2尸-2a+2）>0,解得x<-2;

當a>0時，（依-2）（3+2戶”卜-；）（工+2）>0,解得或x<-2,故A正確；

當a<0時，（or—2）（x+2）=a（x-j）-（x+2）>0,

若"-2,則公-1,則解集為空集；

a

若衿2,貝卜則不等式的解集為1||<x<-2},故D正確；

若衿2,解得〃vT,則不等式的解集為5|-2<r<*,故C正確.

11.（2025?淮南聯(lián)考）若存在使得0WF+OX+Z?WLX的解集為

{x|/〃Wx〈7w+l或x=〃）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.x^+ax+b^O的解集為{x|xWm+l或x2〃}

B.f+at+bWcF的解集為{必〃+1

C.c=-n

D.a*+2a>4b-4c

【答案】AD

【解析】對于A,B,因為m<n-lf

所以/〃+1<〃,

由題意得的解集為｛N〃?WxW〃｝,f+ar+〃20的解集為｛mW〃z+1或

A正確，B錯誤；

對于C,f+m+l)x+〃-c=。的兩個根分別為m,/?,x+iix+b=O的兩個根分別為

W1-l,77,

故tn+n=-a-1,mn=b-c,

由于mn-b-c,(〃2+1)〃=仇

故b-c^n-b,所以n=c,C錯誤；

對于D,因為n-m>1,n-m=

yj(m4-n)2—4mn=y/(-a—l)2—4(b—c),

所以J(一Q-1)2-4Q-C)>1,

兩邊平方得a+2a>4b-^cfD正確.

三、填空題

12.不等式三22的解集為

X+2--------

【答案】但-2

【解析】因為三22,

X+2

則工-2上在20,

x+2x+2

等價于(1-2幻(戶2)30戶-2),

解得-2<xW*

即不等式京22的解集為卜—2<1}.

13.一般地，把灰〃稱為區(qū)間(〃")的“長度”.己知關于X的不等式丁-履+2攵<0有

實數(shù)解,且解集區(qū)間長度不超過3個單位,則實數(shù)%的取值