2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一,選擇題（共7小題）

1.已知直線），=履+8與曲線/（x）=/+2+阮i相切于點尸（1,4）,則〃+什&=（）

A.3B.4C.5D.6

2.設(shè)中0,若x=3為函數(shù)/(x)=。(x?2)(x?a)2的極小值點，則。=()

A.3B.5C.3或5D.-2

3.已知函數(shù)/（x）=ax（a>0,存1）,直線），=x與函數(shù)y=/（x）的圖象相切，則。同=（）

1

A.eB.—C.erD.2e

e

4.已知函數(shù)/（x）是奇函數(shù)，當(dāng)於0時，/（x）=x/〃x+l,則曲線,=/（如在工=-I處的切線方程為（）

A.y=-xB.y=-x+2C.y=xD.y=x-2

5.已知函數(shù)/'（x）=等+/。，b￡R）,若/（x）的圖象在點（1,/（l））處切線方程為3x-j=0,貝lJa+〃

=()

9

A.0B.3D.6

6.已知函數(shù)/(x)=]/++cosx,若Q=/(logic)，b=/(sinl),c=/(1)?貝U()

A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b

7.f(x)=x-1-2bix,則/'(x)在x=l處切線方程為()

A.J4-X-1=0B.J'-A+I=0C.x=1D.y^-2x-2=0

二,多選題（共4小題）

（多選）8.下列結(jié)論正確的是（）

A.若y=M3,則/=0

B.若y=%則：/=_；4

C.若y=依，則y=擊

D.若），=工"，則了=（x+1）

（多選）9.下列求導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）

A.[In(1-20T=喜

B.(fex)?等

C.(』sinx)'=2ACOSJC

D.E)，=—

x產(chǎn)

(多選)10.下列函數(shù)中，是增函數(shù)的是()

A./(x)=2K-2'XB./'(%)=-：

C.f(x)=/+KD.f(x)=x-cosx

1

(多選)11.已知函數(shù)/(x)=0^+bx+cx+dfac<0,則/(彳〕的圖象可能是()

三,填空題（共4小題）

12.已知函數(shù)/（公=/T+o?+l的圖象在x=l處的切線與直線3x-），+l=0平行，則/（I）=.

13.曲線），=cosx+l在點得，1）處的切線方程是.

14.若兩條曲線存在一個公共點P,口在點尸處滿足以下兩個條件，則稱這兩條曲線在點尸處相切，點P

稱為它們的切點：①兩條曲線在點尸處擁有同一條切線（即切線重合）；②兩條曲線在點尸處的切線斜

率相等（若曲線可導(dǎo)）.已知圓C和），軸相切，且和y=bix相切于點4號，仇則圓的半徑

為.

15.已知不等式"相-HX+3>0的解集為{人伙<1或x>3},若?>0,b>0,ina+〃b=3,并且一+->k2-2k

ao

恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是.

四,解答題（共5小題）

16.已知命題p：3x>1,使得mNx+Sy成立；命題q：正數(shù)〃，滿足2a+b=l,不等式,恒

成立.

（1）若命題〃為真命題，求實數(shù)〃?的取值范闈：

（2）若命題〃和命題q有且僅有一個真命題，求實數(shù)〃?的取值范圍.

17.已知函數(shù)/(%)=/x+2x+二(?！闞).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(%)>2A-1+a在(I,+oo)上恒成立，求整數(shù)a的最大值.

1

18.已知函數(shù)/(%)=—4%+3仇》.

(1)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求f(x)在區(qū)間日，e］上的最大值.

19.已知函數(shù)/(X)=/+/心的導(dǎo)數(shù)/(x).

(1)求/⑴+f(1)；

(2)若曲線)，=/a)存在垂直于)，軸的切線，求實數(shù)。的他國.

20.為響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬眾創(chuàng)新”的號召，小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，生

產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品.經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元，每生產(chǎn).1萬件，需

另投入流動成本W(wǎng)(x)萬元.已知在年產(chǎn)量不足4萬件時，IV(X)=1X3+2X,在年產(chǎn)量不小于4萬

件時，W(x)=7%+號-27.每件產(chǎn)品售價6元.通過市場分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.

(1)寫出年利潤P(X)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量X(萬件)的函數(shù)解析式.(年利潤=年銷售收入-年固定

成本-流動成本.)

(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(2025年10月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共7小題)

題號1234567

答案DABDDDA

二,多選題(共4小題)

題號891011

答案ACDABDACDBD

一,選擇題(共7小題)

I.已知直線丁=丘+/2與曲線/(幻=o?+2+阮I(lǐng)相切于點P(1,4),則4+>々=()

A.3B.4C.5D.6

【考點】利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點上的切線方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運算求解.

【答案】D

【分析】把切點。的坐標(biāo)代入/(x)=。/+2+/辦求出m再求函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出再把。(1,4)代入y

=kx+b求b.

【解答】解：*.*/(.r)=Q/+2+/HX,.,./'(無)=2ax+[=4x+[,

???點P(1,4)在曲線/(x)=a?+2+/ztv±,

，a+2=4,解得a=2,所以/(I)=5,

即在點尸(1,4)處的切線斜率1=5,

把P(1,4)代入"也得〃=-1,

?*.a+b+k=2-1+5=6.

故選：￡>.

【點評】本題考查函數(shù)的切線問題的求解，屬基礎(chǔ)題.

2.設(shè)在0,若x=3為函數(shù)/=〃(x-2)(X-4)2的極小值點，則4=()

A.3B.5C.3或5D.-2

【考點】利川導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：邏輯思維.

【答案】A

【分析】根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0,求出小再結(jié)合極值點定義驗證判斷即可.

【解答】解：導(dǎo)函數(shù)/(x)=a[Cx-a)2+2(x-2)(x-加]=。(x-a)(3x-a-4),

由/(3)=0,得a(3-a)(5-a)=0,

又因為啟0,所以a=3或5.

當(dāng)。=3時，導(dǎo)函數(shù)/(x)=3(1?3)(3x?7),x=3為/(x)的極小值點；

當(dāng)4=5時，導(dǎo)函數(shù)/(x)=15(x-3)(x-5),x=3為/(x)的極大值點，不合題意.

故選:A.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于簡單題.

3.已知函數(shù)/(X)="(〃>0,存1),直線y=x與函數(shù)y=/(x)的圖象相切，則/()

1

A.eB.-C.erD.2e

【考點】由函數(shù)的切線方程求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：邏輯思維；運算求解.

【答案】B

【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)，對函數(shù)/a)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程a'。ma=1,根據(jù)切點既在

曲線上又在直線上得到方程。4=與，兩邊取對數(shù)得到刈加聯(lián)立方程EQ=4,解出xo=e,結(jié)

x0

合ma=3即可解得仇a=7-

x0e

【解答】解：設(shè)直線y=x與函數(shù)/(x)="(〃>(),存1)相切于點(xo,和)，

因為點(xo,.V0)在直線)=X上，所以和=xo，

因為點(X0,3X))在曲線/(x)="(〃>0,爾1)上，

所以y()=a"。(a>0?)>

所以有謨。=%0(?>0,存1),

因為/(x)="(a>0,?I),所以/(x)=axlna,/'(不。)==1,

所以I。：「/即xolna=1,Ina=工

^ax°lna=1xo

x<x<i

X'ta>=%o兩邊取X'j數(shù)有，lna=lnx0,BfJxolna=Inxo,

將仇a=工代入xi)lna=lnx\),有bvco=1,解得xo=e,

XQ

又因為mQ=，所以ma=J.

x0e

故選：B.

【點評】本題主要考查由曲線的切線方程求參數(shù)，屬于中檔題.

4.已知函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，當(dāng).吟0時，/(x)=H/zx+l,則曲線)=/(工)在工=-1處的切線方程為()

A.y=-xB.y=~x+2C.y=xD.y=x-2

【考點】利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點上的切線方程.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運算求解.

【答案】。

【分析】根據(jù)條件求出時/(外的解析式，然后求出/(x)在x=?1處的切線斜率，再求出切線

方程.

【解答】解：..,當(dāng)年0時，f(X)=xlnxJf1,

當(dāng)x<U時，-x>U,/(-x)=-xln(-x)+i,

由函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，可得f(x)=-/(r)=xln(-x)-1,

則x<0時，f(x)=bi(-x)+1,可得/(-1)=1,X/(-1)=-1,

所以所求切線方程為y+l=lx(『1),即y=x-2.

故選：。.

【點評】本題主要考查函數(shù)解析式的求法，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，屬于中檔題.

5.已知函數(shù)f(x)=嚶+6(。，bwR),若/(x)的圖象在點(1,/(I))處切線方程為3x?)=0,貝

=()

9

A.0B.3C.-D.6

2

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運算求解.

【答案】D

【分析】由在x=l處的切線方程是3x-y=0,得到/(I)=3,3-/(1)=0,再求出。，力的值即可.

【解答】解：?."'(X)的圖象在點(1,/(I))處切線方程為3x-y=0,

???(1,/(1))是切點，???3-/(1)=0,

/./(1)=3,即〃=3.

???切線方程3戈-)，=()的斜率為3,

函數(shù)/(%)=嬰+b(。，bER),

導(dǎo)數(shù)為f(x)=研：產(chǎn)),

:?f(1)=3,即。=3,

a+A=6.

故選：D.

【點評】本題主要考杳利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，屬于中檔題.

6.已知函數(shù)f(x)=,/+%sinx+cos%,若a=/(，ogje),b=f(sinV),c=/(,),則()

A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>h

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運算求解.

【答案】D

【分析】應(yīng)用奇偶性定義及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的奇偶性和區(qū)間單調(diào)性，再結(jié)合相關(guān)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及單

調(diào)性判斷函數(shù)值的大小關(guān)系.

11

【解答】解：因為函數(shù)定義域為R,且/(-%)=4(—%)2+(—無)sin(-x)+cos(—無)=4/+xs出x+

cosx=/(%),

故函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，

因為/'(%)=*%+sinx+xcosx—sinx=x("+cosx),

919

又在(0,算)上，//(x)=x(4+cosx)>0,即f(在在(0,")上單調(diào)遞增，

因為a=f(logie)=f(-log2e')=f{log2e)yH.0<sinl<1<log2e<log2>/S=5<in,

2/$

所以「(sinl)<f(log2e)</(|),即h<a<c.

故選：O.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于中檔題.

7./(x)=x-1-27/LV,則/(x)在x=l處切線方程為()

A.-1=0B.JT+1=0C.x=\D.y^+2x-2=0

【考點】利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點上的切線方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運算求解.

【答案】A

【分析】求函數(shù)/（x）在％=1處的導(dǎo)數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點斜式可得切線方程.

9

【解答】解：因為/（%）=x-I-2lnx,所以/'（%）=1—7人，

所以/（I）=0,/（1）=-L

所以所求切線方程為y=-1（x-1）,即x+），7=0.

故選：A.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

二.多選題（共4小題）

（多選）8.下列結(jié)論正確的是（）

A.若y=/〃3,則y=0

B.若y=5則y'=T依

C.若y=VL則y'=￡

D.若則了=（x+l）ex

【考點】簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想：綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運算求解.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運算法則逐一求解即可.

【解答】解：對于選項八，因為,=歷3為常函數(shù)，則）/=0,故選項A正確:

1113

對于選項4,若"專二"2,所以了二一?一2,故選項昔誤；

111

-2

X2-X=

對于選項C，若y=G=2故選項C正確:

對于選項。，若），=上"，所以（xeD（，）,=^+xec=（.r+1）/,故選項。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，是基礎(chǔ)題.

（多選）9.下列求導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）

2

A.[In（I-2A-）1=2^ZT

B.Ugx）三等

C.（『sinx）,=2.rcos.r

【考點】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運算求解.

【答案】AHD

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)、積的導(dǎo)數(shù)、商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)即可.

【解答】解：[仇(1-2x)]z=(Igx)'==解'(/sinx)'=2兩111+/8sx,(?)'=

exx-e*_ex(x-l)

x2°

故選：ABD.

【點評】本題考查了基本初等函數(shù)、積的導(dǎo)數(shù)、商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，考查了L算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

(多選)10.下列函數(shù)中，是增函數(shù)的是()

1

A.f(x)=2V-2XB./'(%)=-：

C.f(x)=/+xD.f(x)=x-cosx

【考點】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運算求解?.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系判斷即可.

【解答】解：對于4由于y=2'在R上為增函數(shù)，丁=2”在R上為減函數(shù)，

則/(x)=2匚2七是增函數(shù)，符合題意；

對于4,由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，/。)=一!在(-8,0),(0,+oo)上為增函數(shù)，不合題意；

對于C,f(x)=3/+1>0恒成立，

則函數(shù)/(/)=/+x是增函數(shù)，符合題意；

對于/(x)=l+siDA20,

則函數(shù)/(x)=x-c。注是增函數(shù)，符合題意.

故選：ACD.

【點評】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)11.已知函數(shù)/(x)=CA3+bx2+ex+d,acVO,則/(x)的圖象可能是()

【考點】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.

【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運算求解.

【答案】BD

【分析】求導(dǎo)，令f(X)=0,可得△>(),可得有兩個變號零點，可得有兩個極值點，可得結(jié)論.

【解答】解：由函數(shù)/(x)=axi+bx2+cx+dt可得/(x)=3/+2/>+?、=0,

則A=4/72-i2ac>0,

所以/(X)有兩個極值點X|,X2，且X/2=堤V0.

故選：BD.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

三.填空題(共4小題)

12.已知函數(shù)/G)=/1+/+1的圖象在x=l處的切線與直線3.「)，+1=0平行，則"1)=3

【考點】導(dǎo)數(shù)與切線的斜率.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運算求解.

【答案】3.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出。的值，再計算/(I)即可.

【解答】解：由題意函數(shù)/(「=?山+。/+1的圖象在x=l處的切線與宜線3x?)計1=0立行，

對函數(shù)/(x)=/7+/+1求導(dǎo)可得/G)=exi+2ax,

由題意可得/(X)的圖象在x=l處的切線的斜率為2a+l,

由切線與直線3x-y+l=0平行，可得2〃+1=3,解得。=1.

所以/(I)=e°+l+l=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線，是基礎(chǔ)題.

13.曲線產(chǎn)cosx+1在點（冬，1）處的切線方程是y=.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點上的切線方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運算求解.

【答案】y=-x+^+1.

【分析】由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再由點斜式得到直線方程可得.

【解答】解：因為）=cosx+l,所以y=-siru,

所以切線的斜率為一sin*=-1,

所以所求切線方程為y-l=-l-（x-^）,即、=r+今+1.

故答案為：y=-x4-+1.

【點評】本題考查函數(shù)的切線方程的求解，屬基礎(chǔ)題.

14.若兩條曲線存在一個公共點P,且在點尸處滿足以下兩個條件，則稱這兩條曲線在點尸處相切，點P

稱為它們的切點：①兩條曲線在點夕處擁有同一條切線（即切線重合）；②兩條曲線在點尸處的切線斜

率相等（若曲線可導(dǎo)）.已知圓C和y軸相切，且和），=/心相切于點45，則圓的半徑為3或

15

【考點】利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點上的切線方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運算求解.

【答案】高或持

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，進(jìn)而求得AC的參數(shù)方程，利用參數(shù)方程可求得，?的值.

343

--?訪

sI-

4=tanO=cosO=-55

r34

X-r

-一

I4-5v

所以可得AC的參數(shù)方程I33

y-+

-S-一

<45

34

---

設(shè)圓心C（r,a）,則r45

515

故答案為：石或凌■.

1■乙4

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬中檔題.

15.已知不等式的解集為bixVl或*>3},若a>0,/>0,m4+〃/?一3,并且21->k22k

ao

恒成立，則頭數(shù)k的取值范圍是吠I-10K3%.

【考點】不等式恒成立的問題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；運算求解.

【答案】網(wǎng)-田長3}.

【分析】根據(jù)不等式的解集可得〃+4/;=3,利用基本不等式可得工+：的最小值為3,故d-2代3,從

而可得我的取值范圍.

【解答】解：由不等式-心+3>0的解集為{小VI或x>3},得〃>0,

且1和3是方程〃層-加+3=0的兩根，

1+3

解得--4

由根與系數(shù)的關(guān)系得

1x3

所以〃心+〃〃=3,即為a+4b=3,

一，，111111a4b1la4b

所以1+3=5（0+助（￡+3）=5（5+3+至）工八5+21丁9）=3'

a4b（a=1ii

當(dāng)且僅當(dāng)三=一，即。=2”,又a+4〃=3,所以〃1,此時等號成立，所以一+二的最小值為3,

bag=2ab

因為2+->k2-2k恒成立，則]?-2k<3,即F-2L-30）,解得-10K3.

ab

因此,實數(shù)A的取值范圍是{&|-I必S3}.

故答案為：{AI-1W仁3}.

【點評】本題考查了不等式恒成立應(yīng)用問題，也考查了推理與運算能力，是中檔題.

四,解答題（共5小題）

16.已知命題p：3x>I,使得mNx+Sy成立；命題％正數(shù)小匕滿足2a+/?=l,不等式,恒

成立.

（1）若命題〃為真命題，求實數(shù)〃?的取值范圍；

（2）若命題〃和命題q有且僅有一個真命題，求實數(shù)〃?的取值范圍.

【考點】不等式恒成立的問題；復(fù)合命題及其真假；命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式；邏輯思維.

【答案】⑴[5,+oo）.

（2）（-oo,5）U（8,+oo）.

【分析】（1）根據(jù)命題為真命題，轉(zhuǎn)化為求工+工的最小值，即可求解.

（2）首先根據(jù)命題夕為真命題，結(jié)合基本不等式求，〃的取值范圍，再根據(jù)兩個命題一真一假，求實數(shù)

m的取值范圍.

【解答】解：（1）因為〃為真命題，

4

所以m>（X+—

因為X>1,

所以人-1>0,

所以％+—^7=X—1++124+1=5,

當(dāng)且僅當(dāng)％-1=工，即x=3時取等號，

X—L

所以m>5,

所以〃?的取值范圍為［5,+00）,

17

（2）若夕為真,則口4（弓+不）^1譏，

因為為+〃=1,a>0,b>0,

1212b4ab4ai

所以一+-=（-+-）（2a+d）=44--+—>4+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)一=—,即2a=b=5時取等號,

abababab,

所以〃區(qū)8,

①若〃為真，（7為假，則〃左5且〃小8,即/〃>8,

②若〃為假，q為真,則〃?<5且〃區(qū)8,tip/n<5,

綜上所述，〃?V5或m>8,

所以用的取值范圍為（-8,5）U（8,+oo）.

【點評】本題考查命題的真假，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.已知函數(shù)/（X）=仇工+2x+g（Q€R）.

（1）討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

（2）若/J）>2A-1+a在（I,loo）上恒成立，求整數(shù)a為最大值.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】應(yīng)用題；整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運算求解；新定義類.

【答案】（1）答案見解析；

（2）3.

2-2+%—a

【分析】（1）求出函數(shù)/（x）的定義域，求得/（%）=,對實數(shù)〃的取值進(jìn)行分類討論，利用

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)/（%）的增區(qū)間和減區(qū)間;

（2）由參變量分離法可得出aV當(dāng)導(dǎo)對,隹（1,+8）恒成立，g（%）=當(dāng)字，其中*>1,利用導(dǎo)數(shù)

求出函數(shù)g（A）的最小值，并求出g（x）最小值的取值范圍，即可得出整數(shù)〃的最大值.

【解答】解：（1）根據(jù)題目：己知函數(shù)/?（%）=仇x+2x+?（a￡R）,

所以函數(shù)/（x）的定義域是（0,+00）.

因為/"（%）=Inx+2%+g則尸（幻=i+2-4=2x2+2~a.

冗4X'

①當(dāng)A=1+8把0即Q<一機(jī)寸，2?+x-吟0,f（x）>0,

此時，函數(shù)/（x）的增區(qū)間為（0,+00）,無減區(qū)間：

1+1+8fl

②當(dāng)A=l+8a>0即。>一機(jī)寸，由2?+x-a=0得無1=匚*迺VO,x2=-^..

若一/<a<0?x2=I+J+8Q-0，xW（0,+00）時/（x）>0,

此時，函數(shù)/（x）的增區(qū)間為（0,+8）,無減區(qū)間；

至、八-l+，l+8a

若?>0,x2=--------------->0,

當(dāng)（0,X2）時，f（X）<0,當(dāng).隹（X2，+8）時/（X）>0?

此時，函數(shù)/（X）的減區(qū)間為（0,二1土要甌），增區(qū)間為（土產(chǎn)甌，+OO）.

綜上所述，於0時，fix）的增區(qū)間為（0,+00）,無減區(qū)間；

a>0時，/（工）的減區(qū)間為（0,二1±"甌），增區(qū)間為（二1±譽(yù)區(qū)，+00）.

（2）由題：若/（x）>2x?1+。在（1,+oo）上恒成立，

得仇工+q-。+1>0,即生竺善對（1,+00）恒成立.

XX—1

令。（乃二當(dāng)字，其中工>|，

(m％+1+1)(%-1)一(近九%+%)_1一切上一2

則,q'O)=

(xT)

令h(x)=x-Inx-2,則"(x)=l-i=—

XX

因為.隹（I,+8）,所以"（/）>0,所以〃（K）在（I,+00）上單調(diào)遞增.

乂h(3)=1-歷3V0,h(4)=2-歷4>0,

所以(3,4)滿足a(xo)=xo-IILXO-2=0?B|Jlnxo=xo-2,

當(dāng)1<XV刈時<h(%)<0,/(x)<0,g(x)在(1,xo)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x>刈時，h(x)>0,/(x)>0,g(A-)在(1,xo)上單調(diào)遞增

殉"飛+飛_無0(勺-2)+而

故=gOo)==%0，故aV.ro,

%0一1一％0一1

又因為3<xo<4,〃￡Z,所以當(dāng)/(x)>2x-1+〃在(1,+8)上恒成立時，。的最大值是3.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中等題.

18.已知函數(shù)f(x)=-4%+3仇》.

(1)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求f(x)在區(qū)間日，e］上的最大值.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.

【專題】綜合題：對應(yīng)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由題意，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及端點值再求解即可.

【解答】解：⑴易知/(公的定義域為(0,+oo),

—rzH〃/、..3(x-l)(x-3)

可得/(x)=x-4+-X=X----

當(dāng)OVxVl時，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增：

當(dāng)1VXV3時，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>3時，f(x)>0,/(x；單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(3,+00)；遞減區(qū)間為(I,3).

(2)由(1)得，當(dāng)工V》VI時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)IVxVe時，函數(shù)/(外單調(diào)遞減，

e

所以當(dāng)x=l時，f(x)取得極大值，極大值/(I)=一!

又/(：)=-3+3m［V-；，/(^)=—4e+3V-

所以/(x)在區(qū)間口，e］上的最大值為一］

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了邏輯推理和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.已知函數(shù)/(x)=o?+/〃x的導(dǎo)數(shù)/(外.

(1)求/(1)4/⑴；

(2)若曲線)，=/(%)存在垂直于)，軸的切線，求實數(shù)。的范圍.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入工=1,計算即可得到所求值；

（2）由題意可得2ar+[=0有大于。的實根，分離參數(shù)法，由x>0,可得。的范圍.

【解答】解：⑴函數(shù)/（幻=a&如:的導(dǎo)數(shù)/G-）=2or+g

可得/（I）+f（1）=〃+2a+l=3a+l：

（2）/（x）的導(dǎo)數(shù)/（x）=2辦+1,

由曲線y=/（x）存在垂直于），軸的切線，可得：

=0有大于0的實根，

即有勿=一當(dāng)<0,

X乙

可得?<0,

即。的范圍是（-00,0）.

【點評】本題考杳導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及存在性問題的解法，注意運

用分離參數(shù)，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.為響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬眾創(chuàng)新”的號召，小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，生

產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品.經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元，每生產(chǎn)x萬件，需

另投入流動成本W(wǎng)（x）萬元.已知在年產(chǎn)量不足4萬件時，I4/（X）=1X3+2X,在年產(chǎn)量不小于4萬

件時，IV（X）=7X+V-27.每件產(chǎn)品售價6元.通過市場分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.

（1）寫出年利潤P（幻（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量X（萬件）的函數(shù)解析式.（年利潤=年銷售收入-年固定

成本?流動成本.）

（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，G王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？

【考點】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值；根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維.

f-1z3+4x-2,0<x<4

【答案】⑴P（x）=364.

125—x---，x>4

'X

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時，所獲年利潤最大，為9萬元.

【分析】（1）分0VxV4以及.它4,分別求解得出P（x）表達(dá)式，寫成分段函數(shù)即可；

1n

(2)當(dāng)0VxV4時，求導(dǎo)得出。(%)加以=。(2)=當(dāng)然后根據(jù)基本不等式求出.侖4時，P(x)的最值,

比較即可得出答案.

【解答】解：(I)由題意，當(dāng)0cx<4時，PO)=6X-2-4/+2X)=_：X3+4X_2,

當(dāng)位4時，P(x)=6%-2-(7x+—-27)=25-x--,

XX

—ix3+4%—2,0<x<4

3

所以P(x)=64

25-x-^,X>4

(2)當(dāng)0<xV4時，P'(x)=-7+4,

令P(x)=0,解得x=2,

所以在(0,2)上，“(x)>0,p(x)單調(diào)遞增，

在(2,4)上，p'(x)<0,p(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)0Vx<4時，

PWmax=P(2)=學(xué)，

當(dāng)x>4時，PQ)=25-(x+y)<25-2Jx專=9,

當(dāng)且僅當(dāng)“"，即x=8時取等號.

綜上所述，當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時，所獲年利潤最大，為9萬元.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

考點卡片

1.復(fù)合命題及其真假

【知識點的認(rèn)識】

含有邏輯連接詞“或”“且”“非”的命題不一定是復(fù)合命題.若比命題的真假滿足真值表，就是復(fù)合命題，

否則就是簡單命題.邏輯中的“或M且“啡”與日常用語中的“或皿且小啡”含義不盡相同.判斷復(fù)合命題的真

假要根據(jù)真值表未判定.【解題方法點撥】

能判斷真假的、陳述句、反詰疑問句都是命題，而不能判斷真假的陳述句、疑問句以及祈使句都不是

命題.能判斷真假的不等式、集合運算式也是命題.寫命題P的否定形式，不能一概在關(guān)鍵詞前、力口"不''，

而要搞清一個命題研究的對象是個體還是全體，如果研究的對象是個體，只須將"是''改成"不是''，將"不是''

改或“是'唧可.如果命題研究的對象不是一個個體，就不能簡單地將"是''改成"不是”，將“不是”改成“是”，

而要分清命題是全稱命題還是存在性命題（所謂全稱命題是指含有“所有加全部"“任意''這一類全稱量訶的

命頊；所謂存在性命題是指含有“某些,某個…至少有一個“這一類存在性量詞的命題，全稱命胭的否定形

式是存在性命題，存在性命題的否定形式是全稱命題.因此，在表述一個命題的否定形式的時候，不僅“是”

2.命題的真假判斷與應(yīng)用

【知識點的認(rèn)識】

判斷含有“或”、“且“、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確P、夕及非〃的真假，然后由真值表判斷復(fù)合

命題的真假.

注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將"非"'寫成“方程x2-2x+l=0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反

面是“不都是”，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分.

【解題方法點撥】

1.判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由

真值表得出復(fù)合命題的真假.

2.判斷一個“若〃則夕”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”,則“若〃則q”

為真；而要確定“若〃則q”為假，只需舉出一個反例說明即可.

3.判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同

真司假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷.

【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題

形式出現(xiàn).

3.指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系

【知識點的認(rèn)識】

1、指數(shù)函數(shù)（〃>0,且中1）的圖象和性質(zhì):

指數(shù)函數(shù)的圖象特征與其底數(shù)。有關(guān)，不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象形態(tài)不同.

【解題方法點撥】

■當(dāng)OVaVl時，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，圖象從左上到右下.

■當(dāng)。>1時，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，圖象從左下到右上.

-分析底數(shù)。的取值，確定圖象特征.

【命題方向】

題目通常涉及指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系，結(jié)合具體問題分析函數(shù)圖象及其應(yīng)用.

如弱是指數(shù)函數(shù)①），="（a>0,且對1）,?y=bx（Z?>0,且屏1）,（c>0,且W1）,④y=d*Cd

>0,且存1）的圖像，貝la,b,c,”與1的大小關(guān)系為（）

A.a<b<\<c<d

B.b<a<\<d<c

C.\<a<b<c<d

D.a<b<\<d<c

解：結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，

故選:B.

4.根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

【知識點的認(rèn)識】

1.實際問題的函數(shù)刻畫

在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫.用函數(shù)的觀點看實際問題,是學(xué)

習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容.

2.用函數(shù)模型解決實際問題

（I）數(shù)據(jù)擬合：

通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點，觀察這些點的整體特征,看

它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具

體的函數(shù)表達(dá)式,再做必要的檢臉，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法

稱為數(shù)據(jù)擬合.

（2）常用到的五種函數(shù)模型：

①直線模型：一次函數(shù)模型y=履+b（A#））,圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k

>0）,通過圖象可以直觀地認(rèn)識它，特例是正比例函數(shù)模型jH（k>0）.

②反比例函數(shù)模型；>?=^（k>0）型，增長特點是y隨x的增大而減小.

③指數(shù)函數(shù)模型：y=，?b*+c（匕>0,且//I,〃和），其增長特點是隨著自

變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b>1,。>0）,常形象地稱為指數(shù)爆炸.

④對數(shù)函數(shù)模型，即），=川logd+n（。>0,〃？￥0）型，增長特點是隨著

自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)?>1,m>0）.

⑤帚函數(shù)模型，即y=〃?xn+b（。和）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y=

々M+hx+c（。翔），其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a>0）.

在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀之用，分析圖象特點，分析變量X的范

圍，同時還要與實際問題結(jié)合，如取整等.

3.函數(shù)建模

（I）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、卷遲解決實際問題的過程，叫作數(shù)學(xué)建模.

（2）過程：如下圖所示.

（實骯情境）

ZJZZ

（提H問題）

不

合

乎

實（數(shù)學(xué)結(jié)果）

際

何用結(jié)果）

【解題方法點撥】

用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：

（I）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題

①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（X）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)=f（X）；②討

論x與），的對應(yīng)關(guān)系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實際問題的解，即根據(jù)在

函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案.

（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題

①閱讀理解題意

看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；

②抽象函數(shù)模型

在理解問題的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象為函數(shù)模型；

③研究函數(shù)模型的性質(zhì)

根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；

④得出問題的結(jié)論

根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解.

【命題方向】

典洌1：某公司為了實現(xiàn)1000萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達(dá)到

10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金數(shù)額），（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增

加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤的25%,其中模型能符合公司的要求的是（參考

數(shù)據(jù)：l.OOS600^,1/?7^1.945,bH02^2.302）（）

A.y=0.025xB.y=1.003vC.y=hlogyxD.尸4（^QO?

分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)戈日10,