哈爾濱工業(yè)大學(xué)高考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________試卷名稱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)高考數(shù)學(xué)試卷（中等級(jí)別）考核對象：參加高考數(shù)學(xué)選拔的學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）請判斷下列命題的正誤。1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=(f(b)+f(a))/2。2.若向量a和向量b滿足|a+b|=|a-b|，則向量a和向量b垂直。3.設(shè)A是n階可逆矩陣，則矩陣A的伴隨矩陣A也是可逆的。4.若數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增且收斂，則其極限唯一。5.圓x2+y2=1關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為x2+y2=1。6.若函數(shù)f(x)在x=c處取得極值，則f'(c)=0。7.空間中過一點(diǎn)P且垂直于平面α的直線有且僅有一條。8.若事件A和事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。9.橢圓x2/a2+y2/b2=1的離心率e滿足0<e<1。10.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減。二、單選題（每題2分，共20分）每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)。1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值為（）。A.0B.1C.2D.32.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z3的虛部為（）。A.0B.1C.-1D.23.不等式|x|+|y|≤1所表示的平面區(qū)域面積是（）。A.1B.2C.πD.44.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，則向量a·b的值為（）。A.-5B.5C.11D.-115.拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是（）。A.1/2B.1/3C.1/4D.1/66.直線y=kx+b與圓x2+y2=1相切，則k2+b2的值為（）。A.1B.2C.3D.47.數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n2+n，則a_5的值為（）。A.25B.30C.35D.408.已知cosθ=1/2，且θ在(0,π/2)內(nèi)，則sinθ的值為（）。A.√3/2B.1/2C.√2/2D.09.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x-x，則f(x)在x=0處的切線方程為（）。A.y=xB.y=-xC.y=x+1D.y=-x+110.已知三角形ABC的三邊長分別為3,4,5，則其外接圓半徑R為（）。A.2B.2.5C.3D.4三、多選題（每題2分，共20分）每小題有多個(gè)正確選項(xiàng)。1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增的有（）。A.f(x)=x2B.f(x)=ln(x)C.f(x)=e^xD.f(x)=1/x2.若矩陣A=[12;34]，則矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T為（）。A.[13;24]B.[24;13]C.[31;42]D.[42;31]3.下列命題中，正確的有（）。A.若a>b，則a2>b2B.若a>b，則√a>√bC.若a>b，則1/a<1/bD.若a>b，則-a<-b4.已知直線l?:ax+by=c與直線l?:mx+ny=p相交，則（）。A.a/m≠b/nB.a/m=b/nC.a·n≠b·mD.a·n=b·m5.下列數(shù)列中，收斂的有（）。A.{1/n}B.{(-1)^n}C.{n2}D.{1/(n+1)}6.若函數(shù)f(x)在x=c處可導(dǎo)，則下列說法正確的有（）。A.f(x)在x=c處連續(xù)B.f(x)在x=c處可微C.f(x)在x=c處取得極值D.f(x)在x=c處切線存在7.下列幾何體中，體積為V的有（）。A.邊長為a的正方體B.底面半徑為r，高為h的圓柱C.底面半徑為r，高為h的圓錐D.半徑為R的球8.下列命題中，正確的有（）。A.若A?B，則P(A)≤P(B)B.若A和B互斥，則P(A∩B)=0C.若A和B獨(dú)立，則P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)D.若A和B互斥且獨(dú)立，則P(A)+P(B)=19.下列方程表示橢圓的有（）。A.x2/4+y2/9=1B.x2-y2=1C.2x2+3y2=6D.x2/9+y2/4=110.下列不等式成立的有（）。A.e^x>x2(x>0)B.ln(x)>x-1(x>0)C.sin(x)>x(x>0)D.cos(x)>x(x>0)四、案例分析（每題6分，共18分）1.函數(shù)單調(diào)性問題已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，求a和b的取值范圍。2.向量運(yùn)算問題已知向量a=(2,1)，向量b=(-1,3)，向量c=a+2b。（1）求向量c的模長；（2）若向量c與向量d=(k,4)垂直，求k的值。3.概率計(jì)算問題一個(gè)袋中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中隨機(jī)抽取3個(gè)球。（1）求抽到3個(gè)球均為紅球的概率；（2）求抽到至少1個(gè)白球的概率。五、論述題（每題11分，共22分）1.數(shù)列極限證明問題設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_(n+1)=1+1/a_n(n≥1)。證明：數(shù)列{a_n}收斂，并求其極限。2.解析幾何綜合問題已知橢圓x2/9+y2/4=1，過點(diǎn)P(1,0)的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為M。（1）求直線l的方程；（2）求|PM|的取值范圍。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√（中值定理）2.√（|a+b|2=|a-b|2?a·b=0）3.√（A=|A|A?1，|A|≠0時(shí)A?1存在）4.√（單調(diào)遞增且收斂的數(shù)列極限唯一）5.√（圓心(0,0)關(guān)于y=x對稱為(0,0)，半徑不變）6.×（f'(c)=0是必要非充分條件，如f(x)=x3在x=0處有極值但f'(0)=0）7.√（空間中過一點(diǎn)垂直于平面的直線唯一）8.√（互斥事件A∪B的概率加法公式）9.√（橢圓離心率e=√(1-b2/a2)，0<b2/a2<1）10.√（奇函數(shù)對稱性，單調(diào)性保持一致）二、單選題1.C（|x-1|+|x+1|的最小值為2，當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)取到）2.B（z3=(1+i)3=-2+2i，虛部為2）3.B（區(qū)域?yàn)榱庑?，面積=2×1×1=2）4.D（a·b=1×3+2×(-4)=-5）5.A（偶數(shù)點(diǎn)數(shù)為2,4,6，概率=3/6=1/2）6.A（相切條件為d=r，即|k|/√(k2+1)=1?k2=k2+1，矛盾，實(shí)際應(yīng)為k2+b2=1）7.B（a_5=S_5-S_4=25+5-(16+4)=30）8.A（cosθ=1/2?θ=π/3，sin(π/3)=√3/2）9.A（f'(x)=e^x-1，f'(0)=0，切線y=f(0)+f'(0)(x-0)=x）10.A（R=abc/(4S)=3×4×5/(4×6)=2）三、多選題1.A,C（x2和e^x在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增）2.A,C（轉(zhuǎn)置矩陣為[13;24]和[31;42]）3.C,D（a>b?1/a<1/b，-a<-b）4.A,C（相交條件為a/m≠b/n且a·n≠b·m）5.A,D（1/n和1/(n+1)收斂）6.A,B（可導(dǎo)必連續(xù)可微，但未必有極值）7.A,B（正方體體積=a3，圓柱體積=πr2h）8.A,B,C（包含集合概率性質(zhì)、互斥事件概率加法、獨(dú)立事件概率乘法）9.A,C,D（A,C,D表示標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程）10.A,B（e^x>x2(x>0),ln(x)>x-1(x>1)）四、案例分析1.函數(shù)單調(diào)性問題（1）f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)∪(2,+∞)；（2）f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減?f'(x)≤0，即x∈[0,2]時(shí)單調(diào)遞減，所以a=0，b=2。2.向量運(yùn)算問題（1）c=(2-2,1+6)=(0,7)，|c|=√02+72=7；（2）c垂直d?c·d=0?0×k+7×4=0?k=0。3.概率計(jì)算問題（1）P(3紅)=C(5,3)/C(10,3)=10/120=1/12；（2）P(至少1白)=1-P(無白)=1-C(7,3)/C(10,3)=1-35/120=7/24。五、論述題1.數(shù)列極限證明問題證明：（1）{a_n}有界：a_1=1，a_2=2，假設(shè)a_n<2，則a_(n+1)=1+1/a_n<1+1/2=1.5<2，由數(shù)學(xué)歸納法知a_n<2；（2）{a_n}單調(diào)：a_(n+1)-a_n=(1+1/a_n)-a_n=1-a_n+1/a_n≥0，所以a_n單調(diào)遞增；由單調(diào)有界定理，{a_n}收斂。設(shè)極限為L，則L=1+1/L?L2-L-1=0?L=(1+√5)/2。2.解析幾何綜合問題（1）設(shè)直線l方程為y=k(x-1)，代入橢圓方程得(9+k2)x2-18k2x+9k2-36=0，設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則x?+x?=18k2/(9+k2)，M((18k2)/(9+k2),-k/(9+k2))，