杭州市高級(jí)中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（）A.72 B.90C.36 D.452．觀察數(shù)列，（），，（）的特點(diǎn)，則括號(hào)中應(yīng)填入的適當(dāng)?shù)臄?shù)為（）A. B.C. D.3．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的弦,使點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則弦所在直線(xiàn)的方程為A. B.C. D.4．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，則的最小值為（）A. B.C. D.5．雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離是（）A. B.C. D.6．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的極大值為（）A. B.C. D.7．已知點(diǎn)在平面α上，其法向量，則下列點(diǎn)不在平面α上的是（）A. B.C. D.8．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，，若以上兩函數(shù)的圖像有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線(xiàn)相同，則m的值為（）A.2 B.5C.1 D.09．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則（）A.19 B.21C.23 D.3810．雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.11．已知全集，，（）A. B.C. D.12．在棱長(zhǎng)均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫(xiě)出同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式______．①不是等差數(shù)列，②是等比數(shù)列，③是遞增數(shù)列14．若平面法向量，直線(xiàn)的方向向量為，則與所成角的大小為_(kāi)__________.15．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則的公比為_(kāi)__________.16．橢圓的左焦點(diǎn)為，M為橢圓上的一點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最大項(xiàng)18．（12分）已知橢圓的離心率是，且過(guò)點(diǎn).直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的面積的最大值；（Ⅲ）設(shè)直線(xiàn)，分別與軸交于點(diǎn)，.判斷，大小關(guān)系，并加以證明.19．（12分）若分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程（2）是否存在過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線(xiàn)的斜率；若不存在，說(shuō)明理由20．（12分）在等差數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn).請(qǐng)判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓（）的離心率是e，定義直線(xiàn)為橢圓的“類(lèi)準(zhǔn)線(xiàn)”，已知橢圓C的“類(lèi)準(zhǔn)線(xiàn)”方程為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線(xiàn)l交橢圓C于E，F(xiàn)兩不同點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)與點(diǎn)A不重合），且滿(mǎn)足，若點(diǎn)P滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意結(jié)合成等比數(shù)列，有即可得，進(jìn)而得到、，即可求.【詳解】由題意知：，，又成等比數(shù)列，∴，解之得，∴，則，∴，故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由其中三項(xiàng)成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)性質(zhì)求項(xiàng)，進(jìn)而得到等差數(shù)列的基本量1、由成等比，即；2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.2、D【解析】利用觀察法可得，即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴.故選：D3、A【解析】由題知為弦AB的中點(diǎn)，可得直線(xiàn)與過(guò)圓心和點(diǎn)的直線(xiàn)垂直，可求的斜率，然后用點(diǎn)斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線(xiàn)的方程為，整理得.選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】利用雙曲線(xiàn)定義可得到，將的最小值變?yōu)榈淖钚≈祮?wèn)題，數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】由題意得，故，如圖所示：到漸近線(xiàn)的距離,則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：D5、A【解析】求出雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】在雙曲線(xiàn)中，，，，所以，該雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線(xiàn)方程為，即，因，該雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為.故選：A6、D【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由已知，先求出，再令，并判斷函數(shù)在其左右兩邊的單調(diào)性，從而確定極大值點(diǎn)，然后帶入原函數(shù)即可完成求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，令，解得或，所以?dāng)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以的極大值為故選：D7、D【解析】根據(jù)法向量的定義，利用向量垂直對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于B：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于C：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于D：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)不在平面α上.故選：D8、C【解析】設(shè)兩曲線(xiàn)與公共點(diǎn)為，分別求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)兩函數(shù)的圖像有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線(xiàn)相同，列出等式，求得公共點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)兩曲線(xiàn)與公共點(diǎn)為，其中，由，可得，則切線(xiàn)的斜率為，由，可得，則切線(xiàn)斜率為，因?yàn)閮珊瘮?shù)的圖像有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線(xiàn)相同，所以，解得或（舍去），又由，即公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入，可得.故選：C.9、A【解析】由已知及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到公差d，再利用前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知，得，解得，所以.故選：A10、B【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程，求得，結(jié)合雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線(xiàn)，可得，所以，且雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)再軸上，所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.11、C【解析】根據(jù)條件可得，則，結(jié)合條件即可得答案.【詳解】因，所以，則，又，所以，即.故選：C12、C【解析】設(shè)，，，利用結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】設(shè)，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由條件②寫(xiě)出一個(gè)等比數(shù)列，再求出并確保單調(diào)遞增即可作答.【詳解】因是等比數(shù)列，令，當(dāng)時(shí)，，，是遞增數(shù)列，令是互不相等的三個(gè)正整數(shù)，且，若，，成等差數(shù)列，則，即，則有，顯然、都是正整數(shù)，，都是偶數(shù)，于是得是奇數(shù)，從而有不成立，即，，不成等差數(shù)列，數(shù)列不成等差數(shù)列，所以.故答案為：14、##【解析】設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，直接利用直線(xiàn)與平面所成的角的向量計(jì)算公式，即可求出直線(xiàn)與平面所成的角【詳解】解：已知直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，，，所以直線(xiàn)與平面所成角為.故答案為：.15、3【解析】由題設(shè)知等比數(shù)列公比，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求公比即可.【詳解】由題設(shè)，等比數(shù)列公比，且，所以，可得或（舍），故公比為3.故答案為：316、4【解析】根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理，結(jié)合橢圓的定義即可求得答案.【詳解】橢圓的左焦點(diǎn)為,如圖，設(shè)右焦點(diǎn)為,則，由N是的中點(diǎn)，O為得中點(diǎn)，,故,又，所以，故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以有，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為：.18、（1）（2）（3）見(jiàn)解析【解析】(1)由題意求得，所以橢圓的方程為(2)聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，由題意可得．三角形的高為．，面積表達(dá)式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．即的面積的最大值是(3)結(jié)論為．利用題意有．所以試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為因?yàn)闄E圓的離心率是，所以，即由解得所以橢圓的方程為（Ⅱ）將代入，消去整理得令，解得設(shè)則，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以的面積的最大值是（Ⅲ）．證明如下：設(shè)直線(xiàn)，的斜率分別是，，則由（Ⅱ）得，所以直線(xiàn)，的傾斜角互補(bǔ)所以，所以所以19、（1）；（2）存在；【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，利用列方程，化簡(jiǎn)求得直線(xiàn)的斜率.【小問(wèn)1詳解】依題意，得橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】存在．理由如下：顯然當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在，即時(shí)，不滿(mǎn)足條件故由題意可設(shè)的方程為．由是直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，由消去y，并整理，得，則，解得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，即存在斜率的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；(2)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.詳解】（1）∵，∴，即∴（2）由（1）可得，即.利用累加法得【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.21、（1）（2）是定值，定值為【解析】(1)由拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)求標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交求定值，解聯(lián)立方程消未知數(shù)，利用韋達(dá)定理，求線(xiàn)段長(zhǎng)，再求它們的倒數(shù)的平方和.【小問(wèn)1詳解】由題意，可得，即，故拋物線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】為定值，且定值是.下面給出證明.證明：設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，聯(lián)立拋物線(xiàn)有，消去得，則，又，.得因此為定值，且定值是.22、（1）；（2）.【解析】（1）由題意列關(guān)于，，的方程，聯(lián)立方程組求得，，，則橢圓方程可求；（2）分直線(xiàn)軸與直線(xiàn)l不垂直于x軸兩種情況討論，當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，，直線(xiàn)l：（，），聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，消元由，得到，再列出韋達(dá)定理，由則，解得，再由，求出的坐標(biāo)，則，再利用基本不等式求出取值范圍；【詳解】解：（1）由題