2026屆河南省登封市外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，已知，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.2．五行學(xué)說(shuō)是中華民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五種元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關(guān)系.若從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，則這兩種元素恰是相生關(guān)系的概率是（）A. B.C. D.3．《萊茵德紙草書(shū)》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書(shū)中有這樣一道題目：把個(gè)面包分給個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A. B.C. D.4．1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題解法傳至歐洲，西方人稱(chēng)之為“中國(guó)剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個(gè)問(wèn)題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.1445．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（）A B.C. D.6．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于其焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面，，兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，是拋物線的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為.焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離與口徑的比為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.若饋源方向角滿足，則該拋物面天線的焦徑比為（）A. B.C. D.27．是雙曲線：上一點(diǎn)，已知，則的值（）A. B.C.或 D.8．已知直線m經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線m的斜率為（）A.-2 B.C. D.29．已知點(diǎn)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則（）A.與雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線10．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A.12 B.14C.16 D.1811．在圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡記為C，則曲線C的離心率為（）A. B.C. D.12．已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，成等比數(shù)列，則這個(gè)三角形的形狀是（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，一個(gè)小球從10m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來(lái)高度的，若已知小球經(jīng)過(guò)的路程為，則小球落地的次數(shù)為_(kāi)_____14．為增強(qiáng)廣大師生生態(tài)文明意識(shí)，大力推進(jìn)國(guó)家森林城市建設(shè)創(chuàng)建進(jìn)程，某班26名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵（各自挖坑種植），相鄰兩棵樹(shù)相距均為10米，在同學(xué)們挖坑期間，運(yùn)到的樹(shù)苗集中放置在了某一樹(shù)坑旁邊，然后每位同學(xué)挖好自己的樹(shù)坑后，均從各自樹(shù)坑出發(fā)去領(lǐng)取樹(shù)苗．記26位同學(xué)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和為，則的最小值為_(kāi)_____米15．某校組織了一場(chǎng)演講比賽，五位評(píng)委對(duì)某位參賽選手的評(píng)分分別為9，x，8，y，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8.6，方差為0.24，則______16．設(shè)命題：，，則為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率為，直線l與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.18．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}的前4項(xiàng)和為15，且.（1）求{}的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列{}前n項(xiàng)和為，求.19．（12分）如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC，BD（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值20．（12分）已知函數(shù),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，滿足.（1）求;（2）若的面積為，求的值.22．（10分）如圖所示的四棱錐的底面是一個(gè)等腰梯形，，且，是△的中線，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)（1）證明：∥平面（2）若平面平面，且，求平面與平面夾角余弦值（3）在（2）條件下，求點(diǎn)D到平面的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用三線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，將線面角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進(jìn)行求解.【詳解】以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為；設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：D.2、C【解析】先計(jì)算從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種的所有基本事件數(shù)，再計(jì)算其中兩種元素恰是相生關(guān)系的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式，即得解【詳解】由題意，從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個(gè)基本事件，其中兩種元素恰是相生關(guān)系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個(gè)基本事件，所以所求概率.故選：C3、A【解析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.4、A【解析】分析數(shù)列的特點(diǎn)，可知其是等差數(shù)列，寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得結(jié)果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A.5、A【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由于函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，故恒成立.【詳解】由題意可得，，，，.故選：A6、B【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用題設(shè)條件得到得點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程化簡(jiǎn)即可求解【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為（）在中，則所以則所以，所以將代入拋物線方程中得所以或即或（舍）當(dāng)時(shí)，故選：B7、B【解析】根據(jù)雙曲線定義，結(jié)合雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍，即可求解.【詳解】雙曲線方程為：，是雙曲線：上一點(diǎn)，，，或，又，.故選：B8、A【解析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為：.故選：A9、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進(jìn)而可得A不正確，計(jì)算可判斷B正確，再求出，的關(guān)系可得C不正確，求出，的關(guān)系，進(jìn)而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因?yàn)椋钟深}意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因?yàn)樵谝詾橹睆降膱A上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B10、D【解析】利用給定的通項(xiàng)公式直接計(jì)算即得.【詳解】因數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則有，所以.故選：D11、B【解析】設(shè)，，則由題意可得，代入圓方程中化簡(jiǎn)可得曲線C的方程，從而可求出離心率【詳解】設(shè)，，則，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，所以，則所以離心率為，故選：B12、B【解析】根據(jù)題意求出，結(jié)合余弦定理分情況討論即可.【詳解】解：因?yàn)?，所?由題意得，利用余弦定理得：.當(dāng)，即時(shí)，，即，解得：.此時(shí)三角形為等邊三角形；當(dāng)，即時(shí)，,不成立.所以三角形的形狀是等邊三角形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】設(shè)小球從第（n-1）次落地到第n次落地時(shí)經(jīng)過(guò)的路程為m，則由已知可得數(shù)列是從第2項(xiàng)開(kāi)始以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，再設(shè)設(shè)小球第n次落地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程為，由等比數(shù)列的求和公式建立方程求解即可.【詳解】解：設(shè)小球從第（n-1）次落地到第n次落地時(shí)經(jīng)過(guò)的路程為m，則當(dāng)時(shí)，得出遞推關(guān)系，所以數(shù)列是從第2項(xiàng)開(kāi)始以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，且，設(shè)小球第n次落地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程為，所以，所以，解得，故答案為：4.14、【解析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性易知：當(dāng)樹(shù)苗放在第13或14個(gè)坑，26位同學(xué)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，再應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法求26位同學(xué)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和.【詳解】將26個(gè)同學(xué)對(duì)應(yīng)的26個(gè)坑分左右各13個(gè)坑，∴根據(jù)對(duì)稱(chēng)性：樹(shù)苗放在左邊13個(gè)坑，與放在對(duì)稱(chēng)右邊的13個(gè)坑，26個(gè)同學(xué)所走的總路程對(duì)應(yīng)相等，∴當(dāng)樹(shù)苗放在第13個(gè)坑，26位同學(xué)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，此時(shí)，左邊13位同學(xué)所走的路程分別為，右邊13位同學(xué)所走的路程分別為，∴最小值為米.故答案為：.15、1【解析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，求得，則問(wèn)題得解.【詳解】由題可知：整理得：；，整理得：，聯(lián)立方程組得，解得或，對(duì)應(yīng)或，故.故答案為：1.16、，【解析】由全稱(chēng)命題的否定即可得到答案【詳解】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定，可得為，【點(diǎn)睛】本題考查了含有量詞的命題否定，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）2.【解析】（1）由離心率，得到，再由點(diǎn)在橢圓上，得到，聯(lián)立求得，即可求得橢圓的方程.（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，求得，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率，即，可得，又橢圓過(guò)點(diǎn)，可得，將代入，可得，故橢圓方程為.（2）設(shè)的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，消去y整理，得，所以，又直線與橢圓相交，所以，解得，則，點(diǎn)P到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類(lèi)題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類(lèi)問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)正項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由，結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減求和，即可求解.小問(wèn)1詳解】解：設(shè)正項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為，顯然不為1，因?yàn)榈缺葦?shù)列前4項(xiàng)和為且，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】解：由，所以，可得，兩式相減得，所以.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線DE與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】由題意知，因?yàn)辄c(diǎn)A、D分別為MB、MC中點(diǎn)，所以，又，所以，所以.因?yàn)?，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，，，所以?xún)蓛纱怪?，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，設(shè)直線DE與平面所成角為，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為.20、（1）時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)得到，分和進(jìn)行討論，判斷出的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，分和進(jìn)行討論，根據(jù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，得到答案.【詳解】解:（1）函數(shù)定義域是，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得到，即，所以，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，綜上所述，時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由已知在恒成立，令，，可得，則，所以在遞增，所以，①當(dāng)時(shí)，，在遞增，所以成立，符合題意.②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，使，即時(shí)，在遞減，，不符合題意.綜上得【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.21、（1）；（2）.【解析】（1）由條件可得，即，從而可得答案.(2)由條件結(jié)合三角形的面積公式可得，再由余弦定理得，配方可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以所以，因?yàn)樗裕驗(yàn)?，所以?）由面積公式得，于是，由余弦定理得，即，整理得，故.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定可得平面、平面，再根據(jù)面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)為，連接，證明出平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.（3）利用等體積法，求D到平面的距離【小問(wèn)1詳解】連接、，由、分別是棱、的中點(diǎn)，則，平面，平面，則平面又，且，∴且