4.4對數(shù)函數(shù)4.4.1對數(shù)函數(shù)的概念與圖象思考：

一般的指數(shù)函數(shù)

y=ax，(a>0，且

a≠1)也能表示成

x關(guān)于

y的函數(shù)嗎？根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系：y=ax

(a>0，且a≠1)?

x=logay(a>0，且a≠1)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象知，上式中

x與

y是一一對應(yīng)的，故

x也是

y的函數(shù).

通常，我們用

x表示自變量，y表示函數(shù)．將

x=logay

(a>0，且a≠1)

寫成

y=logax

(a>0，且a≠1)

的形式，我們稱該函數(shù)為對數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的定義注意:(1)對數(shù)函數(shù)定義的嚴格形式；

(2)對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制條件：

一般地，函數(shù)

y=logax

，(a>0，且a≠1)

叫做對數(shù)函數(shù)，其中

x是自變量，定義域是(0，+∞).

例1.求下列函數(shù)的定義域(1)(2)

解：(1)因為

，所以

，定義域為.(2)因為

，所以

，定義域為.求函數(shù)的定義域依據(jù)：（1）分母不為0；（2）偶次根式下的式子不小于0；（3）0的0次方無意義；（4）指數(shù)式和對數(shù)式的底數(shù)大于0且不等于1；（5）對數(shù)式的真數(shù)大于0．1.求下列函數(shù)的定義域(1)(2)

解：(1)因為

，所以

，定義域為.(2)因為

，所以

，定義域為.例2已知對數(shù)函數(shù)

f(x)的圖象過點

P(8，3)，則

______．解：設(shè)

f(x)=loga

x(a>0,且

a≠1)．

因為函數(shù)

f(x)的圖象過點

P(8，3)，

所以

f(8)=loga

8=3，

解得

a=2，

所以

f(x)=log2

x

．

所以.

對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

與研究指數(shù)函數(shù)一樣，我們首先畫出其圖象，然后借助圖象研究其性質(zhì)．請完成下列表格，并用描圖法畫出

y=log2x的圖象．xy=log2x0.5124816-101234

我們知道，底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于

y

軸對稱．對于底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)，比如和

，它們的圖象是否也有某種對稱關(guān)系呢？可否利用其中一個函數(shù)的圖象畫出另一個函數(shù)的圖象？xyo1

完成下列表格，對比兩個函數(shù)的取值列表，并用描圖法畫出

y=log0.5x的圖象，能否看出兩個函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？xy=log2xy=log0.5x0.5-11021428316410-1-2-3-4兩個圖象關(guān)于

x軸對稱

選取底數(shù)

a(a>0，且

a≠1)的若干個不同值，在同一坐標(biāo)系下畫出相應(yīng)的圖象．觀察這些圖象的位置、公共點和變化趨勢，它們有哪些共性？由此你能概括出對數(shù)函數(shù)

y=log

a

x，(a>0，且

a≠1)的值域和性質(zhì)嗎？a>10<a<1圖象定義域值域過定點性質(zhì)單調(diào)性取值分布奇偶性(0，+∞)R(1,0)在(0，+∞)上是增函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)當(dāng)x>1時y>0；當(dāng)0<x<1時y<0.

當(dāng)x>1時y<0；當(dāng)0<x<1時y>0.在(0，+∞)上是減函數(shù)對數(shù)函數(shù)底數(shù)對圖象的影響

對數(shù)函數(shù)

的圖象如下圖所示，則實數(shù)a，b，c，d與1共五個數(shù)，其大小順序是__________________.例3函數(shù)

(a>0，且

a≠1)的圖象必經(jīng)過定點

．根據(jù)loga1=0，知無論a(a>0，且a≠1)取何值，對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象恒過定點(1，0).解：令

，得

，所以

，即函數(shù)

的圖象必經(jīng)過定點

．例4比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?1),(2),(3),(a＞0,且a≠1)解:⑴考查對數(shù)函數(shù)

，它在(0,+∞)上是增函數(shù),所以

⑵考查對數(shù)函數(shù),它在(0,+∞)上是減函數(shù),所以(3)對數(shù)函數(shù)的增減性決定于對數(shù)的底數(shù)是大于1還是大于0小于1.而已知條件中并未指出底數(shù)a與1哪個大,因此需要對底數(shù)a進行討論:當(dāng)a＞1時,因為函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù),于是lo