2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題專題精選匯編

專題05等腰三角形的判定與性質(zhì)

考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分

一.選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（2分）（2024?隴縣期末）如圖，在一中，NA8C=3NC，Z1=Z2,BELAE，AB=5,

【答案】B

AZAEB=ZAEM=90°

AZ3=90°-Zl,Z4=90°-Z2,

VZ1=Z2,

???N3=N4,

AAB=AM=5,

VBE1AE,

ABM=2BE=6,

???N4是aBCM的外角

:.Z4=Z5+ZC

VZABC=3ZC,

???ZABC=N3+N5=N4+N5

A3ZC=Z4+Z5=2Z5+ZC

Z.Z5=ZC

ACM=BM=6,

JAC=AM+CM=AB+2BE=11.

故答案為：B.

【思路引導(dǎo)】延長(zhǎng)BE交AC于M,對(duì)圖形進(jìn)行角標(biāo)注，根據(jù)等侑的余角相等可得N3=N4,由等腰三角形

的性質(zhì)可得BM=2BE=6,由外角的性質(zhì)可得N4=N5+NC,則NABC=N3+N5=N4+N5,推出/5=N

C,則CM=BM=6,然后根據(jù)AC=AM+CM進(jìn)行計(jì)算.

2.（2分）（2024?臨沐月考）如圖，ZAOB=60°,OC平分NAOB,P為射線OC上一點(diǎn)，如果射線OA上

的點(diǎn)D,滿足AOPD是等腰三角形，那么NODP的度數(shù)為（）

A.30°B.120°

C.30°或120°D.30°或75?；?20。

【答案】D

【完整解答】解：VZAOB=60°,OC平分NAOB,

???NAOC=30。,

①當(dāng)D在Di時(shí)，OD=PD,

VZAOP=ZOPD=30°,

JZODP=180°-30。-30。=120°；

②當(dāng)D在D2點(diǎn)時(shí)，OP=OD,

則NOPD=NODP=-(180°-30°)=75°：

2

③當(dāng)D在D.3時(shí)，OP=DP,

則NODP=NAOP=30。；

綜上所述：120?；?5?；?0。

OA

D\D1巧

故答案為：D.

【思路引導(dǎo)】先求出NAOC=30。，再分類討論，結(jié)合圖形求解即可。

3.12分）（2024.東莞期中）如圖，▲ABC中，點(diǎn)。在AC上，連接BD,ZABD=2ZDBC,ZADB=2

ZC,ZDBC=ZA,則圖中共有等腰三角形（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【完整解答】解：圖中共有等腰三角形3個(gè)，理由如下：

VZADB=ZCIZDBC,ZADB=2ZC,

AZDBC=ZC,

???△BCD是等腰三角形，DB=DC,

VZABD=2ZDBC,

.\ZABD=ZADB,

???△ABD是等腰三角形，AB=AD,

VZDBC=ZA,

AZA=ZC,

???△ABC是等腰三角形，AB=CB,

故答案為：D.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的判定定理分別求出DB二DC,AB=AD,AB=CB即可。

4.（2分）（2024?江津期末）如圖，在,.ABC中，ZC=9OC,ZB=30°,以點(diǎn)A為圓心，任意

長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB,AC于點(diǎn)M和N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于2MN的

長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①4）是ABAC的平分線；②ZADC=60。：③點(diǎn)。在AB的中垂線上；④

q?q-7-5

UDAC'°ABC一4?丁

A

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【完整解答】解：由題意得：AD是ABAC的平?分線，故①正確;

VZC=90°，ZB=30°,

AZBAC=60°，

VAD是ABAC的平分線，

.\ZCAD=ZBAD=ZB=30°，

/.ZADC=60°,故②正確；

過(guò)點(diǎn)D作DE_LAB于E,

VZBAD=ZB=30°，

Z.AD=BD,

???△ABD是等腰三角形，

AAE=BE,

，點(diǎn)。在A3的中垂線上，故③正確；

VAD是ABAC的平分線，DC1AC,DE1AB,

ACD=DE,ZC=ZAED=90°，

又「AD=AD,

ARtAACD^RtAAED,

??SAACD=SAAED?

VAE=BE,DE_LAB,

??SAAED=SABED9

?e?SDAC：S,ABC=1：3,故④錯(cuò)誤?

故答案為：c.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意作圖可知：AD是ZBAC的平分線，由此判斷①正確；

先求得NBAC=60°，由AO是NBAC的平分線，求得/CAD=/BAD=ZB=30°,即可得到

ZADC=60°,判斷②正確；

過(guò)點(diǎn)D作DH_LAB于E,根據(jù)NBAD=Z^=30°，證得△ABD是等腰二角形，得至ijAE二BE,即可判斷

③正確；

證明R^ACDGRQAED,得到&ACD=SAAED,根據(jù)等底同高得到SSED=SGED,即可得到

S./MC?ABC=1",判斷④錯(cuò)誤?

5.（2分）（2020八上?濮陽(yáng)期末）如圖，在AABC中，BD、C。分別平分/ABC、ZACB,過(guò)點(diǎn)D作

直線平行于8C,分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,當(dāng)NA大小變化時(shí)，線段E/和BE+CF的大小關(guān)系是（

）

A.EF>BE+CFB.EF<BE+CFC.EF=BE+CFD.不能確定

【答案】C

【完整解答】解：1EF//BC,

:"EDB=/DBC,

?.?3。平分N4BC，

;"EBD=/DBC,

:"EDB=/EBD，

:.ED=BE，

同理。尸=尸。，

;.ED+DF=BE+FC,

即即=8E+b.

故答案為：C.

【思路引導(dǎo)】由平行線的性質(zhì)得/EDB二NDBC,由角平分線的定義得NEBD二NDBC,從而得NEDB:/

EBD

，利用等角對(duì)等邊可得ED二BE,司理可證DF二FC,利用線段的和差即可求解.

6.（2分）（2024?滑縣期末）如圖，點(diǎn)。是^ABC的ZABC，ZACB的平分線的交點(diǎn)，OD//AB

交BC于點(diǎn)D,OE//AC交BC于點(diǎn)E，若&ODE的周長(zhǎng)為9cm，那么BC的長(zhǎng)為（）

A.8cmB.9cmC.10cmD.11cm

【答案】B

【完整解答】VOD/7AB,OE〃AC,

AZABO=ZBOD,ZACO=ZEOC,

???點(diǎn)O是LABC的ZABC，ZACB的平分線的交點(diǎn)，

AZABO=ZOBD,ZACO=ZOCE：

AZOBD=ZBOD,ZEOC=ZOCE；

???BD=OD,CE=OE：

/.△ODE的周長(zhǎng)=OD+DE+OE=BD+DE+EOBC

CODE的周長(zhǎng)為9cm，

.\BC=9cm.

故答案為：B.

【思路引導(dǎo)】由平行線的性質(zhì)可得/ABO=NBOD,ZACO=ZEOC,由角平分線的定義可得/ABO=/OBD,

ZACO=ZOCE；于是NOBD=/BOD,ZEOC=ZOCE；由等角對(duì)等邊可得BD=OD,CE=OE；根據(jù)三角

形的周長(zhǎng)等于三角形的三邊之和可得AODE的周長(zhǎng)=OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC,把AODE的周長(zhǎng)代入等

式計(jì)算即可求解.

7.（2分）（2024.柯橋月考）如圖：在AABC中，AC=BC>AB,點(diǎn)P為^ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P與

△ABC的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成^PAB,△PBC,APAC均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為

c

A.3B.4C.6D.7

【答案】C

【完整解答】解：如圖所示，作AB的垂直平分線，

①作AC的垂直平分線交AB的垂直平分線于一點(diǎn)P,得到aABC的外心P,為滿足條件的一個(gè)點(diǎn)；

②以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫圓，交AB的垂直平分線于兩點(diǎn)，P2,P3為滿足條件的點(diǎn)；

③分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫圓，P4為滿足條件的點(diǎn)；

④分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，得到Ps、P6為滿足條件的點(diǎn)；

綜上所述，滿足條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有6個(gè).

故答案為：C.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，作出AB和AC的垂直平分線，得到△

ABC的外心滿足條件；再根據(jù)圓的半徑相等，以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫圓，與AB的垂直平分線

相交于兩點(diǎn)：分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫圓，與AB的垂直平分線相交于一點(diǎn)；再分別以點(diǎn)

A、B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，與。C相交于兩點(diǎn)，即可解答.

8.（2分）（2024?天臺(tái)期中）如圖，在ZkABC中,NABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作EF〃BC交

AB于E,交AC于F,過(guò)點(diǎn)G作GD_LAC于D,下列四個(gè)結(jié)論：①EF=BE+CF；②NBGO90+-ZA；

2

③點(diǎn)G到ZiABC各邊的距離相等；④設(shè)GD=m,AE+AF=n，則S,防二mn.其中正確的結(jié)論有（）

【答案】C

【完整解答】解：①YNABC和/ACB的平分線相交于點(diǎn)G,

AZEBG=ZCBG,ZBCG=ZFCG.

AZCBG=ZEGB,ZBCG=ZCGF,

???NEBG=NEGB,ZFCG=ZCGF,

ABE=EG,GF=CF,

???EF;EG+GF=BE+CF,故本小題正確；

②/ABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)G,

工/GBC+NGCB二-(ZABC4-ZACB)=-(180°-ZA),

22

.\ZBGC=180°-(ZGBC+ZGCB)=180°--(180°-ZA)=90。+-ZA,故本小題正確;

22

③NABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)G,

工點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，

???點(diǎn)G至IJ^ABC各邊的距離相等，故本小題正確；

???點(diǎn)G是4ABC的內(nèi)心，GD=m,AE+AF=n,

.\SAAEF=-AE?GD+-AF?GD=-(AE+AF)?GD=-nm,故本小題錯(cuò)誤.

2222

故答案為：C.

【思路引導(dǎo)】利用角平分線的性質(zhì)可證得NEBG=NCBG,ZBCG=ZFCG,再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可證得

ZCBG=ZEGB,ZBCG=ZCGF,再證明NEBG=NEGB,ZFCG=ZCGF,就可得出BE=EG,GF=CF,從

而可證①的結(jié)論；利用角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理，可對(duì)②作出判斷；BG、CG是AABC

的兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)，可證得點(diǎn)G時(shí)內(nèi)心，利用二角形角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可對(duì)③

作出判斷；由已知條件：點(diǎn)G是AABC的內(nèi)心，GD=m,AE+AF=n,就可得出z\AEF的面積='（AE+AF）

2

?GD,代入計(jì)算，可對(duì)④作出判斷，綜上所述，可得出正確結(jié)論的個(gè)數(shù)。

9.（2分）（2024.江蘇月考）己知：如圖aABC中，BD為AABC的角平分線，且BD=BC,E為BD延長(zhǎng)線

上的一點(diǎn)，BE=BA,過(guò)E作EFLAB,F為垂足.下列結(jié)論：①AABD絲△EBC；②NBCE+NBCD=180。：

③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF.其中正確的是（）

A.①②③B.C.???D.?@??

【答案】D

【完整解答】解：①???BD為aABC的角平分線，

.\ZABD=ZCBD,

在AABD和AEBC中，

BE=BA

乙ABE=^CBE,，

(BD=BC

.,.△ABD^AEBC(SAS),

，①正確；

②1?BD為^ABC的角平分線，BE=BC,BD=BA,

??.ZBCD=ZBDC=ZBAE=ZBEA,

VAABD^AEBC

AZBCE=ZBDA,

JZBDC+ZBCE=ZBDA+ZBDC=180°,

???②正確；

@VZBCE=ZBDA,ZBCE=ZBCD+ZDCE,ZBDA=ZDAE+ZBEA,ZBCE=ZBDA,

.\ZDCE=ZDAE,

???△ACE為等腰三角形，

/.AE=EC,

VAABD^AEBC,

AAD=EC,

AD=AE=EC>

???③正確；

④過(guò)E作EG_LBC于G點(diǎn)，

VE是NABC角平分線上的點(diǎn)，.\EG=EF,

在RSBEF和RsBEG中，

BE=BE

.EG=EF，

ARtABEF^RtABEG(HL),

.\BF=BG,

在RlACEG和RtAAFE中，

'EG=EF

,AE=CE

/.RtACEG^RtAAFE(HL),

AAF=CG,

JBA+BC=BF+FA+BG-CG=BG+BF=2BG,

???④正確.

故答案為：D.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線的定義得出/ABD=/CBD,從而利用SAS判斷出AABD之ZkEBC；根據(jù)三角形

的內(nèi)角和及等邊對(duì)等角得出NBCD=NBDC=NBAE二NBEA,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出NBCE=N

BDA,從而即可根據(jù)等量代換及平角的定義得出NBDC+NBCE=/BDA+NBDC=180。；根據(jù)角的和差、三

角形外角定理及等式的性質(zhì)得出/DCE=NDAE,根據(jù)等角對(duì)等邊得出AE=EC,再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊

相等得出AD=EC,故AD=AE=EC；過(guò)E作EFJ_BC于F點(diǎn)，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得

出EG=EF,從而利用HL判斷出RtABEF^RtABEG,推出BF=BG,再利用HL判斷出RtACEF^RtAAGE,

推出AG=CF,最后根據(jù)線段的和差及等后代換得出BA+BC=BG+GA+BF-CF=BG+BF=2BG,綜上所述即可

得出答案。

10.（2分）（2024.新鄉(xiāng)期末）如圖，在Rt^ABC中，ZCBA=90°,NCAB的角平分線AP和NACB外角的

平分線CF相交于點(diǎn)D,AD交CB于點(diǎn)P,CF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DE_LCF交CB的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)G,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接CE并延長(zhǎng)交FG于點(diǎn)H,則下列結(jié)論：①NCDA=45。；@AF-CG=CA；

③DE=DC；④FH=CD+GH；@CF=2CD+EG.其中正確的有（）

G

A.①②④B.①②③C.①②D.①②??

【答案】D

【完整解答】①利用公式：ZCDA=-ZABC=45°,①正確；

2

②如圖：延長(zhǎng)GD與AC交于點(diǎn)P,

P'

G

由三線合一可知CG二CP',

VZADC=45°,DG_LCF,

.,.ZEDA=ZCDA=45°,

/.ZADr=ZADP,

AAADP'^AADF(ASA),

AAF=AP'=AC+CP'=AC+CG,故②正確;

③如圖：

G

VZEDA=ZCDA,

NCAD=NEAD,

從而^CADg/XEAD,

故DC=DE,③正確；

?VBF±CG,GD±CF,

???E為aCGF垂心，

ACH±GF,且ACDE、△CHF、aGHE均為等腰直角三角形,

AHF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+也CD,故④錯(cuò)誤;

⑤如圖：作MEJ_CE交CF于點(diǎn)M,

則ACEM為等腰直角三角形，從而CD=DM,CM=2CD,EM=EC,

VZMFE=ZCGE,

ZCEG=ZEMF=135°,

AAEMF^ACEG（AAS）,

?'?GE=MF,

.\CF=CM+MF=2CD+GE,

故⑤正確；

故答案為：D

【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意易求出/ADC的度數(shù)，可對(duì)①作出判斷：延長(zhǎng)GD與AC交于點(diǎn)P,利用等腰三角

形三線合一的性質(zhì)，可得出CG=CP',再證明CG=CP,AP=AF,就可證得AF=AC+CG,可對(duì)②作出判斷；

證明ACAD冬AEAD,利用全等二角形的性質(zhì)，就可判斷4CDE的形狀，可對(duì)③作出判斷；易證E為ACGF

垂心，就可證得ZkCDE、ACHF.^GHE均為等腰直角三角形，可證得HF=GH+五CD,可對(duì)④作出判斷：

作ME1CE交CF于點(diǎn)M,可知ACEM為等腰直角三角形，從而CD=DM,CM=2CD,EM=EC,再證明AEMF

^△CEG,利用全等三角形的性質(zhì)，可證GE=MF,然后就可得出CF=2CD+EG,綜上所述，可得出正確的

序號(hào)。

二.填空題（共9小題，滿分18分，每小題2分）

11.（2分）（2024.云夢(mèng)期末）如圖，在AA8C中，AB=AC,ZB=40°,點(diǎn)。在線段3C上運(yùn)動(dòng)（。不

與B，C重合），連接A力，作NA￡>E=40。，DE與AC交于E.在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，NBD4的度數(shù)

為___________________時(shí)，AADE的形狀是等腰三角形.

【答案】110?；?0。

【完整解答】解：???AB;AC,

/.ZB=ZC=40°,

①當(dāng)AD=AE時(shí)，ZADE=ZAED=40°,

VZAED>ZC,

???此時(shí)不符合:

②當(dāng)DA二DE時(shí)，即NDAE二NDEA二工(I8OMO0)=70°,

2

???ZBAC=180°-40°-40°=100°,

.,.ZBAD=l(X)o-70o=30°；

:.ZBDA=180°-30o-40°=l10°；

③當(dāng)EA=ED時(shí)，ZADE=ZDAE=40",

:.ZBAD=1000-40o=60°,

:.ZBDA=180o-60°-40o=80°；

,當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí),NBDA的度數(shù)是110?；?0。，

故答案為：110°或80°.

【思路引導(dǎo)】利用等邊對(duì)等角可求出NC的度數(shù)，再利用等腰三角形的定義，分情況討論：當(dāng)AD=AE時(shí)，

可得到NAED=40。，利用三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角，可知此時(shí)不符合；當(dāng)DA二DE

時(shí).，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求出NDAE的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出/

BAC,/BAD的度數(shù);然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出NBDA的度數(shù);當(dāng)EA=ED時(shí)，NADE=NDAE=40。,

由此可求出NBAD的度數(shù)；然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出NBDA的度數(shù).

12.(2分)(2024?武漢月考)如圖，在AABC中，AB=4,AC=6,AD是/BAC的平分線，M是BC的中

點(diǎn)，ME〃AD交AC于F,交BA的延長(zhǎng)線于E.則BE=.

【答案】5

【完整解答】證明：???AD平分/BAC,

AZBAD=ZDAC,

VMF//AD,

.*.ZDAC=ZAFE,ZBAD=ZE,

AZE=ZAFE,

AE=AF；

延長(zhǎng)FM至點(diǎn)N,使MN=FM,ZBMN=ZCMF,MB=CM,

.,.△BMN^ACMF（SAS）,

，CF=BN,ZN=ZMFC,

VZEFA=ZMFC,

AZN=ZEFA,

???NN=NE,

.\BN=BE,

???AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC,

VBE=FC,

.,.2BE=10,

???BE=5.

故答案為：5.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)平行線的性質(zhì)得NDAC=NAFN,NBAD=NE,結(jié)合角平分線的定義證出NE=NAFE,

根據(jù)等角對(duì)等邊得出AE=AF；延長(zhǎng)FM至點(diǎn)N,使MN=FM,連接AN,證明△BMNZ^CMF,得出CF

=BN,NN=NMFC,得出BN=BE,證明得出AB+AC=2BE,可求出答案.

13.（2分）（2024.下城期中）如圖，在^ABC中，AB=AC,D為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE_LBC,交AB于

點(diǎn)F,若AF=8,BF=7,則CD的長(zhǎng)度為

D

A

C

【答案】23

【完整解答】解：???AF=8,BF=7,

AC=AB=AF+BF=8+7=15,

VAB=AC,

AZB=ZC,

VDE±BC,

.\ZDEB=ZDEC=90°,

AZC+ZD=ZB+ZBFE,

.\ZD=ZBFE=ZAFD,

AD=AF=8,

.??CD;AC+AD=15+8=23.

故答案為：23.

【思路引導(dǎo)】由已知條件可得AOAB=AF+BF=15,由等腰三角形的性質(zhì)可得NB=NC,由等角的余角相等

可得ND=NBFE=/AFD,則AD=AF=8,然后根據(jù)CD=AC+AD進(jìn)行計(jì)算.

14.（2分）（2024?長(zhǎng)沙月考）如圖，/ABC的平分線BF與aABC中NACB的相鄰?fù)饨?ACG的平分線

CF相交于點(diǎn)F,過(guò)F作DF〃BC,交AB于D,交AC于E,若BD=7cm,DE=3cm,求CE的長(zhǎng)為cm.

【完整解答】解：：BF、CF分別平分NABC、NACB的外角,

/.ZDBF=ZCBF,ZFCE=ZFCG,

VDE//BC,

.,.ZDFB=ZCBF,ZEFC=ZFCG,

???NDBF=NDFB,ZFCE=ZEFC,

.\BD=FD,EF=CE,

AEF=DF-DE=BD-DE=7-3=4,

/.CE=4cm.

故答案為：4.

【思路引導(dǎo)】由角平分線的定義可得NDBF=NCBF,ZFCE=ZFCG,由平行線的性質(zhì)可得NDFB=/CBF,

ZEFC=ZFCG,從而得出NDBF=NDFB,ZFCE=ZEFC,根據(jù)等角對(duì)等邊可得BD=FD,EF=CE,繼而得

出EF=DF-DE=BD-DE=4,即得結(jié)論.

15.（2分）（2020八上?興城期末）如圖，4ABC中，ZA=ZC=40°,M、N分別是AB.4c邊

上的點(diǎn)，連接MN、BN,老AM=AN,CB=CN,則4MNB的度數(shù)是.

【答案】400

【完整解答】解：-AM=AN,CB=CN,

根據(jù)等腰三角形的判定定理得：A/IMN,△OV8為等腰三角形，

Z.ANM=Z.AMN,Z.CNB=Z.CBN,

vZA=ZC=40°,

:&NM=4CNB=70。,

:ZMNB=180°-ZANM-ZCNB=180°-70°-70°=40°,

故答案是：40°.

【思路引導(dǎo)】先求出A4MN,&CNB為等腰三角形，再求出NANM=NCNB=70。，最后計(jì)算求解即

可。

16.（2分）（2020八上?天津月考）如圖，在_ABC中，ZABC與ZACB的平分線交于點(diǎn)。,過(guò)

點(diǎn)。作DEMBC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E.若^ADE的周長(zhǎng)為7,^ABC的周

長(zhǎng)是12,則BC的長(zhǎng)度為.

【答案】5

【完整解答】VDE/7BC,

AZDOB=ZOBC,

〈BO平分NABC,

/.ZABO=ZOBC,

AZDOB=ZDBO,

/.OD=DB,

同理OE=EC,

.\AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC

V：.ADE的周長(zhǎng)為7,qABC的周長(zhǎng)是12

.\AD+DE+AE=7,AB+BC+AC=12

AAB+AC=7

ABC=5

故答案為：5.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線及平行線的性質(zhì)得到DO=DB,OE=EC,再利用三角形的周長(zhǎng)計(jì)算即可。

17.（2分）（2020八上?灘溪期末）如圖，在^ABC中，BI,CI分別平分/ABC,ZACF,直線DE過(guò)點(diǎn)I,

且DE〃BC,BD=8cm,CE=5cm,則DE=.

【答案】3cm

【完整解答】解：???BI、CI分別平分NABC、ZACF,

/.ZABI=ZCBLZECI=ZICF.

DE//BC,

.,.ZDIB=ZCBEZEIC=ZICF,

.,.ZABI=ZDIB,ZECI=ZEIC,

/.DI=BD=8cm,EI=CE=5cm,

.\DE=DI-EI=3（cm）.

故答案為3cm.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線的定義，可得NAB【=/CBI,ZECI=ZICF,根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得/DIB=

ZCBI,ZEIC=ZICF,利用等量代換可得NABI=NDIB,ZECI=ZEIC,由等角對(duì)等邊可得DI=BD=8cm,

EI=CE=5cm,利用DE=DI-EI即可求出結(jié)論.

18.（2分）（2024?咸安期末）如圖，在^ABC中，ZABC和ZACB的平分線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O

作EF//BC交AB于E,交AC于F,過(guò)點(diǎn)O作ODJ.A。于D,有下列結(jié)論:①所=BE+b；

②點(diǎn)O至ij^ABC各邊的距離相等；③/30。=90。+；44；④AO=g（A8+AC-8C）.其中正確

的結(jié)論是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）.

［答案］①②③@

【完整解答】解：???在AABC中，ZABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)O,

AZOBC=-ZABC,ZOCB=-NACB,ZA+ZABC+ZACB=180°,

22

1

AZOBC+ZOCB=90°——ZA,

2

r.ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=90°+-ZA；故③正確；

2

??,在aABC中，ZABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)O,

.\ZOBC=ZOBE,ZOCB=ZOCF,

VEF/7BC,

AZOBC=ZEOB,ZOCB=ZFOC,

/.ZEOB=ZOBE,ZFOC=ZOCF,

Z.BE=OE,CF=OF,

1?EF=OE+OF=BE+CF,

故①正確：

過(guò)點(diǎn)0作OM_LAB于M,作ON_LBC于N,連接OA,

???在AABC中，NABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)O,

???點(diǎn)0到AABC各邊的距離相等，故②正確.

在RtAAMO與RtAADO中，

VOM=OD,AO=AO,

/.RIAAMO^RIAADO

??.AM=AD,

同理BM=BN,CD=CN,

VAM+BM=AB,AD+CD二AC,BN+CN=BC,

AAD=-(AB+AC-BC)故④正確，

2

故答案為：①②③④.

【思路引導(dǎo)】由在AABC中，NABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)O,根據(jù)角平分線的定義與三角形內(nèi)角和

定理，即可求得③正確；由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出aBEO和aCFO是等腰三角形得出

EF=BE+CF故①正確；由角平分線的性質(zhì)得出點(diǎn)O到AABC各邊的距離相等，故②正確；根據(jù)HL可以證

出AAMO與△ADO全等，根據(jù)全等:角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出AM二AD,同理BM=BN,CD=CN,最后算-

2

(AB+AC-BC)即可得出判斷出④.

19.(2分)(202()八上?漢陽(yáng)期中)如圖，BD為AABC的角平分線，且BD=BC,E為BD延

長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=BA，過(guò)￡作EF.LAB于F，下列結(jié)論：

?ZBCE+ZB￡>C=180o；②==；③ABi/CE；④BA+BC=2BF.

其中正確的序號(hào)是

【答案】&??

【完整解答】解：①，BD為MBC的角平分線，

AZABD=ZCBD,

又?;AB=BE，BD=BC，

：.^ABD=^EBC(SAS),

:"BCE=/BDA,

ABCE+ZBDC=ABDA+ZBDC=180°，即①正確;

②在AABE中，AB=BE，

^BEA=1(1800-ZABE),

在ABCD中，BC=BD,

.?.NBOC=g(18()o-NCB。)，

VZABD=ZCBD，

ZBDC=ZAEB,

vABCE=ZBDA，/BCE=/BCD+/DCE，NBDA=/DAE+/BEA

ADCE=ZDAE，

.-.MCE為等腰三角形，

/.AE=EC，

SABD=\EBC，

：.AD=EC,

:.AD=AE=EC,即②正確；

③根據(jù)已知條件，可得AB//CE不一定成立，故③錯(cuò)誤；

④如圖，過(guò)E作EGA.BC于G點(diǎn)，

:.EF=EG，

在RtABEG和RtABEF中，

BE=BE

EF=EG'

/.RtABEGRlABEF(HL),

;.BG=BF，

在RtACEG和RtAAEP中，

EF=FG

AE=CE'

/.RtACEG=RtAAEF(HL),

/.AF=CG，

:.BA+BC=BF+FA+BG—CG=BF+BG=2BF，即④正確.

故答案為：①②④.

【思路引導(dǎo)】由角平分線的概念可得NABD二NCBD,證明aABDgAEBC,得到NBCE二NBDA,據(jù)此判斷

①;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得NBEA=L18()O-NABE),ZBDC=-(180°-ZCBD),

22

推出NBDC=NAEB,得到^ACE為等腰三角形，貝ljAE=EC,由全等三角形的性質(zhì)可得AD=EC,據(jù)此判斷

②；無(wú)法得至UAB〃CE,過(guò)E作EGJ_BC于G點(diǎn)，證明ABEG/ABEF,ACEG^AAEF,得到AF二CG,據(jù)

此判斷④.

20.(2分)如圖，在^ABC中，NABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作EF〃BC交AB于E,交

AC于F,過(guò)點(diǎn)G作GDJ_AC于D,下列四個(gè)結(jié)論：

(DEF二BE+CF：

?ZBGC=90°+-NA；

2

③點(diǎn)G到aABC各邊的距離相等；

④設(shè)GD=m,AE+AF=n,貝USAAEF=mn.

【答案】③

【完整解答】解：①TNABC和/ACB的平分線相交于點(diǎn)G,

AZEBG=ZCBG,ZBCG=ZFCG.

VEF/7BC,

/.ZCBG=ZEGB,ZBCG=ZCGF,

AZEBG=ZCGB,ZFCG=ZCGF,

Z.BE=EG,GF=CF,

，EF=EG+GF=BE+CF,故本小題正確；

②?：/ABC和/ACB的平分線相交于點(diǎn)G,

AZGBC+ZGCB=-(NABC+NACB)=-(180。-NA),

22

.,.ZBGC=180°-(ZGBC+ZGCB)=180°--(ISO0-ZA)=90°+-NA,故本小題正確;

22

③???NABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)G,

???點(diǎn)G是ZkABC的內(nèi)心，

???點(diǎn)G到AABC各邊的距離相等，故本小題正確；

④連接AG,

???點(diǎn)G是AABC的內(nèi)心，GD=m,AE+AF=n,

/.SAAEF=-AE?GD+-AF?GD=-(AE+AF)?GD=-nm,故本小題錯(cuò)誤.

2222

故答案為：①②③.

人

BC.

【思路引導(dǎo)】①根據(jù)NABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)G可得出NEBG=NCBG,ZBCG=ZFCG,再由

EF〃BC可知NCBG=NEGB,ZBCG=ZCGF,故可得出BE=EG,GF=CF,由此可得出結(jié)論：

②先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出NGBC+NGCB二-（ZABC+ZACB）,再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)

2

論；

③根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

④連接AG,根據(jù)二角形的面積公式即可得出結(jié)論.

三、解答題（共8題；共60分）

21.（5分）（22024.東莞期末）已知：如圖，AD是等腰三角形ABC的底邊BC上的中線，DE/7AB,交AC

于點(diǎn)E.求證：AAED是等腰三角形.

【答案】證明：:△ABC是等腰三角形，AB=AC,AD是底邊BC上的中線,

.\ZBAD=ZCAD,

VDE/7AB,

AZADE=ZBAD,

.*.ZADE=ZCAD,

AE=ED,

???△AED是等腰三角形.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論。

22.（5分）（2024?沿河期末）已知在_ABC中，AB=AC,。在A3上，石在AC的延長(zhǎng)

線上，。七交3c于產(chǎn)，且DF=EF，求證：BD=CE.

A

【答案】證明：過(guò)D點(diǎn)作DG//AE交BC于G點(diǎn)，如圖,

/.Z1=Z2，Z4=Z3，

-AB=AC，

:.AB=Z2，

=，

DB=DG，

在LDFG和aEFC中，

Z4=Z3

<ZDFG=/EFC,

DF=EF

:.^DFG^EFC{AAS),

DG=CE，

BD=CE.

【思路引導(dǎo)】（1）過(guò)D點(diǎn)作DG/7AE交BC于點(diǎn)G,根據(jù)平行線的性質(zhì)額等腰三角形的性質(zhì)得出/4=N3,

ZB=Z1,從而得出BD=DG,再利用AAS證出ADFG也ZkEFC,得出DG=CE,即可得出BD二CE.

23.（5分X2020八上?安丘月考）如圖，ZABC的平分線BE與ZACG的平分線CE相交于點(diǎn)E，

過(guò)點(diǎn)E作DE//BC交AC于/，若BD=8，DF=3，求。尸的長(zhǎng)

/.ZDBE=ZEBC,

??,DE//BC,

「?ZEBC=ZDEB,

/.ZDEB=ZDBE,

?*.DE=BD,

同理可證：EF=CF,

???BD=8,

/.DE=8,

VDF=3,

/.EF=5,

???CF=5.

【思路引導(dǎo)】由BE平分ZABC可得ZDBE=ZEBC,由DE〃BC可得ZEBC=ZDEB,所

以zDEB=zDBE,所以DE=BD,同理可證EF=CF,由已知線段的長(zhǎng)度求解即可.

24.（6分）（2024.漢陰期末）如圖，在LABC中，AB=AC,AD1BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在邊AB上,

EF||AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

A

E/

B-~"----------------------fcC

(1)(3分)若ZC=40°,求ZAEF的度數(shù);

(2)(3分)求證：AE=FE.

【答案】（1）解：\'AB=AC,ZC=40°

ZB=ZC=40°

/.ABAC=180°-ZB-ZC=100°

EF\AC

.\ZBAC+ZAEF=180

ZAEF=80°.

（2）證明：-AB=AC,ADVBC于點(diǎn)D

ABAD=ACAD

-.EF|AC

ZF=ZCAD

."BAD=NF

:.AE=FE.

【思路引導(dǎo)】（l）利用等邊對(duì)等角可求出NB的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出/BAC的度數(shù)，利用

平行線的性質(zhì)可求出ZAEF的度數(shù)；

（2）利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得/BAD二/CAD,再利月平行線的性質(zhì)得NF二NCAD,由此可推出

ZBAD=ZF,利用等角對(duì)等邊，可證得結(jié)論.

25.（9分）（2024?長(zhǎng)春期末）

圖1

（1）（3分）如圖I,在zkABC中，NACB=2NB,ZC=90°,AD為NBAC的平分線交BC于D,求證：

AB=AC+CD.（提示：在AB上截取AE=AC,連接DE）

（2）（3分）如圖2,當(dāng)NC￥9D。時(shí)，其他條件不變，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫

出結(jié)果，不需要證明.

（3）（3分）如圖3,當(dāng)NACBW90。，ZACB=2ZB，AD為AABC的外角NCAF的平分線，交BC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并加以證明.

【答案】（1）證明：在AB上取一點(diǎn)E,使AE二AC

???AD為NBAC的平分線

/.ZBAD=ZCAD.

在AACD和AAED中，

AE=AC

<ZBAD=/CAD

AD=AD

AAACD^AAED(SAS).

/.ZAED=ZC=90°,CD=ED,

又?「NACB=2NB,ZC=90°,

/.ZB=45°,

/.ZEDB=ZB=45°.

ADE=BE,

ACD=BE.

VAB=AE+BE,

/.AB=AC+CD,

(2)證明：在AB取一點(diǎn)E使AC=AE,

在AACD和aAED中,

AC=AE

，ZBAD=ZEAD,

AD=AD

AAACD^AAED,

AZC=ZAED,CD=DE,

又,JN82/B,

AZAED=2ZB,

VZAEDJEAEDC的外角，

r.ZEDB=ZB,

Z.ED=EB,

ACD=EB,

.*.AB=AC+CD；

(3)解：猜想：AB=CD-AC

證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使得AE=AC,連接DE,

在AACD和AAED中，

AC=AE

<ZCAD=ZEAD,

AD=AD

AAACD^AAED(SAS),

.\ZACD=ZAED,CD=DE,

.\ZACB=ZFED,

又；/ACB=2NB

AZFED=2ZB,

XVZFED=ZB+ZEDB,

.,.ZEDB=ZB,

/.DE=BE,

ABE=CD,

VAB=BE-AE

AAB=CD-AC.

【思路引導(dǎo)】（1）證明線段和差可轉(zhuǎn)化為證線段相等，本題采取截長(zhǎng)法，利用全等三角形的判定和性質(zhì)、

等腰三角形的判定和性質(zhì)即可獲得證明；（2）盡管弱化了條件NACBH90。，類比（1）的轉(zhuǎn)化方法不難得到

同樣的結(jié)論；（3）盡管與（I）相比弱化了條件，同時(shí)改變了AD由內(nèi)角平分線變?yōu)橥饨瞧椒志€，但受（1）

的思路啟發(fā)，同樣可采用截長(zhǎng)法，利用全等三角形判定和性質(zhì)、等腰三角形判定和性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，

即可找到三條線段的數(shù)量關(guān)系。本題充分利用角平分線構(gòu)造全等三角形從而把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵,

同時(shí)要善于把問(wèn)題前后聯(lián)系起來(lái)，學(xué)會(huì)類比思考分析。

A

AD/

-c

26.（10分）（2024?崇陽(yáng)期中）/

B^—------------

圖1圖2圖3

（1）（5分）如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=a,ZBCD=l80°-a,BD平分/ABC.

①如圖1,若a=90。，請(qǐng)直接寫出AD與CD之間的數(shù)量關(guān)系一▲_；

②在圖2中，①中結(jié)論是否仍然成立'?若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）（5分）根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)解決如下問(wèn)題：如圖3,在等腰AABC中，ZBAC=1（X）°,RD平

分NABC,求證：BD+AD=BC.

【答案】（1）解：@AD=CD

②成立，理由如下：

在BC截取BE=BA,連接DE,

AD

巧

???BD平分NABC,

AZABD=ZEBD,

又BE=BA,BD=BD,

,△ABD且△EBD(SAS),

AAD=ED,ZBAD=ZBED,

VZBCD=180°-ZBAD,

，ZBCD=1800-ZBED=ZDEC,

.\CD=ED,

.\AD=CD；

(2)證明：??,在等腰AABC中,ZBAC=100°,

180°-100°…

AZB=ZC=---------------=40°,

2

,?，BD平分NABC,

AZABD=ZCBD=-ZABC=20°,

2

在BC截取BE=BA,在BC截取BF=BD,連接DE、DF,

???ZC=40°,

:.ZCDF=80°-40°=40°,

??.DF=FC,

???BD平分NABC,

AZABD=ZEBD,

乂BE=BA,BD=BD,

.,.△ABD^AEBD(SAS),

???AD=ED,ZBAD=ZBED=100°,

???ZDEF=180°-ZBED=180°-l00°=80°,

???ZDEF=ZDFE=80°,

ADE=DF,

.\AD=DE=DF=CF：

1?BD+AD=BF+FC=BC.

【完整解答】解：（1）①???NBAD=90°,ZBCD=l80o-90°=90°.BD平分NABC,

.\AD=CD；

故答案為：AD=CD；

【思路引導(dǎo)】（1）①易得NBAD=NBCD=90。，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得結(jié)論；

②在BC截取BE=BA,連接DE,由角平分線的概念可得NABD=NEBD,利用SAS證△ABDg/XEBD,得

AD=ED,/BAD:/BED,結(jié)合/BCD=180。-/BAD可得NBCD二/DEC,推出CD=ED,據(jù)此解答；

⑵根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得NB=NC=40。，由角平分線的概念可得NABD=NCBD=20。,

在BC截取BE=BA,在BC截取BF=BD,連接DE、DF,由等腰三角形的性質(zhì)得NBDF=NBFD=80。，結(jié)合

外角的性質(zhì)求出NCDF的度數(shù)，推出DF=FC,然后證明^ABD且Z\EBD,得到AD=ED,NBAD=NBED=100。，

由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得NDEF=80。，推出AD=DE=DF=CF,據(jù)此證明.

27.（10分）（2020八上.石阡月考）在aABC中，ZACB=2ZB,如圖①，當(dāng)NC=90。，AD為NBAC的

角平分線時(shí)，在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE,易證AB=ACICD.

（1）（5分）如圖②，當(dāng)NC洌0。，AD為NBAC的角平分線時(shí)，線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？不需要證明，請(qǐng)直接寫出你的猜想；