第八章一元二次方程拔尖檢測

限時(shí):90分鐘滿分：120分

一、選擇題(每題3分，共30分)

1.下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是()

A.2(W+Zv)=2X2-1B.or2+/?x+c=0

C.(x+\)2=2X+1D.p4-x+1=0

2.已知ci是方程『+2026x-1=()的一個(gè)根,則代數(shù)式a(a+1)(?-1)+2026a2

+1的值是()

A.1B.-1C.0D.2

3.隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛

的交通工具.某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月

份的12000輛，設(shè)該汽車一月至三月銷售量的月平均增長率為X,則可列

方程為()

A.8000(1+2r)=12000

B.8000(1+^)2=12000

C.8000+8000(1+x)+8000(1+x)2=12000

D.8000x2(1+x)=12000

4.根據(jù)下列表格的對應(yīng)值，估計(jì)方程1+4x-3=0的一個(gè)解的范圍是()

X0.40.50.60.70.8

A2+4x-3-1.24-0.75-0.240.290.84

A.0.4<x<0.5B.0.5W0.6C.0.6<v<0.7D.0.7<x<0.8

5.已知關(guān)于x的方程x2?(2m?1天+蘇=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是汨，X2,若3

+1）3+1）=3,則"z的值為（）

A.-3B.1（2.-3或1D.-l或3

6.規(guī)定：對于任意實(shí)數(shù)。,h,c,有m，h]^kc=ac+h,其中等式右面是通常的

乘法和加法運(yùn)算，如[2,引=2x14-3=5.若關(guān)于x的方程以“+■★（〃a）

=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍為（）

A.〃金B(yǎng).心"C.心；且加和D.加且

7.生物學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，很多植物的生長都有下面的規(guī)律，即主干長出若干數(shù)目

的支干后，每個(gè)支干又會(huì)長出同樣數(shù)目的小分支.現(xiàn)有符合上述生長規(guī)律的

某種植物，它的主干、支干和小分支的總數(shù)是91,則這種植物每個(gè)支干長出

小分支的個(gè)數(shù)是（）

A.9B.10C.11D.9或10

8.小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時(shí)，小影在化簡過程中寫錯(cuò)

了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯(cuò)了一次

項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根是-2和-5,則原來的方程是（）

A.x2+6x+5=0B.x2-7x+10=0

C.A2-5X+2=0D.x2-6x-10=0

9.如圖，在勞動(dòng)技能課程中，小張同學(xué)將一張長16cm、寬12cm的矩形紙板,

剪去兩個(gè)全等的正方形和兩個(gè)全等的矩形后，剩余部分.怵

?---------F

恰好制作成底面積為48cnr的有蓋的長方體工藝盒，注；：

則剪去的正方形的邊長為（）（-----

A.1.5cmB.2cmC.2.5cmD.3cm

10.對于一元二次方程ax1+bx+c=0（c#0）,下列說法：

①若x=0是方程的一個(gè)根，則c=0；

②若。8+c=0且4。+2/?+c=0,貝！Jxi+及=1,x\X2=-2；

③若方程a（x-1）2+/>（x-1）+c=0存在兩個(gè)根x\=2,X2=5,則方程加+

bx+c=0（。和）的兩個(gè)根為xi=1,X2=4；

④若C是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，則一定有6/c+Z?+1=0成立.

其中一定正確的是（）

A,①②④B.①③④C.①②③D.①②③④

二、填空題（每題3分，共18分）

11.若關(guān)于x的一元二次方程（"L1w+5x+nr-3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0,則m

等于.

12.把一元二次方程-8x+3=0化成（r+m）2=n的形式,則加+n的值為

13.在平面直角坐標(biāo)系中，若直線產(chǎn)7+〃1不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于X的方程

nvr+x+1=0的實(shí)數(shù)根有.

14.直播購物逐漸走道了人們的生活.某電商在某平臺(tái)上對一款成本價(jià)為每件

40元的商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，則每天可賣出20件.通

過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品的售價(jià)每降低1元，日銷售量就增加2件.若日

利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，則每件商品的售價(jià)應(yīng)定為

15.已知關(guān)于工的一元二次方程f?（2Z+1）x+獨(dú)?3=（），當(dāng)Rt^ABC的斜邊長

a為百,且兩條直角邊的長〃和c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根時(shí),>ABC的周

長為.

16.某中學(xué)計(jì)劃在一塊長16m、寬6m的矩形空地上修建三塊全等的矩形草坪,

如圖所示，余下空地修建成同樣寬為a的小路.

⑴若a=1.5m,則草坪的總面積為n?；

⑵若草坪的總面積恰好等于小路的總面積，那么

此時(shí)的路寬a是________m.

三、解答題（共72分）

17.（6分）選擇合適的方法解下列方程.

(1)5x+2=3A2；(2)2,r-7x+5=0；(3)2x(x-3)=9-3x.

18.（8分）已知關(guān)于y的一元二次方程（〃z+D.y2-3,^-9=0的根都是整數(shù)，且

滿足等式、/（1?優(yōu)）2=（?77^）2,求滿足條件的所有整數(shù)m的和.

19.（8分）為了滿足師生的閱讀需求，某校圖書館的藏書從2023年底到2025年

底兩年內(nèi)由5萬冊增加到7.2萬冊.

⑴求這兩年藏書的年均增長率.

⑵經(jīng)統(tǒng)計(jì)知：中外古典名著的冊數(shù)在2023年底僅占當(dāng)時(shí)藏書總量的5.6%，在這

兩年新增加的圖書中，中外古典名著所占的百分率恰好等于這兩年藏書的年

均增長率，那么到2025年底中外古典名著的冊數(shù)占藏書總量的百分之幾？

2（）.（8分）學(xué)校準(zhǔn)備利用操場開元旦晚會(huì)，師生坐在足球場區(qū)域，已知足球場的

長度為72m（觀眾席不一定要占滿球場長度），其他三邊利用總長為14（）m

的移動(dòng)圍欄圍成一個(gè)矩形的觀眾席，并在觀眾席內(nèi)按行、列擺放單人座椅，

要求每個(gè)座位的占地面積為In?（如圖所示），且觀眾席內(nèi)的區(qū)域恰好都安排

了座位.

⑴若觀眾席內(nèi)有x行座椅，請用含x的代數(shù)式表示每行的座椅數(shù)，并求x的最

小值.

(2)如果全校師生共有2400A,那么座位夠坐嗎？請說明理由.

第1列第2列一

21.(10分)閱讀材料：若M-2mn+2n2-8w+16=0,求,n的值.

解:*/ni1-2mn+In2-8/7+16=0,

(nr-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0.

(/?:-〃)2+(/?-4)2=0.-n=0,/?-4=0..二〃=4,m-4.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題:

⑴已知f+2盯+2），2+2），+1=0,求x-y的值.

（2）已知的三邊長a,b,c都是正整數(shù)，且滿足a2+b1-6a-Sb+25=0,

求邊c的最大值.

（3）若已知a-b=4,ab+c2-6c+13=（）,求。?/?+c的值.

22.（10分）我們給出定義：若關(guān)于x的一元二次方程ad+云+c=0（存0）的兩個(gè)

實(shí)數(shù)根為為，M（,EVE2）,分別以為，⑼為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點(diǎn),x2）,

則稱點(diǎn)M為該一元二次方程的衍生點(diǎn).

⑴若方程為f?3"2=0,該方程的衍生點(diǎn)M為；

（2）若關(guān)于x的一元二次方程x2?（5〃?+1）x+5m-0的衍生點(diǎn)為M,過點(diǎn)M向x

軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸恰好圍成一個(gè)正方形，求〃?的值；

⑶是否存在"C,，使得不論〃（祝0）為何值，關(guān)于x的方程f+法+C=0的衍生

點(diǎn)M始終在直線廣，a+2〃+1上，若有，請求出b,c?的值；若沒有，說明

理由.

23（10分）某電商在某平臺(tái)上對某種種植成本為20元/千克的葡萄進(jìn)行直播銷售，

如果按每千克40元銷售，則每天可賣出200千克.通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),如

果該葡萄的售價(jià)每千克降低1元，曰銷售量將增加20千克.

⑴若日利潤保持不變，則每千克該葡萄的售價(jià)可降低多少元？

⑵老張的線下水果店也銷售同款葡萄，標(biāo)價(jià)為每千克5（）元.為提高市場競爭力，

促進(jìn)線下銷售，老張決定對該葡萄實(shí)行打折銷售，使其銷售價(jià)格不超過⑴中

的售價(jià)，則該葡萄至少需要打幾折銷售？

24.(12分攻口圖，在四邊形ABCD中,AB//DC,AD=BC=5cm,AB=12cm,

CD=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q

從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P,Q分別從

點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.連接PQ,肛PQ.設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為is.

(1)求證：當(dāng)用時(shí)，四邊形APQQ是平行四邊形.

(2)PQ是否能平分對角線BD?若能，求出當(dāng)t為何值時(shí),PQ平分對角線BD；

若不能，請說明理由.

⑶若ADPQ是以PQ為腰的等腰三角形，求，的值.

答案

一、1.C2.A3.B4.C5.A6.D7.A8.B9.B

10.C【點(diǎn)撥】①當(dāng)K=0時(shí)，c=0,故①符合題意；②丁。-〃+c=0且4〃+

2/7+C=(),???方程的兩個(gè)根為X\=-1,X2=2.：.X\+X2=\,X\X2=-2,故②

符合題意；③.??方程4(x-1)2+仇]?1)+。=0存在兩個(gè)根加=2,X2=5,

...X?1=1或x-1=4.，方程aj?+bx+c-0(。和)的兩個(gè)根為xi=1,X2=4,

2

故③符合題意；@Vc是方程CLT+bx+c=0的一個(gè)根zAac+bc+c=0,

即c(ac+b+1)=0,或1=0,故④不符合題意.綜上所述，

一定正確的是①②③.

二、11.212.913.1個(gè)或2個(gè)14.5015.7+^3116.(1)30(2)1

三、17.【解】⑴原方程可變形為3,5x-2=D,

(3x+l)(x-2)=0,3x+1=0sEx-2=O./.xi=-g,xi-2.

(2)這里。=2,b=-1,c=5/：b2-4ac=(-7)2-4x2x5=9>0,

.7±35

??A?二,KPXI=2/-V2=1.

(3)2x(x-3)=9-3x,2x(x-3)=-3(x-3),2x(x-3)+3(x-3)=0,

3

-

(x-3)(2x+3)=0,x-3=0或2x+3=0..*.xi=3,xa=2

18.【解】T〃2滿足等式叱1?〃z)2=1-m)2m>0,解得in<\.

由(〃?+1))?-3my-9=0,彳導(dǎo)(.y-3)[(m+l)y+3]=0,

解得k3w一總

關(guān)于y的一元二次方程(〃z+1))?-3"z)，-9=0的根都是整數(shù)，且fn<\r

???〃z=0或-2或-4.J滿足條件的所有整數(shù)m的和是0-2-4=-6.

19.【解】(1)設(shè)這兩年藏書的年均增長率是x,

2

5(1+x)=7.2,解得xi=0.2,x2=-2.2(舍去).

答：這兩年藏書的年均增長率是20%.

(2)在這兩年新增加的圖書中，中外古典名著有(7.2-5)x20%=0.44(萬冊)，

5x5.6%+0.44

到2025年底中外古典名著的冊數(shù)占藏書總量的百分比是——73——'I。。％

=10%.

答：到2025年底中外古典名著的冊數(shù)占藏書總量的10%.

2().【解】⑴??,移動(dòng)圍欄的總長為140m,且觀眾席內(nèi)有"亍座椅，，每行的座

椅數(shù)為140-2x.

??,足球場長度為72m,每個(gè)座位占地面積為1nf,

A140-2A<72,：.x>34,：.x的最小值為34.

⑵座位夠坐.理由如下：

依題意，得M140-2x)=2400,整理，得x2-70x+1200=0,解得沏=30(不

符合題意,舍去)，x?=40.

?.?如果全校師生共有2400人，那么座位夠坐.

21.【解】(l)?，F(xiàn)+Zv，+2y2+2y+1=0,???(f+2_vy+y2)+(/+2)，+1)=().

???(x+)，)2+()，+l)2=0.：.x+y=0,y+\=0,解得y=-\,x=\.

?\x-y=2.

(2)Vo2+/?6a?8b+25=0,???(片-6a+9)+(〃-昉+16)=0.

22

/.(a-3)+(Z?-4)=0.Aa-3=0,Z?-4=0,解得a=3zZ?=4.

易知1<c<7.

又???c是正整數(shù)一,?c的最大值為6.

(3),?Z-力=4,即a=〃+4,代入得(〃+4)b+c2-6c+13=0,整理得(序+4b+

4)+(，-6c+9)=S+2)2+(c-3)2=0,???8+2=0,c-3=0,解彳導(dǎo)匕二-2,

c=3.tz=2./.?-/?+c=2-(-2)+3=7.

22.【解】⑴(1,2)

(2)解關(guān)于x的一元二次方程x2-(5m+l)x+5m=0,得丁=1,及=5m,則M(1,

或M(5m,1).

V過點(diǎn)M向x軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸恰好圍成一個(gè)正方形，

5m=1或56=-1,解得m-g或m=-1.

(3)y=nx+2n+1=n(x+2)+1,

當(dāng)-2時(shí)，y=1,??.直線過定點(diǎn)(-2,1).

???關(guān)于x的方程x2+飯+c=0的衍生點(diǎn)M始終在直線產(chǎn)/u+2〃+1上，

，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(?2,1).???方程f+辰+。=0的兩個(gè)根為/=-2,X2=L

根據(jù)—元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得?b=+X2=?2+1=?1,C=X\X2=-

2x]=-2,.*./?=1,c=-2.

23.【解】(1)設(shè)每千克該葡萄的售價(jià)可降低X元，

根據(jù)題意得(40-X-20)(200+20x)=(40-20)x200,

整理，得f-10x=0,解得汨=0(不符合題意，舍去),X2=10.

???若日利潤保持不變，則每千克該葡萄的售價(jià)可降低10元.

⑵設(shè)該葡萄需要打)，折銷售,

根據(jù)題意，得50x^<40-10,解得)06,

???)，的最大值為6.，該葡萄至少需要打六折銷售.

24.(1)【證明】V124-3=4(s),6-rl=6(s),4<6,

.??當(dāng)々4時(shí)，