分式（必備知識+5大易錯+易錯訓(xùn)練）

思維導(dǎo)圖

1.分式的概念

知識清單

清單01分式的概念及基本性質(zhì)

1.分式的概念

（1）分式的概念：一般地，如果44袤示兩個整式,并且4中含有字母,那么式子A叫做分式.

B

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（2）因為0不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0.

（3）分式是兩個整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分數(shù)線可以理解為除號，還兼有括號

的作用.

（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是&的形式，從本

B

質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡.

2.分式有意義的條件

（1）分式有意義的條件是分母不等「零.

（2）分式無意義的條件是分母笠土雯.

（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號.

（4）分式的值為反數(shù)的條件是分子、分母異號.

3.分式的值為零的條件

分式值為零的條件是分子等十零且分母小等十七.

4.分式的基本性質(zhì)

（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等「0的整式,分式的值丕變.

（2）分式中的符號法則：分子、分母、分式本身同時改變兩處的符號，分式的值丕變.

5.約分

（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.

（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定.

①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式.

②當(dāng)分子與分母含有負號時，一股把負號提到分式本身的前面.

③約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項式的，必須先分解因式.

6.通分

（1）通分的定義：把幾個異分母為分式分別化為與原來的分式用等的同分母的分式,這樣的分式變形叫做

分式的通分.

（2）通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母.

①最簡公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù).

②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次累的積.

7.最簡分式

最簡分式的定義：一個分式的分子與分母歿直公因式時，叫最簡分式.

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8.最簡公分母

（1）最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次曷的枳作公分母,這樣的公

分母叫做最簡公分母.

清單02分式的運算

1.分式的加減法

（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加遮，分母不變，把分子相加減.

（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母祖國的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分

母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.

2.分式的乘除法

（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子,分母的積作積的分母.

（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘.

（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方.

（4）分式的乘、除、乘方混合運算.運算順序應(yīng)先把各個分式進行塞方運算，再進行分式的乘除運算,即

“先乘方，再乘除

3.分式的混合運算

（1）分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序：先乘方,再乘除,然后加減,有

括號的先算括號里面的.

（2）最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

（3）分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進行靈活運

算.

4.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子?、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果

要化成最筒分式或整式.

清單03整數(shù)指數(shù)累

1.負指數(shù)塞、零指數(shù)塞：

①0，?！?*+%（勿，碗正整數(shù)）：②（Q7r*）"=（加，〃是正整數(shù)）

③（ab）m=ambm,（碗正整數(shù)）；④+=勿、〃是正整數(shù)，力n）

⑤（"=2"是正整數(shù)）;⑥僖憶牖:睚最規(guī)定）

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若按照④運算，當(dāng)m<n時。如：/+a3=於-3=。-1；根據(jù)指數(shù)事的定義。2+。3=號=：

a°Q

針對這種現(xiàn)象，我們規(guī)定，當(dāng)n為正整數(shù)時，af三,（aWO）注：0。、0一“無意義

2.科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)

一般，一個小于1的數(shù)可以表示為此1L的形式，其中｛椀睚記

步驟：確定a值的大小。l<|Q|<10;確定〃的值。原數(shù)變?yōu)閍后，小數(shù)點向前移動乂立，則原數(shù)相應(yīng)擴大

了10淄。故爐-才

清單04分式方程定義及解法

1.分式方程的定義

分式方程的定義：分母方含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數(shù).

2.分式方程的解

求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值,這個值叫方程的解.

3.解分式方程

（1）解分式方程的步驟：①去分母;②求出整式方程的解;⑶檢驗:④得出結(jié)論.

（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為。，則整式方程的解是原分式方程的解.

②將摳式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的侑為0,則整式方程的解不是原分式方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

4.換元法解分式方程

（1）解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成二用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法.

換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對

象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理.

（2）我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而

簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).

5.分式方程的增根

（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分用的值為0或

是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根.

（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未

知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式

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方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是

原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根.

（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0,如果

為0,則是增根：如果不是（），則是原分式方程的根.

清單05分式方程的應(yīng)用

1.分式方程的應(yīng)用

（1）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：逡、列、解、驗、答.

必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位

等.

（2）要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題：工作效率=工作量工作

時間等等.

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意,找相等關(guān)系是著眼點，要學(xué)會分析題意.提高理解能力.

易錯總結(jié)

【易錯一】求使分式為正（負）數(shù)時未知數(shù)的取值范圍

一、易錯總結(jié)（2點）

L忽略分母不為0的前提：只關(guān)注分子符號，忘記分母不能為0,導(dǎo)致取值范圍包含使分式無意義的解。

2.不等號方向錯誤：解不等式時，兩邊乘除負數(shù)未變號，或聯(lián)立不等式組時寫錯不等關(guān)系，如誤將“分子

正且分母正”寫成“分子正或分母正

二、方法技巧（2點）

I.符號法則法：分式正負由分子、分母符號共同決定，“正”需分子分母同號（均正或均負），“負”需分

子分母異號（一正一負），分情況列不等式組求解。

2.轉(zhuǎn)化整式法：先確定分母不為0,再將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式（分子X分母>0或V0）,解整式

不等式后結(jié)合分母限制，確定最終取值范圍。

Y4.4

【例1】已知分式二的值是非負數(shù)，那么X的取值范圍是（）

4.X>-4I1XH0A.xN-4C.xwOO.X之一4且XWO

【答案】D

【知識點】求分式值為正（負）數(shù)時未知數(shù)的取值范圍、求不等式組的解集

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【分析】本題考查分式值的正負性問題，也考查了解一元一次不等式.根據(jù)—的值是非負數(shù)得到升420

x

且工工0,進而能求出x的取值范圍.

Y+4

【詳解】解：?.?一》(),

.?.升420且工工0,

,x>-4”.xwO.

故選：D.

【易錯二】求使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值

一、易錯總結(jié)(2點)

1.忽略分母不為0的限制：只計算使分子能被分母整除的未知數(shù)，未排除使分母為。的取值，導(dǎo)致結(jié)果包

含無意義的解。

2.漏解整數(shù)情況：未考慮整除的壬負性，如求\(\frac{x+l}{2}\)為整數(shù)時，只算正整數(shù)解，漏了負整數(shù)和0

的情況。

二、方法技巧(2點)

1.整除定義法：設(shè)分式值為整數(shù)Yk\),將分式化為“分子=分母Xk”的整式形式，解出未知數(shù)用\(k\)表

示，再結(jié)合未知數(shù)為整數(shù)確定'(k\)的可能值，進而求未知數(shù)。

2.因式分解法：對分子分母因式分解，若分母是分子的因式，直接分析整除條件；若不是，通過變形讓分

母整除分子，再結(jié)合整數(shù)性質(zhì)確定未知數(shù)取值。

【例2-1】對于非負整數(shù)x,使得二芋是一個正整數(shù)，則x可取的個數(shù)有()

x+2

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【知識點】求使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值

【分析】本題主要考查了分式的化簡變形，解題時要能熟練掌握并理解.依據(jù)題意，由筌=x-2+—

x+2x+2

再結(jié)合二為正整數(shù)，x為非負整數(shù)，進而可以得解.

【詳解】解：由題意，...號=/_4：6=(x+2)(二2)+6=一_二,且。為正整數(shù)，X為非負整數(shù)，

..?二必為正整數(shù).

工+2

.??x+2為6的正因數(shù)，可能為1,2,3,6,

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.?一為非負整數(shù)，

???X可能為o,1,4.

乂T上2+2為正整數(shù)，

x+2

.?"=0或x=l或X=4均符合題意，共3種可能.

故選：A.

【例2-2】若分式等?的值為整數(shù)，則整數(shù)x的值為__________

2x-\

【答案】7或0或1或2

【知識點】求使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值

【分析】本題考查了求使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值問題，將分式化為5-含，分別代值計算，即

可求解；掌握這類典型問題的解法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當(dāng)二*1

2x-\

_5（2x-l）-6

2x—1

=5-上，

2x-l

...分式等?的值為整數(shù)，且x是整數(shù),

2x-i

2x—1=-3或2x—1=-1

或2x-l=l或2x7=3,

解得：戈=-1或。或1或2,

故答案：-1或（）或1或2.

【易錯三】分式方程無解與增根

一、易錯總結(jié)（2點）

1.混淆“無解”與“增根”概念：認為增根就是無解，忽略“整式方程無解時，分式方程也無解”的情況,

如\（\frac{l}{x-l}=\frac{x}{x-l}+2\）,整式方程無解，分式方程也無解，而非增根。

2.漏驗增根：解分式方程去分母后，只解整式方程，未將解代人最簡公分母檢驗是否為增根，導(dǎo)致錯誤保

留無意義的解。

二、方法技巧（2點）

1.概念辨析法：增根是“使最簡公分母為0的整式方程的解”，僅出現(xiàn)在整式方程有解的情況；無解包含

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“有增根”和“整式方程本身無解”兩類，通過判斷整式方程是否有解及解是否為增根，區(qū)分兩者。

2.檢驗三步法：解分式方程后，①將整式方程的解代入最簡公分母；②若公分母為0,此解是增根，分式

方程無解；③若公分母不為0,此解是分式方程的解，據(jù)此快速判斷。

【例3-1]若關(guān)于x的分式方程二-3=1無解，則實數(shù)陽=____.

x-3x

【答案】0或3

【知識點】根據(jù)分式方程解的情況求值、分式方程無解問題、能分式方程

【分析】本題考查分式方程的解.熟練掌握分式方程的解法，注意方程增根的情況是解題的關(guān)鍵.

分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0.

【詳解】解:二?一2=1,

x-3x

去分母，得工(工一〃?)一3(工一3)=x(x—3),

夫括號，^x2-wr-3x+9=r2-3r.

移項合并同類項，得加x=9,

①當(dāng)用x=9無解時，"尸0；

②當(dāng)整式方程的解為分式方程的增根時，

x=0,0〃?=3,矛盾：

或x=3,3m=9,

二〃?一3.

故答案為：0或3.

【例3-2](23-24八年級上?貴州銅仁?期末)關(guān)于x的分式方程三二一二有增根，則加為_________.

x-4x-2

【答案】4或0

【知識點】根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】本題主要考查分式方程增根的定義，分式方程的增根是使得最簡公分母為0的未知數(shù)的取值，根

據(jù)分式方程的增根定義即可求解.

【詳解】解：???關(guān)于入?的分式方程37二一二有增根，

-4x-2

A(J-2)(X+2)=0,

:.x=±2,

解分式方程：±=

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去分母得：m=x+2,

當(dāng)x=2時，m=4,

當(dāng)x=-2時，w=0,

故加的值為4或0.

故答案為：4或0.

【易錯四】已知方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍

一、易錯總結(jié)（2點）

1.忽略分式分母不為0的限制：僅根據(jù)整式方程根的情況求參數(shù)，未排除使原分式分母為。的參數(shù)值，導(dǎo)

致取值范圍包含無效解。

2.混淆“無解”對應(yīng)的參數(shù)情況：誤將“分式方程有增根”等同于“分式方程無解”，忽略“整式方程本

身無解時.分式方程也無解”的情況，漏算參數(shù)取值.

二、方法技巧（2點）

1.分類討論法:先將分式方程化為整式方程，分兩類討論:①整式方程無解時，求對應(yīng)參數(shù)值;②整式方程有

解時，排除使分母為0的參數(shù)值，結(jié)合根的要求（如整數(shù)根、正數(shù)根）確定范圍。

2.代入檢驗法：若已知方程有增根，先求增根（令最簡公分母為。的解），代入整式方程求參數(shù)；若方程

無解，需同時考慮整式方程無解和有增根兩種情況，整合參數(shù)范圍。

【例4】（24-25八年級上?重慶水川?期末）若分式方程有正數(shù)解，則/〃的取值范另為______.

x+1r-1

【答案】帆<1且WHO

【知識點】求一元一次不等式的解集、根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】本題考查了分式方程的解、一元一次不等式的解集，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.將

Y

分式方程-化為整式方程，解得x=再利用原方程的解為正數(shù)，得到1>0且1-加±±1,

x+lx*-1

解不等式即可求出機的取值范圍.

【詳解】解：一、-1=*,

X+1X-1

去分母得，X（X-1）--1）=〃?，

解得：x=l-m,

???分式方程有正數(shù)解，

/.X>0且xw±l,

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/.\—m>0J@L1-m#±1,

<1且"7H()且用W2,

，川<1且H0.

故答案為：，〃<1且加工0.

【易錯五】與分式及分式運算有關(guān)的新定義型問題

一、易錯總結(jié)(2點)

1.誤解新定義規(guī)則：未逐字分析題干中“新運算符號”的定義(如分子分母對應(yīng)關(guān)系、運算順序)，直接

套用常規(guī)分式運算，導(dǎo)致步驟錯誤。

2.忽略隱含限制條件：新定義問題常隱含分母不為。的要求，解題時只關(guān)注新運算流程，漏查運算中所有

分式的分母(包括新定義里的分母)，出現(xiàn)無意義的解。

二、方法技巧(2點)

1.拆解定義法：將新定義內(nèi)容拆解為“已知條件”和“運算規(guī)則”，用具體字母或數(shù)值代入規(guī)則，轉(zhuǎn)化為

熟悉的分式化簡、求值問題，再按常規(guī)步驟計算。

2.雙重驗證法：完成運算后，先驗證結(jié)果是否符合新定義的形式要求，再檢查所有分式的分母是否為0,

確保運算過程和結(jié)果均有效，避免隱含錯誤。

【例5?1](24-25八年級下?河南新鄉(xiāng)?期中)定義：若分式/與分式B的差等于它們的積,即

則稱分式B是分式A的“關(guān)聯(lián)分式”.

例如：一二與工

x+1x+2

??_1____1__=_____1_____1x__1_=_____1___

?x+1x+2-(x+l)(x+2)jx+ix+2-(x+l)(x+2)'

???一二是一、的“關(guān)聯(lián)分式”.

x+2x+1

222

⑴已知分式—二，則一二〈二的“關(guān)聯(lián)分式”(填“是”或“不是”)；

a~-1。+1a

(2)求分式盧J的“關(guān)聯(lián)分式”；

2a+3b

(3)觀察(1)(2)的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式’的“關(guān)聯(lián)分式”：.

X

【答案】(1)是

(2)^~

3a+2b

(3)—

x+y

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【分析】本題考查用新定義解決數(shù)學(xué)問題，熟練掌握分式混合運算法則是求解本題的基礎(chǔ).

（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)分式的定義判斷；

（2）仿照和諧小組成員的方法，設(shè)盧J的關(guān)聯(lián)分式是N,則盧=求出N即可;

（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果找出規(guī)律，再利用規(guī)律求解..

2_____2__2(/+1)-2(/一1)_4

【詳解】（1）解:

a2-\~a2+\~(a2-l)(a2+l)―(a2-\)(a2+\)'

224

a2-\a2+l-(a2-l)(a2+l)

22

???百足門的“關(guān)聯(lián)分式

故答案為：是;

(2)解：設(shè)盧I的關(guān)聯(lián)分式是M則:

2〃+3。

a-ba-h

-------N=-------N,

2a+3b2a+3b

(2〃+36)2a+3b

3a+2b..a-b

------N=------

2a+3b2a+3b

a-b

N=

3a+2b

⑶解：由⑴⑵知:鄉(xiāng)勺關(guān)聯(lián)分式為：Hf）=W

y

故答案為:

x+y

【例5-2］（24-25八年級下?江蘇揚州?期中）給出定義：若一個分式約分后分子是一個常數(shù)，分母是一個一

次整式,則稱這個分式為“好看分式，,，例如，72x二+4二2目（x+言2）=口2,則一?v+是4“好看分式，，.根據(jù)

上述定義，解決問題.

（1）分式r與4-41、r字4-1］其中是“好看分式”的是

廠一1X+1

（2）①若分式#2-（小為常數(shù)且〃?H0）是一個“好看分式”，求用的值；

2x~+4x

②若分式2*7C（加為常數(shù)且〃?工0）是一個“好看分式”，求加的值；

x4-mx+2

（3）若分式（，〃、〃為常數(shù)且〃?〃工0）是一個“好看分式”，且加、〃都是正整數(shù)，直接寫出冽的所

X-+4x+n

有可能結(jié)果.

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【答案】（1）罟X+1

X-1

⑵①m=2；②m=-3

(3)1,2,3

【分析】本題主要考查了分式的約分，解題時要能根據(jù)所給新定義問題結(jié)合所學(xué)分式的知識進行化簡是關(guān)

鍵.

(1)依據(jù)題意，由與二=/分式科分母V+1無法在實數(shù)范圍內(nèi)分解，分子分母無

x--\(x-l)(x+l)x-\k+1

公因式，無法約分為常數(shù)分子，進而可以判斷得解：

(2)①依據(jù)題意，工二分母分解:2X2+4X=2X(X+2),結(jié)合題意分子X+加需與分母中的2X或X+2

2x~+4x

有公因式，從而x+m=x+2,則〃?=2,進而可以判斷得解：

②依據(jù)題意，2*7、分母分解:需分解為(x-D(x+A)，使常數(shù)項為-攵=2,即攵=-2,從而分母為

x+nix+2

(x-l)(x-2),對應(yīng)m=-3,即可判斷得解;

(3)依據(jù)題意，由分式f三:“一分母分解:設(shè)/+4工+〃=(工+。)(1+/)),則。+6=4,。力=〃，故(％+〃?)

x+4x+n

需等于(x+幻，即，〃=。，從而此時分式化簡為正整數(shù)解：①。=1/=3,則〃=3,〃?=1；

x+b

②a=2,b=2,則〃=4,〃?=2；③〃=3,6=1,則〃=3,〃?=3,進而可以判斷得解.

【詳解】⑴解：???罟(x+D\1

.??丹，符合“好看分式”定義.

x~-1

又?.?分式丹?分母d+l無法在實數(shù)范圍內(nèi)分解，分子分母無公因式，無法約分為常數(shù)分子,

???分式器不符合“好看分式”定義.

X+1

故答案為："X4+二1.

X-1

⑵解：①由題意.若%分母分解：2.—?+2).

又?.?分式為“好看分式”,

.?.分子X+/〃需與分母中的2X或x+2有公因式.

-：x+ni=x+2,則=2,

???此時分式化簡為《，符合定義.

m=2.

12/25

②由題意，———^分母分解：需分解為(x-l)(x+〃)，使常數(shù)項為-A=2,即％=-2,

廠+mx+2

二分母為(x-l)(x-2),對應(yīng)加=一3.

(3)解：由題意，?.?分式分母分解:

X"+4x-n

設(shè)/+4x+〃=(x+a)(x+6),

則a+b=4,ab=n.

.?.(K+加)需等于(x+a),即/M=a.

此時分式化簡為一二，

x+b

正整數(shù)解：

①0=1,6=3,則〃=3,〃?=1；

(2)a=2,h=2,則〃=4,〃？=2；

③a=3/=1,則n=3,〃?=3.

二〃，的可能值為1,2,3.

易錯訓(xùn)練

一、單選題

1.(25-26七年級上?上海?期中)已知分式?jīng)_；的值是非負數(shù)，那么x的取值范圍是()

3k+1

A.x>-4Hx^0B.x>-4C.xwOD.x2-4且xw()

【答案】B

【分析】本題考查分式值的正負性，解?元?次不等式等知識點，若對于分式￡>0(8工0)時，說明分子、

b

分母同號：分式;<0(力/0)時,分子、分母異號.

O

根據(jù)分式的值是非負數(shù)，分母恒為正數(shù)，因此只需分子是非負數(shù)即可.

【詳解】解：???3x2+lil>0,左Y4三-4的值是非負數(shù)，

.?.x+420,即x2-4.

??.X的取值范圍是x2-4.

故選：B.

13/25

2.（24-25八年級下?河南開封?期末）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（）

r4-1

A.當(dāng)x=2時，=的值為（）

x-2

B.當(dāng)xw3時，上口有意義

X

C.無論X為何值，2的值不可能為整數(shù)

x-2

3

D.無論x為何值，一^―的值總為正數(shù)

x2+2x+2

【答案】D

【分析】本題考查了分式有意義的條件、分式的值為零、分式值為整數(shù)的情況以及分式的符號判斷.分式

有意義的條件是分母不等于0,分式值是0的條件是分子是0,分母不是0.

【詳解】A.當(dāng)x=2時，分母六2=0,分式無意義，故A錯誤；

B.分式之口有意義需分母、工0,與工工3無關(guān)，故B錯誤；

X

C.只有當(dāng)x=5時，3=1，此時值為整數(shù)，故C錯誤；

x-2

D.分母，+2x+2=（x+iy+121>0,分子為3,分式的值總為正數(shù)，故D正確；

故答案選：D.

2-a5

3.（25-26八年級上?河北石家莊?期中）若關(guān)于x的方程上-—==1有增根.則增根為（）

x-33-x

A.x=3B.x=2C.x=1D.x=5

【答案】A

【分析】本題主要考查了求分式方程的增根，分式方程的增根是使分式方程分母為零的未知數(shù)的值，據(jù)此

求解即可.

2-?5

【詳解】解：?.?關(guān)于x的方程-—=1有增根，

x-33-x

.,?x-3=0,

A—3,

故選：A.

4.（25-26九年級上?浙江杭州?階段練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程y=2+2一的解是正數(shù)，則。的取值范

x-1X-1

圍為（）

A.a<2B.且。工1

C.。<2且D.a<2

14/25

【答案】C

【分析?】本題主要考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，先把原方程化為整式方程，解方程得到

x=2-a,根據(jù)方程的解為正數(shù)且分母不為。列式求解即可.

【詳解】解：寧=2+二

去分母得X+〃=2（X-1）+2Q,

去括號得x+a=2x-2+2a,

移項，合并同類項得T=-2+*

系數(shù)化為1得%=2-

???原方程的解是正數(shù)，且分母不為0,即X-1H0,

2-tz>0,11.2-。-1Ho

”2且。工1,

故選：C.

5.（24-25八年級下?福建泉州?期末）我們定義：若兩個分式〃與N的和為常數(shù)。，且〃>0,則稱M是N

的“和約分式”，。稱為M關(guān)于N的“和約分式值”.如分2式rA^=^2-,M+N=^-+^2-=2,

x+lx+1x+1x+i

則必是N的“和約分式”，4=2.已知分式尸=二，。=史士4,且尸是為。的“和約分式”，則?關(guān)于。

x+2x+2

的“和約分式值”是（）

A.6B.5C.3D.1

【答案】A

【分析】本題考查了分式的新定義，分式的加法運算，根據(jù)分式的加法運算法則求出尸+。的值即可求解,

理解新定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???尸=上？，。=生辿，

x+2丫x+2

...P+Q=43（X+4）=3-+3（X+4）=^1^=6（X+2）=6）（）.

x+2x+2x+2x+2x+2

.??P關(guān)于。的“和約分式值”是6,

故選：A.

二、填空題

6.（25?26八年級.上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）若分式丁二的值為正數(shù)，則x的取值范圍是,

3X+1

15/25

【答案】

1

X>——

3

【分析】本題考查分式的值，分式的值為正數(shù)，由于分子恒為正，因此分母必須為正，解不等式即可.

【詳解】分式—的分子為1,是正數(shù)，因此分式值為正數(shù)時，分母3x+l必須大于0,即

3x+1

3X4-1>().

解得：x>-,.

故答案為：X>-1.

7.(25-26八年級上?湖南岳陽?階段練習(xí))若關(guān)于x的方程當(dāng)-1=-J的解為負數(shù)，則上的取值范圍

x+\x-1

是.

【答案】%且人工1

【分析】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方

程的解為負數(shù)，確定出的范圍即可，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:二一1二27，

x+1x-1

(x+Z:)(x-l)-(x+l)(x-1)=A^(x+1),

整理得：x2+kx-x-k-x2+\=loi+k,

解得：x=-2k+\,

?.?分式方程的解為負數(shù)，

.?.-2%+1<0且-2%+lw±l,

解得：喝且〃工1,

故答案為：且人=1.

8.(25-26八年級上?全國?課后作業(yè))填空：

(1)當(dāng)x_____時，分式」工的值為正；

-x+5

(2)當(dāng)x為_____時，分式工的值為負；

x2+\

2

(3)當(dāng)x為_____時，分式=二的值為正整數(shù).

x-1

【答案】<5任意實數(shù)3或2

16/25

【分析】本題考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）由分式的值為正，得到r+5>0,解不等式即可：

（2）根據(jù)平方的非負性以及分式的性質(zhì)，即可求解；

（3）由分式的值為正整數(shù)，得到x-l=l或工-1=2,即可求解.

【詳解】解：（1）???分式」的值為正，

-x+5

-X+5>Q,

:.x<5,

故答案為：<5

（2）vx2>0,

/.A：2+1>0，

???X的取值為任意實數(shù)，

故答案為：任意實數(shù)；

（3）???分式工的值為正整數(shù)，

x-1

二.x-1=1或=2,

二.x=3或2,

故答案為：3或2.

6x+3k

9.（24-25八年級上?甘肅平?jīng)?期末）若關(guān)于x的分式方程=無解，則上的值為.

【答案】-5或-3

【分析】本題主要考查了分式方程的無解問題，先把原方程去分母化為整式方程得到俏+5）x=k+3,分式

方程無解有兩種情況，當(dāng)八5=0和當(dāng)4+5W0時，分式方程有增根，據(jù)此分情況討論求解即可.

6x+3k

【詳解】解：-7=-7―^―

x-1x（x-l）X

去分母得：6x=x+3-k（x-\）,

去括號得：6x=x+3-Ax+4,

移項，合并同類項得：（"5）x=k+3,

17/25

6x+3k

關(guān)于、的分式方程二rg一嚏無解,

.?.'"+5=0,即￡=-5時，原方程無解;

當(dāng)上+5=0,即％+-5時,

原方程有增，即m=°或壬=1

解得：k=-3

綜上所述，4=-5或太=-3,

故答案為：-5或-3.

x-a<0

10.（24-25八年級下陜西咸陽期末）若關(guān)于”的不等式組人+5“乂+1有解，且關(guān)于3的分式方程

I32

」1+2=4的解為正數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)。的值的和為.

x-22-x

【答案】-2

【分析】本題考查了一元一次不等式組的求解以及分式方程的求解與應(yīng)用.

分別求出不等式組有解時。的取值范圍和分式方程的解為正數(shù)時。的取值范圍，再取交集確定滿足條件的。

的整數(shù)值.

【詳解】解：解不等式x-a＜0,解得XV。，

解不等式號-2??,解得x2-5,

因為不等式組有解，所以。＞-5（根據(jù)“大小小大中間找“，且xN-5有解，則。要大于-5）,

解得x=手.

因為分式方程的解為正數(shù)，所以芋＞0,解得。＜4.

又因為分母不能為0,即X-2±0，F(xiàn)-2/0,解得"-2.

結(jié)合不等式組得至IJ的?！?5和分式方程得至IJ的。＜4且aw-2,滿足條件的整數(shù)。為一4,-3,-1,0,1,2,3,

將這些整數(shù)相加：（-4）+（—3）+（-1）+0+1+2+3=—2,

綜上，滿足條件的所有整數(shù)。的侑的和為-2.

18/25

故答案為：-2.

11.（2025八年級下?全國?專題練習(xí)）定義：若一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形

式，則稱這個分式為“和諧分式”.例如：^x+-1=-r-1-4-=2^v—-1+2—-=1+—2,則x—+1是“和諧分式若

x-1x-lx-1x-lx-lX-1

分式口+￡）+吁的值為整數(shù)'則整數(shù)X的值為.

【答案】-2

【分析】本題考查了分式的運算，涉及到分式有意義的條件的應(yīng)用，熟練掌握分式的運算法見是解題的關(guān)

鍵.先根據(jù)新定義，對原分式進行化簡整理得到2-一二為整數(shù)，則可得到x+l=±l,解得x=0或x=-2,

結(jié)合分式分式有意義條件，可得到x=-2.

【詳解】解：（2+：卜嚀

2x+lX

=-------■------

XX+1

2x+l

~X+1

2（x+l）-l

--rn

=2--—,

X+1

（1、X+1

...分式2+--的值為整數(shù)，

IAJx

???2—-二的值為整數(shù)，

x+1

??.一1的值為整數(shù)，

X+1

X4-1=±1,

.??x=0或1=-2,

???蘭x=0時，分式無意義，

x=-2.

故答案為：-2.

三、解答題

3v-6

12.（25-26八年級上?全國?課后作業(yè)）（1）當(dāng)x取什么值時，分式一7的值為0：

2x+l

（2）當(dāng)x取什么值時，分式注的值為正；

19/25

（3）當(dāng)x取什么值時，分式「-的值為負.

x

【答案】（1）x=2；（2）x>-1；（3）x<2

【分析】本題考查了分式的值為0、分式的值為正數(shù)或負數(shù)的條件，熟練掌握分式的值為0、分式的值為正

數(shù)或負數(shù)的條件是解決本題的關(guān)鍵，注意討論分式的值的前提是要使分式有意義.

（1）根據(jù)分式值為0的條件解答即可：

（2）分式的值為正即分子分母同號，由XWO,得/>o,從而得出2x+l>0,解答即可；

（3）分式的值為負即分子分母異號，由XW0,得一>0,從而得出x-2<0,解答即嘰

【詳解】解：（1）由3》-6=0,得x=2,

當(dāng)x=2時，2%+1/0；

當(dāng)x=2時，分式J的值為0；

2x+l

（2）由分式空7Y4-1I的值為正，得2x十1與/同號，

x

???工工0,

r>0>

2x+1>0,

解得：x>--

（3）由分式二的值為負，得x-2與f異號，

x

,?XHO,

x:>0,

x-2<0,

解得：x<2,

13.（22-23八年級上?全國?月考）已知分式方程一三=2+'\.

x-4x-4

（1）當(dāng)〃取何值時，方程的解為正數(shù)？

（2）當(dāng)〃取何值時，方程無解？

【答案】且。工1

⑵±1

【分析】本題考查分式方程：將分式方程去分母整理為（。+1）X=8,然后：

（1）方程的解為正數(shù)，則解為正數(shù)且不為增根4,據(jù)此列出不等式組求解即可：

20/25

(2)分。+1為0和不為0兩種情況討論即可.

【詳解】(1)去分母得：X=2(1-4)+辦

整理得：(a+l)x=8.

???方程的根為正數(shù)，

>0K—*4,

4+14+1

解得：a>-\且4；

(2)分式方程化為：(t?+l)x=8,

???方程無解，

???方程有增根或等式不成立，

①當(dāng)方程有增根時，即x-4=0,x=4,

O

即一7二4,

<7+1

??(J=\9

②當(dāng)a+l=O時，等式(。+1)》=8不能成立,

a=-1,

綜上所述，〃的值為士1.

14.(2023九年級上?湖南邵陽?競賽)若關(guān)于x的不等式組~>的解集為x>3,且關(guān)于y的分式

x-3<3(x-3)

niI-v

方程5——^二不且有非負數(shù)解，求實數(shù)〃，的取值范圍.

y-22-y

【答案】-9<w<3fiw^-l

【分析】本題考查了根據(jù)分式方程解的情況求值，由不等式組解集的情況求參數(shù)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容

x>m

{x〉3,因為不等式組的解集為故加43.結(jié)合關(guān)于y的分式方

m1-vni+9/>；+Q

程5——=L有非負數(shù)解，即J20且y，2,故一^20,且丁一，2,再解得實數(shù)小的取值范圍，

y-22-y44

即可作答.

xn

【詳解】解：力~>

x-3<3(x-3)

21/25

x>m

，解得：「

x>3

???不等式組的解集為x>3,

A/?J<3；

...5一上=旦

y-22-y

二去分母得：5（y-2）-m=y-\,

解得：丁二誓，

???由分式方程有非負數(shù)解，

.?20且尸2,

即如2（）,且SR

44

解得：m>-9,且用工-1,

綜上所述：滿足條件的m的取值范圍是-9<m<3且〃?*-1.

15.（25-26八年級上?河北衡水?階段練習(xí)）定義.若一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和

的形式，則稱這個分式為“和諧分式例如，==士?=口+義=1+義，則二是，，和諧分式，，.

x-1x-\x-ix-1x-\x-\

（1）下列分式：0—；②筌；③年；④H,其中，屬于“和諧分式”的是二（填序號）

x2x+\y

（2）將“和諧分式”心去生化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式：

a-\

（3）先化簡史華一七1+￡±,結(jié)果是“和諧分式”嗎？并求當(dāng)T取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù).

x+1xx*+2x

【答案】⑴①③④

（2\-----2--。-+--3=a-\.+,―2-

a-\吁1

（3）是，當(dāng)x=-3時，該式的值為整數(shù)

【分析】本題考查的是分式的化簡求值，熟練掌握“和諧分式”的定義是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)“和諧分式”的定義解答即可；

（2）根據(jù)“和諧分式”的定義把分式化簡即可；

（3）根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再根據(jù)分式為整數(shù)求出x的值即可.

【詳解】（1）解：?—=-+1=1+1,故是“和諧分式”；

XXXX

O-1.y

②手不是分式，故不是“和諧分式”：

22/25

X+2X+1+11.,yre八■

③--=——-=1+一7，故是“和諧分式”;

X+\X+lX+I

④寸=4+4=1+；，故是“和諧分式”；