人教版數(shù)學(xué)9年級下冊培優(yōu)備課課件27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例第二十七章

相似授課教師：.

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間：2026年01月.

學(xué)習(xí)目標(biāo)能運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行簡單的幾何推理.進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模思想，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學(xué)模型，能利用相似三角形的知識設(shè)計(jì)方案解決一些簡單的實(shí)際問題，如高度和寬度的測量問題.1.

在前面，我們學(xué)過哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性質(zhì)是什么？2.

觀察下列圖片，你會利用相似三角形知識解決一些不能直接測量的物體（如塔高、河寬等）的長度或高度的問題嗎？導(dǎo)入新知導(dǎo)入新知用我們學(xué)過的知識怎樣測量前面那些物體的高度呢？利用相似三角形測量高度

傳說，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測量金字塔的高度.例1如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO.怎樣測出OA的長？解：∵太陽光是平行的光線，∴∠BAO=∠EDF.又∵∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴．∴=134(m).因此金字塔的高度為134m.表達(dá)式：物1高：物2高=影1長：影2長測高方法一：

測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，可以用“在同一時(shí)刻物高與影長成正比例”的原理解決.歸納：返回C1.小菲和媽媽去某景區(qū)游玩．在景區(qū)門口，小菲利用皮尺，測得身高1.7m的媽媽的影長為1m，同一時(shí)刻，她測得該景區(qū)大門的影長為10m，則大門的高為(

)A．15mB．16mC．17mD．18m返回2.B[教材P43習(xí)題T10變式]如圖，為測量亭子的高度，小菲在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退(保持腳、平面鏡和亭子底端在同一直線上)，直到她剛好在鏡子中看到亭子的頂端．已知小菲的眼睛離地面的高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與亭子的水平距離為10m，則亭子的高度為(

)A．6.4m B．8m C．9.6m

D．12.5mAFEBO┐┐還有其他的測量方法嗎？OBEF=OAAF△ABO∽△AEFOB=OA·EFAF平面鏡想一想：測高方法二：

測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以利用“鏡子的反射原理”去解決.

如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P

處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻的頂端C

處，已知AB=2米，且測得

BP=3米，DP=12米，那么該古城墻的高度是()B試一試：A.6米

B.8米C.18米

D.24米例2

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P，Q，S共線且直線PS與河垂直，接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過點(diǎn)Q且垂直于PS的直線b的交點(diǎn)

R.已知測得

QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算河寬PQ.利用相似三角形測量寬度PRQSbTa45m90m60m

解得PQ=90.因此，河寬大約為90m.解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.∴，即

，還有其他構(gòu)造相似三角形求河寬的方法嗎？PRQSbTa45m90m60m例

3如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和

C，使AB⊥BC，然后，再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D．

此時(shí)如果測得BD=80m，DC=30m，EC=24m，求兩岸間的大致距離AB．EADCB30m24m80m解：∵∠ADB=∠EDC，

∠ABC=∠ECD=90°，

∴△ABD∽△ECD.

∴，即，解得AB=64.因此，兩岸間的大致距離為64m.EADCB30m24m80m

測量河寬等不易直接測量的距離，常構(gòu)造相似三角形求解.歸納：返回3.D《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測得AB＝2m，AC＝3.2m，AE＝0.8m，那么CD為(

)A．3m B．4mC．5m D．6m4.(4分)[2025保定期中]如圖，小南利用自制的三角形紙板DEF測量大樹AB的高度，她通過不斷調(diào)整自己的姿勢和三角形紙板的擺放位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知三角形紙板的兩邊長分別為EF＝0.2m，DE＝0.3m，小南的眼睛到地面的距離DM為1.6m，測得AM＝21m，求樹高AB.返回例4

如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹底部的距離BD=5m，一個(gè)人估計(jì)自己眼睛距離地面1.6m，她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就看不到右邊較高的樹的頂端

C了?利用相似解決有遮擋物問題分析：如圖，設(shè)觀察者眼睛的位置(視點(diǎn))為點(diǎn)F，畫出觀察者的水平視線FG，它交AB，CD于點(diǎn)H，K.視線FA，F(xiàn)G的夾角∠AFH是觀察點(diǎn)A的仰角.類似地，∠CFK是觀察點(diǎn)C時(shí)的仰角，由于樹的遮擋，區(qū)域

Ⅰ

和

Ⅱ

都在觀察者看不到的區(qū)域(盲區(qū))之內(nèi).再往前走就看不到

C點(diǎn)了.故當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于8m時(shí)，就看不到右邊較高的樹的頂端C.

解：如圖，假設(shè)觀察者向右走到點(diǎn)E時(shí)，她的眼睛的

即解得EH=8.位置點(diǎn)E

與兩樹的頂端點(diǎn)A，C恰在一條直線上.∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴，∴△AEH∽△CEK.1.有一塊三角形的草地，它的一條邊長為

25

m.在圖紙上，這條邊的長為

5

cm，其他兩條邊的長都為

4

cm，求其他兩邊的實(shí)際長度．解：設(shè)其他兩邊的實(shí)際長度分別為

x

m、y

m，由題意得

，解得x=y=20．答：該草坪其他兩邊的實(shí)際長度都是20

m．4cm4cm5cm2．根據(jù)下列條件，判斷△ABC

與△A′B′C′

是否相似，并說明理由：（1）AB

=

10

cm，BC

=

12

cm，AC

=

15

cm，A′B′

=

150

cm，B′C′

=

180

cm，A′C′

=

225

cm．解：△ABC∽△A′B′C′，理由如下：∴△ABC∽△A′B′C′.（2）∠A

=

70°，∠B

=

48°，∠A′

=

70°，∠C′

=

62°.解：△ABC∽△A′B′C′，理由如下：∵∠A

=

70°，∠B

=

48°，∴∠C

=

180°

-∠A

-∠B

=

62°.∵∠A′

=

70°，∠C′

=

62°，∴∠A

=∠A′，∠C

=∠C′.∴△ABC∽△A′B′C′．3．如圖，（1）判斷兩個(gè)三角形是否相似；解：由圖(1)可知：∴△ABC∽△DEF.(1)3．如圖，（1）判斷兩個(gè)三角形是否相似；(2)解：∴△ABC∽△EDC.（2）求

x

和

y

的值．解：∵△ABC∽△EDC，∴∠B

=

∠D

=

98°，∴

y

=

98，x

=

40.5．(2)4．如圖，△ABC

中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．證明：∵

DE∥BC，∴∠AED

=∠C．又∵

EF∥AB，∴∠A

=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．5．如圖，△ABC

中，DE∥FG∥BC，找出圖中所有的相似三角形．解：△ADE∽△AFG，△ADE∽△ABC，△AFG∽△ABC.6．如果把兩條直角邊分別為

30

cm，40

cm

的直角三角形按相似比

進(jìn)行縮小，得到的直角三角形的兩條直角邊的長和面積各是多少？解：設(shè)縮小后的直角三角形的兩條直角邊分別為a、b（a＜b），根據(jù)題意得

，解得

a

=

18，b

=

24.所以面積為7．如圖，AD

是

Rt△ABC

斜邊上的高，若

AB

=

4

cm，BC

=

10

cm，求

BD

的長．解：∵

AD

是

Rt△ABC

斜邊上的高，∴∠ADB

=∠CAB，∠BAD

+∠CAD

=90°，∠CAD

+∠C

=90°.∴∠BAD

=∠C.∴△ABD∽△CBA.

∴BD=1.6cm.8．如圖，比例規(guī)是一種畫圖工具，它由長度相等的兩腳

AD

和

BC

交叉構(gòu)成，利用它可以把線段按一定的比例伸長或縮短，如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度

3

的地方（即同時(shí)使

OA

=

3OD，OB

=

3OC），然后張開兩腳，使

A、B

兩個(gè)尖端分別在線段

l

的兩個(gè)端點(diǎn)上，這時(shí)

CD

與

AB

有什么關(guān)系？為什么？解：∵OA

=

3OD，OB

=

3OC，∴

OA:OD

=

OB:OC

=

3:1.∵∠AOB

=∠DOC，△AOB∽△DOC．∴

AB

=

3CD．9．如圖，利用標(biāo)桿

BE

測量建筑物的高度，如果標(biāo)桿

BE

高

1.2

m，測得

AB

=

1.6

m，BC

=

12.4

m，樓高

CD

是多少？解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC.∴△ABE∽△ACD.∵BE=1.2，AB=1.6，BC=12.4，∴AC

=

14.∴CD=10.5，即樓高

CD

是

10.5

m．10．如圖，為了測量一棟樓的高度，王青同學(xué)在她腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到她剛好在鏡子中看到樓的頂部．這時(shí)∠LMK

等于∠SMT

嗎？如果王青身高

1.55

m，她估計(jì)自己眼睛距地面

1.50

m，同時(shí)量得

LM

=

30

cm，MS

=

2

m，這棟樓有多高？K解：根據(jù)題意，∠KLM

=∠TSM

=

90°，∠KML

=∠TMS，∴△KLM∽△TSM.所以這棟大樓高為10m．K11．如圖，四邊形

ABCD

是矩形，點(diǎn)

F

在對角線

AC

上運(yùn)動，EF∥BC，F(xiàn)G∥CD，四邊形

AEFG

和矩形

ABCD

一直保持相似嗎？證明你的結(jié)論．解：相似．理由：∵EF∥BC，F(xiàn)G∥CD，∴△AEF∽△ABC，△AFG∽△ACD.∵四邊形

ABCD

是矩形，∴∠BAD

=∠B

=∠BCD

=∠D

=∠AEF

=∠EFG

=∠AGF

=

90°．∴四邊形

AEFG∽矩形

ABCD．12.如圖，平行于

BC

的直線

DE

把△ABC

分成面積相等的兩部分，試確定點(diǎn)

D（或

E）的位置.解：∵

DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵

平行于

BC

的直線

DE

把△ABC

分成面積相等的兩部分，13．如圖，△ABC

中，CD

是邊

AB

上的高，且

，求∠ACB

的大?。猓骸?/p>

CD

是邊

AB

上的高，∴∠ADC

=∠CDB

=

90°.

∴△ADC∽△CDB.∴∠A

=∠DCB.∵∠A

+∠ACD

=

90°，∴∠DCB

+∠ACD

=

90°，即∠ACB

=

90°．14．如圖，△ABC

中，AB

=

8，AC

=

6，BC

=

9.如果動點(diǎn)

D

以每秒

2

個(gè)單位長度的速度，從點(diǎn)

B

出發(fā)沿邊

BA

向點(diǎn)

A

運(yùn)動，此時(shí)直線

DE∥BC，交

AC

于點(diǎn)

E．記

x

秒時(shí)

DE

的長度為

y，寫出

y

關(guān)于

x

的函數(shù)解析式，并畫出它的圖象．解：由題意可知

BD

=

2x，則

AD

=

AB

-

BD

=

8

-

2x，∵

DE∥BC，其圖象如圖所示.返回5.C[教材P40例5變式]如圖，嘉嘉要測量池塘兩岸A，B兩點(diǎn)間的距離，先在AB的延長線上選定點(diǎn)C，測得BC＝5m，再選一點(diǎn)D，連接AD，CD，作BE∥AD，交CD于點(diǎn)E，測得CD＝8m，DE＝4m，則AB＝(

)A．3m

B．4mC．5m D．6m返回6.20[2024揚(yáng)州中考]物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實(shí)現(xiàn)圖像投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭(豎直放置)AB經(jīng)小孔O在屏幕(豎直放置)上的成像為A′B′.若AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距離為30cm，則小孔O到A′B′的距離為________cm.返回7.0.5[教材P57復(fù)習(xí)題T7變式]如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗(兩條尺長AC和BD相等)可測量零件的內(nèi)孔直徑AB.若OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝3cm，則零件的厚度x為______cm.返回8.D一種燕尾夾如圖①所示，圖②是其在閉合狀態(tài)時(shí)的示意圖，圖③是其在打開狀態(tài)時(shí)的示意圖(此時(shí)AB∥CD)，相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：mm)如圖所示，從圖②閉合狀態(tài)到圖③打開狀態(tài)，點(diǎn)B，D之間的距離減少了(

)A．10mmB．20mmC．22mmD．25mm返回9.[2025邢臺期中]如圖①是裝了液體的長方體容器的主視