蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)3.1勾股定理的探究培優(yōu)練習(xí)（一）

一、折疊問題

1.如圖，RtAABC,ZA=90°,將△ABC沿DE翻折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)B重合。若AB=6,AC=8,則

折痕DE的長(zhǎng)為（）

2.如圖，在中，乙48。=90。，AB=4,BC=3.將△ABC折疊，使點(diǎn)C與邊的中點(diǎn)。重

合，折痕為EF,則線段BF的長(zhǎng)為（）

3.如圖，三角形紙片中，AB=AC,BC=24,ZC=30°,折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)B落在AC

的中點(diǎn)D處，折痕為EF,那么BF的長(zhǎng)為.

4.如圖，正方形48co的邊長(zhǎng)為8,將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在8C邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH,

若點(diǎn)E恰好是8c的中點(diǎn)，則線段CH的長(zhǎng)為.

5.長(zhǎng)方形4BCD中,58=4,BC=3,P為AD上一點(diǎn),將△4DP沿BP翻折至△EBP,BE與CD相交

于點(diǎn)G,PE與CD相交于點(diǎn)0,且0E=0D.

①求證：。尸二方②求人尸的長(zhǎng)

6.如圖1,在RtA/lBC中，乙4c8=90。，BC=4,點(diǎn)D在48邊上運(yùn)動(dòng)，△CDB沿著CD折疊得到4

CDB',直線CB'與直線48相交于E點(diǎn).

圖1圖2備用圖

(1)如圖2,若4c=3,CB'148,求CE的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)△AB'C為等腰直角三角形時(shí)，求AC的值；

(3)若AC=3,△ED8'為鈍角三角形，直接寫出80長(zhǎng)度的取值范圍.

7.已知在直角三角形4B。中，0A-8,。8一6，D為斜邊48中點(diǎn)，C為邊。力上一點(diǎn).

(1)0D=

(2)如圖1,連結(jié)BC交。。于點(diǎn)E.當(dāng)NCBO=乙44。時(shí)；

①求證：001BC；

②求△BE。的面積.

(3)如圖2,連結(jié)CO,將△4C0沿著CD折疊得到△ACD.當(dāng)d。與△480的一邊平行時(shí)，求4c

的長(zhǎng)度.

8.如圖，在△ABC中，^ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒lcm的

速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).

備用圖

(1)把△4BC沿著過點(diǎn)P的直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，請(qǐng)求出此時(shí)/的值.

(2)是否存在，值，使得AABP為等腰三角形？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)現(xiàn)把△A3C沿著直線BP翻折，當(dāng)/為何值時(shí)，點(diǎn)C翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,恰好落在直線4B上.

二、全等構(gòu)造法(一線三等角、旋轉(zhuǎn)手拉手)

9.(1)如圖1,AABC與ACDE中，z.B=/.E=LACD,AC=CD,B、C、E三點(diǎn)在同一直線上,

AB=8,ED=4，求BE的長(zhǎng).

圖1

(2)如圖2,在△4BC中，LABC=60°,BC=6,以4c為邊在△4BC外部作等邊△4CD,連接

BD,求ASCO的面積.

圖2

(3)如圖3,四邊形48co中，Z,ABC=/.CAB=^ADC=45°,若△AC。面積為21日.CD的長(zhǎng)為

8,求△480的面積.

10.如圖1,P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)力P,BP.將線段8P繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段8PI連

結(jié)CP'.

圖1圖2備用圖

(1)求證：△APB三△CP'B.

(2)如圖2,連結(jié)CP,PPL

①當(dāng)乙4尸8=130。，旦△CP'P為等腰三角形時(shí)，求出/CP8的度數(shù).

②當(dāng)P8=2,A8=6,且P8||CP，時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到點(diǎn)P'的距離.

11.如圖，△力8c中，Z-B=90°,BC=8,BC上一點(diǎn)D,使BD:CO=3:5.

(1)若4。平分N8/C,求點(diǎn)。到4c的距離；

(2)若點(diǎn)0恰好在AC的垂直平分線上，求△A80的周長(zhǎng).

三、手拉手構(gòu)造

12.已知P為等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=1,PB=2,=150°,貝ljPC=

B

13.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AQ,連

接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,則四邊形APBQ的面積為

14.如圖，在△A8C中，/48。=90。,4（7=13,84=5,點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度沿折線C一4一B運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為￡（￡>0）.

C

⑴BC=.

（2）求斜邊4c上的高線長(zhǎng).

（3）①當(dāng)P在4B上時(shí)，4尸的長(zhǎng)為，I的取值范圍是.（用含t的

代數(shù)式表示）

②若點(diǎn)P在的先平分線上，則t的值為.

（4）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出△PAB是以48為一腰的等腰三角形時(shí)【的值.

15.如圖，已知△48C中，Zfi=90°,AB=8cm,BC=6cm,P、Q是△4BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其

中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A-B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B-C-A方向運(yùn)

動(dòng)，且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.

（1）出發(fā)2秒后，求PQ的值；

（2）從出發(fā)幾秒鐘后，APQB第一次能形成等腰三角形？

（3）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到CA匕時(shí)，求能使△8CQ是等腰三角形時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求出I的信.

16.如圖，在△ABC中，^ACB=90°,AB=5,BC=3,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC以每秒2個(gè)

單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(￡>0).

備用圖

(1)當(dāng)點(diǎn)P在4c的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CP的長(zhǎng)為—;(用含t的代數(shù)式表示)

(2)若點(diǎn)P在41BC的角平分線上，求t的值；

(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，直接寫出AABP是等腰三角形時(shí)t的值.

五、新定義三角形

17.如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么我們稱這個(gè)三角形為“夢(mèng)想三角形

(1)如圖，在△4BC中，AB=AC=V5,8C=2.求證：△4BC是“夢(mèng)想三角形

(2)在中,Z.C=90°,AC=6.若△CBC是“夢(mèng)想三角形”,求BC的長(zhǎng).

18.定義：如果經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的線段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形，其中一個(gè)三角形是等

腰三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形的三個(gè)內(nèi)角分別相等.那么這條線段稱為原三角形的“和諧分

割線”，例如：如圖1,等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”.

圖1圖2圖3

(1)判斷命題真假：等邊三角形存在“和諧分割線”是命題；(填“真”或"假”)

(2)如圖2,在RtZiABC中，ZC=90°,Z.B=30°,AC=聒,試探索RsABC是否存在“和

諧分割線”？若存在，求出“和諧分割線”的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由;

(3)如圖3,在△4BC中，A=42°,若線段CO是△ABC的“和諧分割線”，且△BCO是等腰三

角形，求出所有符合條件的乙3的度數(shù).

19.根據(jù)以下素材，探索解決問題.

如何作出“倍角三角形”？

如果一個(gè)三角形的i個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的兩倍，則稱這樣的三角形為“倍角三角

素材

形”

問題解決

如圖1,△ABC中，AB=AC,々1=36。，請(qǐng)將△A8C分成兩個(gè)小三角形，使得其中

一個(gè)小三角形是“倍角三角形”，并標(biāo)注該“倍角三角形”三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

A

A

項(xiàng)目操作

圖1

項(xiàng)目探索若△ABC是倍角三角形，4=30°,AC=4五,求△ABC面積.

如圖2,△4BC的外角平分線4。與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在C4延長(zhǎng)線上，若

AE=AB,AB+AC=BD,請(qǐng)你找出圖中的倍角三角形，并進(jìn)行證明.

E

項(xiàng)目拓展

DBc

圖2

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】竽

4.【答案】3

5.【答案】證明：①:四邊形ABCD為矩形

/.ZA=ZD=90°,AB=CD=4,AD=BC=3

由翻折可得：ZA=ZE=ZD=90°

VOD=OE,NDOP二NEOG

.*.△PDO經(jīng)△GEO

ADP=EG

②???△PDO^AGEO

AOG=OP

VOD=OE

ADG=PE=PA

設(shè)AP=x,貝ijPD=EG=3-x,DG=AP=x

ABG=BE-EG=l+x,CG=DC-DG=4-x

在RtABCG中，BC2+CG2-BG2

即32+(4-X)2=(1+X)2

解得：x=2.4

???AP=2.4

6.【答案】(1)解：Vz/lCfi=90°,?.?8C=4,AC=3,

???.4B=>JAC2+BC2=5，

■:CB'1AB,

.ACBC_ABCE

,?-=

:,CE=2.4

(2)解：根據(jù)翻折可得8C=B'C,B0=8'D,當(dāng)△為等腰直角三角形時(shí),

如圖，當(dāng)點(diǎn)8,在4c的右側(cè)時(shí)，

則AC?=AB'2+CB,2=2CB,2^AC2+AB,2=CB'2>

?'-AC=y/2B'C=V2BC=4/或4c=苧夕C=qBC=2/2；

當(dāng)點(diǎn)B‘在力c的左側(cè)時(shí)，

則=AB,2+CB'2=2c8'2或+月夕2=CB，？,

--AC=噂B'C=噂8c=2&或4C=y[2B'C=V2BC=4&：

乙乙

綜上所述，AC=2a或4&

(3)解：如圖，當(dāng)乙夕08=90。時(shí)，過點(diǎn)C作貝*HCO乙HDC=45°,

0<^￡><0.8

：?HD=CH=2.4,

：?HB=>JBC2-CH2=V42-2.42=3.2，

：.BD=3.2-2.4=0.8,

???當(dāng)0<BD<0.8時(shí)，△夕DE為鈍角三角形.

如圖，當(dāng)時(shí)，△￡￡）夕是直角三角形,

B'

A

3b^x

C4B

(3.2rM+1.62=%

x=2

則CE=2.4，BE=>/BC2-CE2=<42-2.42=3.2，B,E=4-2,4=1.6,

設(shè)BO=x，則8‘0=x,ED=3.2-x，

=(3.2-x)2+IEz,

解得：x=2,即80=2；

"。二3.2

三角形不存在

如圖，當(dāng)BD=4時(shí)，BD=BC=B'C=B'D=4,

：.cBCD=乙B'DC=乙BCD=iB'CD,

||AB,不存在點(diǎn)E,交點(diǎn)E不存在，

AB〃B，C,BD=4

△BED不存在

在此之間，AB'DE為鈍角三角形,即2V8。V3.2或3.2V3。V4.

、、/

???A￡7)夕為鈍角三角形時(shí)，長(zhǎng)度的取值范圍為0<BD<0.8或2<BD<3.2或3.2<BD<4或4<

BD<5

7.【答案】(1)5

(2)①證明：???24。8=90°

???^ABO+乙BAO=90°

YD為斜邊AB中點(diǎn)，

：.OD=BD=AD,

:.乙DOB=(DBO；

'：LCBO=乙BAO,

：.LOEC=乙DOB+Z.CBO=(DBO+乙BAO=90°,

即001BC；

②解：由(1)知，OD=BD=5；

設(shè)0E=%,則DE=5-x；

由①知，OD1BC,

由勾股定理得：BE2=BD2-DE2=52-(5-x)2,BE2=OB2-OE2=62-%2,

A52-(5-X)2=62-X2?

解得：x=當(dāng)，

???BE=心一管］二等

?c__l1824_216

?S^BOE=w°E,DoCr=2X-5_vX-5-=_25~

(3)解：當(dāng)4力||。4時(shí),如圖，則240。=乙4c0,

由折疊知，^ADC=Z-A'DC,

：.LADC=4ACO,

：.AC=AD=5；

當(dāng)A,DIIOB時(shí)，連接0D,如圖,

貝I」乙0￡71=/-BOA=90°；

1

?：0D=AD=^AB=5,

乙

i

A.4E=OE=^OA=4,

乙

由勾股定理得：DE=一力員=3;

由折疊知,AD=AD=S^AC=ACf

-9-AE=AD-DE=2：

設(shè)AC=AC=%,^iCE=AE-AC=4-x,

在R￡44EC中，由勾股定理得：22+(4-x)2=x2,

解得：%=搟，

乙

即AC=I；

由于點(diǎn)D在力8上，A,D不可能與48平行;

綜上，4。的長(zhǎng)度為5

8.【答案】(1)解：根據(jù)勾股定埋，可得：AC=V/152-BCZ=V52-32=4?

由折疊性質(zhì)知：DP垂直平分AB,

AAP=BP=t,CP=4-t,

在直角三角形BCP中：BP2-CP:=BC2,

.?.(2-(4-t)2=32,

.一

??2十5

(2)解：存在，A/IBP為等腰三角形分三種情況：①當(dāng)AP=AB=5時(shí)，t=5；

②當(dāng)PA=PB時(shí)，由(1)知：I哼；

③當(dāng)AB=BP時(shí)：AP=2AC=8

/.t=8,

綜上所述，當(dāng)△48P為等腰三角形時(shí)，I的值為5或?qū)W或8；

(3)解：分成兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，如圖2,由折疊性質(zhì)知：PC=PC\

ZACP=ZACB=90°,BC'=BC=3,

VAP-t,

???PC=PC'=4-【，BC=BC=3,

.*.AC'=5-3=2,

在直角三角形APC中：AP2-PC，2=AC'2,

[2.(4.02=22,

解得：tg

圖2

②點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)：如圖3,由折疊性質(zhì)知：PC=PC',A'C=AC=4,A'B=AB=5,

VAP=t,

.\PC=PC,=t-4,A'C=A'B+BC=5+3=8,

在直角三角形A*CP中：A'P2-PC2=A,C2,

A(2-(t-4)2=82,

解得：t=10.

圖3

綜上，t的值為搟或10時(shí)，點(diǎn)C翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'恰好落在直線48上.

9.【答案】解：(1)=zF=AACD,Z-B+AACB+z/1=Z.ACB+Z-ACD+^DCE=180°,

：.LACB+Z-A=4ACB+乙DCE,

/.LA=乙DCE,

在AABC和4CED中

Z.A=Z.DCE

Z.B=乙E

AC=CD

：.△ABC三△CEOQL4S),

：.AB=CE=8,BC=ED=4,

:?BE=BC+CE=12；

(2)延長(zhǎng)BC,作乙OFC=60。，過點(diǎn)D作0HJLBC于H,圻圖所示：

圖2

???△4C0是等邊三角形，

：.LACD=60°=乙ABC=乙DFC,AC=CD,

C.LACB+乙BAC=^ACB+乙FCD=120°,

：.LBAC=乙FCD,

在AABC和^CFD中

Z.BAC=乙FCD

/-ABC=4DFC

AC=CD

：,^ABC三△CFD(44S),

：.BC=FD=6,

?:乙DHF=90°,Z.DFC=60°,

AHF=|DF=3，

??OH=VDF2-HF2=V62-32=375，

:?SABCD=?0"=*x6x3百=9g;

(3)分別過點(diǎn)A、B作4M_LCD,BN_LCO,垂足分別為M、N,如圖所示:

'：cABC=^CAB=/.ADC=45。，

???△ACBAAMD都為等腰直角三角形，

A.4C=CB,AM=OM,乙4c8=90。，

???△/CO面積為21且CO的長(zhǎng)為8,

.2x21212彳

??AM=-Q—=-7-=DM?

o，

2111

??CM=CD-DM=8-^=^

*：LACM+乙BCN=/-ACM+Z.CAM=90°,

:?乙BCN=4CAM,

在AACM和^CBN中

("AM=Z-BCN

LAMC=乙CNB

AC=BC

：.LACMCBN(AAS),

2111

?；4M=CN=q小=BN=?,

:?BC?=BN2+NC2=(基)2+(爭(zhēng)產(chǎn)=2|1,S^BCD=：CO?8N=：x8x芋=11,

-?S^=\BC-AC=\BC2281

CBTT

281,617

??S四邊形ABC。=S"CB+Sfco=_+21=^,

617

?“△ABD四邊形｛。-S4BCD=11441

=Ssc16TI=K

10.【答案】（1）由題意可得：PB=P'B/PBP'=60°,

548C是等邊三角形,

???AB=BC,Z-ABC=60。，

???乙ABC=乙PBP',

LABP=乙CBP\

在4力麗口4“山中，

(AB=BC

1/.ABP=乙CBP',

(PB=PB

.*.△APBWACP，B(SAS),

(2)①???PB=PR乙PBP，=60°,

??.△8PP'是等邊三角形，

:.LBPC=乙BP'P=60°,

由(1)知：△SAPZXBCP',

???LCP'B=乙APB=130°,

???LCP'P=130°-60°=70°,

???△CP'P為等腰三角形，

???PC=PP域PC=P，C或PP'=CP',

當(dāng)PC=PPM,乙PCP'=乙CP'P=70°,

LCPP'=1800-70°-70°=40°,

???“PB=40°+60°=100°；

當(dāng)PC=P'C時(shí)，Z-CPP'=Z.CP'P=70°,

???“PB=600+70°=130°；

當(dāng)PP'=CP'時(shí)，乙CPP'=Z.PCP'=I'與"70°=55。

???LCPB=55°+60°=115°；

綜上，當(dāng)△CP'P為等腰三角形時(shí)，乙CP8的度數(shù)為100。或130。或115。；

②后+1

1L【答案】(1)3

(2)12

12.【答案】V5

13.【答案】24+9V3

14.【答案】(1)12；

(2)解：如圖1,過點(diǎn)B作BDLAC于?點(diǎn)D,

圖1

?"△ABC=3AB-BC=3AC-BD，

ABBC5x1260

,?"°=^^=寸=京

二斜邊4c上的高線長(zhǎng)為整；

■LD

(3)①3-13,竽吠"6,②”爭(zhēng)

(4)解：?1△/MB是以A8為一腰的等腰三角形，

???分以下兩種情況：

①如圖，當(dāng)48=42=5時(shí)?，有CP=AC-AP=13-5=8,

圖3

CP8

3-3'

②如圖，當(dāng)45=BP=5時(shí)，過點(diǎn)8作BO1AC于點(diǎn)D,

D

圖4

由⑵知BD=瑞，

?，AD=y/AS2-BD2=^52-（y1）2=患，

-AB=BP,BDLAC,

AP=2AD=瑞，

?**CP=AC-AP=13—Y2=]3，

CP119

,.,t=T=3T'

綜上所述，△尸48是以A8為一腰的等腰三角形時(shí)￡的值為當(dāng)或嚼.

15.【答案】（1）解：出發(fā)2秒后，AP=1x2=2cm,BQ=2x2=4cm.

所以BP=AB-AP=S-2=6cm.

因?yàn)镹8=90°,根據(jù)勾股定理，PQ=JBP?+BQ2=V62+42=V52=2gcm.

（2）解：設(shè)從出發(fā)t秒鐘后，APOB第一次能形成等腰三角形.

小匕時(shí)BP=8-3BQ=2t.

8

-秒

當(dāng)BP=BQ時(shí)，8-t=2t,解得t3

（3）解：①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1）,KUC=^CBQ,

:?乙CBQ+乙ABQ=90°,4力+4。=90°,AC=yjBC2+AB2=V64-82=10cm,

/.LA=Z-ABQ>

:?BQ=AQ,

CQ=AQ=5cm?

：,BC+CQ=11cm,

At=11-2=5.S秒，

②當(dāng)CQ=8c時(shí)(如圖2),則8c+CQ=12cm,

③當(dāng)BC=BQ時(shí)（如圖3）,過B點(diǎn)作BE14C于點(diǎn)E,

所以CE=y/BC2-BE2=卜一管j=學(xué)，

故CQ=2CE=7.2cm,

所以BC+CQ=13.2cm,

???t-13.2+2=6.6秒，

由上可知，當(dāng)￡為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，^BCQ為等腰三角形.

16.【答案】(1)2t-4

5

2\

7-

4

（3）亡的值為喋或京或4

1OZ

17.【答案】（1）證明：如圖，過點(diǎn)4作40J.BC于點(diǎn)。,

A

2

???AB=AC,AD1BC,

11

--X2

???AD是BC邊上的中線,22

由勾股定埋得：AD=y/AB2-BD2=J(V5)2-I2=2?

???AD=BC,

.?.△ABC是“夢(mèng)想三角形”；

(2)解:如圖,若ABC是“夢(mèng)想三角形”,

A

心

CEB

???直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，

???只能是直角邊的中線等于對(duì)應(yīng)的直角邊，

有以下兩種情況：

①當(dāng)AC邊上的中線8。=AC=6時(shí)，CD=^AC=1x6=3,

此時(shí)，BC=>/BD2-CD2=V62-32=3百，

②當(dāng)BC邊上的中線4E=8C時(shí)，CE=gBC,

2

22222

止匕時(shí)，AC=AE-CEt^6=BC-，

解得：BC=4百(負(fù)數(shù)值舍去)，

綜上所述，BC=3V5或BC=4V5.

18.【答案】(1)假

(2)解：存在“