直線、平面垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)

課前必備知識(shí)

課標(biāo)要求

1.了解空間直線與直線、直線與平面垂直，平面與平面垂直的定義.2.掌握空間直線與平

面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理，能正確運(yùn)用判定與性質(zhì)定理論證空間直線與平面、

平面與平面垂直關(guān)系.

知識(shí)梳理

1.直線與平面垂直的判定

(1)利用定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的.任意一條宜.線.都垂直,那么該直線與

這個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的「兩條相交直線_垂直,那么該直線與平

面垂直.

用符號(hào)語(yǔ)言表示為：加ua,〃ua,,/_!_/〃，/_L〃n/_La.

2.直線與平面垂直的性質(zhì)

(1)由直線和平面垂直的定義知：若一條直線垂直于平面則這條直線垂直于平面?

內(nèi)的任意一條直線.

(2)性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

用符號(hào)語(yǔ)言表示為：a_La,/?±6(=>a//b.

3.兩平面垂直的判定

(1)利用定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角為90。,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相

垂直.

(2)判定定理：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一垂線一那么這兩個(gè)平面垂直.

4.兩平面垂直的性質(zhì)

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的」線那么這條直線

與另一個(gè)平面一垂直

用符號(hào)語(yǔ)言表示為：若a_L/?,aCB=a,bLa,bu0,則bL寸.

常用結(jié)論

1.若兩平行線中的一條垂直干一個(gè)平而，則另一條也垂直干這個(gè)平而.

2.若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直

的一個(gè)重要方法）.

3.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

4.一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直.

課前訓(xùn)練

1.設(shè)/,m是兩條不同的直線，a是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（）

A.若/_!_/〃，則/_La

B.若/JLa,I"tn、則機(jī)_La

C.若/〃a,mca,則/〃加

D.若/〃a,加〃a,則/〃加

解析：B對(duì)于A,ILm,mcza,則/,a還可能平行或/ua,A錯(cuò)誤：

對(duì)于B,l±a,l//m,由線面垂直的性質(zhì)可得加J_a,B正確：

對(duì)于C,/〃a,/〃ua,則/〃或/與〃?異面，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,l//a,m//a>/與小可能平行、相交、異面，D錯(cuò)誤.故選B.

2.（多選）下列命題正確的是（）

A.如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面

B.如果一條貪線和一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面

C.如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面

D.如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面

解析：CDA中兩條直線一定要是兩相交直線，如果是兩平行直線，結(jié)論不成立，A

不正確;

B中的無(wú)數(shù)條直線如果是平行直線，結(jié)論不成立，B不正確；

C為直線與平面垂直的判定定理，D可由直線與平面垂直的定義得到，故選CD.

3.如圖,在斜三棱柱A8在中,NBAC=90。,BCi±AC,則G在底面ABC上的

射影H必在（）

By------RC

序

A.直線A8上B.直線3。上

C.直線AC上D.△A8c內(nèi)部

解析：A由AC_LAB,AC_LAG，ABC\BCi=B,AB,8G<=平面人8G，得AC_L平面

48G.因?yàn)锳Cu平面ABC,所以平面4BGJ■平面ABC.所以Ci在平面ABC上的射影“必在

兩平面的交線AB上.故選A.

4.設(shè)〃?，〃是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，給出下列說(shuō)法，其中正確的

是（）

A.若〃i〃a,〃_!_/?,〃i_L〃，貝ij〃_1_外

B.若〃?〃a,〃?_!_/?,則a_L/?

C.若m工〃，mua,nu￡,則aA.fl

D.若mLa,則a邛

解析：B如圖，對(duì)于A,在長(zhǎng)方體ABCD-AiB^Di中，平面AiBGOi，平面ABCD

分別為a,B，AB,分別為直線“n,顯然〃?〃a,打_L夕，〃?_!_〃，而平面ABiGDi〃平

面48CD,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由m〃a知存在過(guò)機(jī)的平面y與a相交，令交線為c,則c〃〃z,而〃?_1_人于

是c【B，乂tea,則aJL.,B正確；

對(duì)于C,在長(zhǎng)方體46CD-4BiGG中，平面ABiGDi，平面ABC。分別為a,4，A

8c分別為直線加，〃，顯然機(jī)_L〃，mua,〃或，而平面AiSG。〃平面4BCQ,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,在長(zhǎng)方體ABCQ-Ai81Goi中，平面月出。。，平面A8co分別為a,夕，孫,

4B分別為直線機(jī)，〃，顯然〃?_La,〃u//,/“_!_〃，而平面AiBiGDi〃平面4BCD,D錯(cuò)誤.故

選B.

5.（教材母題必修863練習(xí)T3）如圖，在三棱錐2A8。中，以，平面48C,AC_LBC,

則以此三棱錐的棱為邊所構(gòu)成的三角形中，直角三角形的個(gè)數(shù)為.

解析：4因?yàn)橐云矫嫒薆C,AB,AC,BCu平面人BC,

所以布_LA8,PALAC,PA1BC,即△%B,4BAC為直角三角形.

又ACJL8C,ACQPA=A,AC,Hu平面附C,所以BCJ_平面必C,

又PCu平面PAC,所以BC1PC,所以△PBC,△ABC也為直角三角形,

即以此三棱錐的棱為邊所構(gòu)成的三角形中，直角三角形有4個(gè).

課堂核心考點(diǎn)

考點(diǎn)1線面垂直的判定與性質(zhì)

【例1】如圖,在四棱錐2ABe。中,PQJ_平面AB//DC,ZBAD=90°.CD

=PD=y[2,48=29=4,E是%的中點(diǎn).

(1)求證：。七_(dá)1_平面辦/工

(2)求三棱錐E-PBC的體積.

解析：⑴證明：因?yàn)镻OL平面ABC。，AB,AQu平面ABCD,所以尸O_LAB,PDLAD.

因?yàn)镹A4D=90。，所以ABJ_AD

又因?yàn)?400〃。=。，AD,〃￡>u平面外￡>,

所以48_1_平面PAD.

因?yàn)镈Eu平面力。，所以Q￡_L4A

因?yàn)楫a(chǎn)。=小，%=2,PD.LAD,

所以—啦,

所以AZ)=P。，又E是限的中點(diǎn)，所以。E_LB4.

又因?yàn)锽4AAS=A,承，A6U平面加6,所以。氏L平面用及

(2)因?yàn)锳8〃OC,48u平面%8,DCU平面以8,所以。C〃平面南8.

所以點(diǎn)C到平面PAB的距離等于點(diǎn)D到平面PAB的距離.

因?yàn)镺E_L平面PAB,所以D到平面PAB的距離就是線段DE的長(zhǎng)，

也就是點(diǎn)。到平面PAB的距離等于線段DE的長(zhǎng)，所以點(diǎn)。到平面PEB的距離等于線

段的長(zhǎng).

因?yàn)镻Z)=4LPA=2,PD1AD,AD=?E是目的中點(diǎn)，所以。七=^^=1.

因?yàn)?WJL平面附。，小u平面以。，所以

因?yàn)橐?2,AB=4,

所以S△附8=；X4X2=4.

因?yàn)镋是用的中點(diǎn),

所以SAP￡8=^SAPAB=2,

所以VE-PBC=VC-/>EB=15APO-7)E'=|X2XI=1.

⑴證明線面垂直的基本方法是利用判定定理，即證明一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直

線垂直.

（2）證明線線垂直時(shí)，要注意如下幾個(gè)方面：

①注意特殊幾何體中的垂直關(guān)系的利用（如正方體、正棱柱、直棱柱等）.

②要注意充分利用平面幾何的知識(shí)，挖掘題中隱含的垂直關(guān)系，如正方形、菱形的對(duì)角

線垂直；等腰三角形底邊上的高、中線和頂角平分線垂直底邊：直徑所對(duì)的圓周角為90。等.

③利用計(jì)算的方法證明垂直，如給出線段長(zhǎng)度，計(jì)算滿足勾股定理、證明角等于90。等.

④利用已知垂直關(guān)系證明線線垂直，其中要特別重視直線與平面垂直的性質(zhì)和兩平面垂

直的性質(zhì)定理.

變式探究

1.如圖，在直三棱柱48C-4SG中，ABLBC,且48=BC=A4i=2,。為線段8C

上的動(dòng)點(diǎn).

⑴證明:ABilAiD.

⑵判斷點(diǎn)。到平面的距離是否為定值.若是定值，請(qǐng)求出該定值：若不是定值,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）證明：如圖，連接A。，AC.

因?yàn)樗倪呅蜛A4山為正方形，所以4S_LAi及

又因?yàn)锽CLAB,在直棱柱ABC-A}B\C\中，BB1工BC,所以6C_L平面

AA出山.

因?yàn)?B|U平面44出5,所以BCLABi.

又因?yàn)?8n8C=B,所以A8|_L平面48C,

因?yàn)锳Ou平面ABC,所以48I_LAi。.

(2)點(diǎn)D到平面ABC的距離為定值.

因?yàn)锽C〃BiCt，8iGu平面ABiG，

所以BC〃平面A8C，

所以點(diǎn)。到平面人辦G的距離即為BC到平面/IBiG的距離，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面ABiG

的距離.

i己AiBnAS=E,則BE_LA&.

又8C_L平面A4|8|88Eu平面A4|88,所以BC_8E.

因?yàn)?C〃HG，所以因G_LBE,

因?yàn)?叢0叢。1=叢，所以5E_L平面A1G，

所以BE為點(diǎn)D到平面ABiG的距離.

在等腰RsABBi中,因?yàn)锳8=88[=2,

所以AS=2/，所以BE=；AS=g.

所以。到平面ASG的距離為定值，且定值為

考點(diǎn)2面面垂直的判定與性質(zhì)

【例2】如圖，已知三棱錐RA8C,%_L平面ABC,△%C是以PC為斜邊的等腰直

角三角形,△48C是以AC為斜邊的直角三角形，”為PC上一點(diǎn),E為P4上一點(diǎn)，且AEJ_P8.

(1)現(xiàn)給出兩個(gè)條件：①EF_LPC；②尸為PC的中點(diǎn).從中任意選一個(gè)條件為已知條件，

求證：平面P8C_L平面AEF.

⑵若PC_L平面AEF,直線AC與平面AEF所成角和直線AC與平面PAB所成角相等,

且%=2,求三棱錐P-ABC的體積.

解析：⑴選①ERL尸C.

證明：因?yàn)楦絖1_平面ABC,BCu平面A8C,

所以布_L3C

又4cABC\PA=A,人從辦u平面小8,

所以BC_L平面PAB.

乂AEu平面以A,所以BC_LA￡

又PBC\BC=B,PB,BCu平面尸BC,所以AEJ_平面尸8c.

又PCu平面尸8C,所以AE_LPC.

XEFLPC,EFC\AE=E,EF,AEu平面AE尸，

所以尸C_L平面AEE

又PCu平面PBC,所以平面PBCJ_平面AEF.

選②尸為PC的中點(diǎn).

證明：因?yàn)楸仄矫鍭BC,BCu平面ABC,所以朋，BC.

XBCLAB,ABC\PA=A,AB,附u平面附8,

所以8C_L平面以B.

又4￡u平面附3,所以8C_LAE

又A￡_LP從PBC\BC=B,PB,8Cu平面PBC,

所以人后_1_平面PBC.

乂PCu平面PBC,所以AE_LPC.

又尸為等腰直角三角形附。斜邊尸C的中點(diǎn)，則Ar尸C,AFQAE=E,AF,AEu平面

AEF,

所以PC_L平面AEE

又「Cu平面P8C,所以平面08C_L平面AE/.

(2)由PC_L平面AEF,6C_L平面以6可知，ZCA/與ZCA6分別為AC與平面A加'及

AC與平面PAB所成角，

所以/。4產(chǎn)=/。人尺

乂sinNCA尸=77，sinNC4B=K，PA=AC=2,

/IC.LA

所以CB=CF=p,求得AB=小,

所以VP-ABC=QSAAUCPA=].

(1)證明兩平面垂直的基本方法是利用平面與平面垂直的判定定理，即證其中一個(gè)平面

經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線.

(2)證明線線垂直時(shí)，要充分利用平面幾何中的垂直關(guān)系及利用計(jì)算進(jìn)行證明的方法，

同時(shí)要注意線面垂直、面面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用.

(3)空間垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化是立體幾何中證明垂直關(guān)系的常用思路，三種垂直關(guān)系的

轉(zhuǎn)化可結(jié)合下面的框圖進(jìn)行記憶.

判定判定

線線垂直IT線面垂直|一^|面面垂直

性質(zhì)性質(zhì)

變式探究

2.(2025?四川成都期末)如圖，四棱錐中，AD//BC,BCLCD,BC=2CD=2AD

=2?平面ABCOJ_平面以C

(1)證明：PCLAB.

(2)若附=尸。=等(7,M是以的中點(diǎn)，求三棱錐C-P8M的體積.

解析：(1)證明：在四棱錐P-A8C。中，AD//BC,BC±CD,BC=2CD=2AD=2次,

四邊形A8CO是直角梯形，ZADC=90°,

AC=^/CZ)2+/4D2=2.

AB=y]CD2+(BC-AD)2=2,

于是AC2-hAB2=8=BC2,WAB1AC.

乂平面ABC。L平面PAC,平面ABCQCI平面PAC=AC,ABu平面ABCD,所以ABI

平面PAC.

又尸Cu平面辦C,所以尸C_LAB.

(2)如圖，取AC的中點(diǎn)E,連接PE.

因?yàn)?=尸。=喙4。=小，

所以尸EJ_AC,PE=^PA2-AE2=2.

又平面A8CQJ_平面辦C,平面/WCDn平面辦C=AC,P￡u平面辦C,

所以PE平面"CD

由M是應(yīng)的中點(diǎn)，得點(diǎn)M到平面ABCD的距離(1=\PE=\.

乂AAC=，4B,AC=2,

顯然PBM=S&ABJW，

所以三棱錐C-PBM的體積Vc-PBM=Vc-ABM=VM-ABC=§SAABed=?

考點(diǎn)3線面垂直、面面垂直的綜合應(yīng)用

【例3】如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為。的菱形，其中NOAB=

60。.側(cè)面△以。為正三角形，旦其所在平面垂直于底面43CD

(1)求證：ADLPB.

(2)若E為6C邊的中點(diǎn)，則在楂PC上是否存在點(diǎn)F,使得平面凡L平面ABCD?若

存在，請(qǐng)指出并證明：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：(1)證明：設(shè)G為人。的中點(diǎn)，連接PG,BG,DB,如圖.

因?yàn)椤鞅?。為正三角形，所以尸G_L4D

在菱形48CO中，ND4B=60。，所以aAB。為正三角形，

又G為4。的中點(diǎn)，所以8G_LAD

又3GCPG=G,BG,PGu平面PG&

所以AQ_L平面PGB.

因?yàn)镻Au平面PGR,所以ADLPR

(2)當(dāng)尸為PC的中點(diǎn)時(shí)，使得平面DE2L平面A8CD

證明如下：在△PBC中，因?yàn)镋,尸分別為BC,PC的中點(diǎn)，所以EF〃PB.

又EFu平面。EF,P8U平面。EF,

所以P8〃平面。EF.

同理，易證G8〃平面OEE

又「〃u平面0G〃，GAu平面0G〃，PBCGB-B,所以平面。EF〃平面PG〃.

由⑴得PG_L平面ABCD,而PGu平面PGB,

所以平面PGBJ_平面A8CD