第04講復(fù)數(shù)目錄考情探究 2知識(shí)梳理 3探究核心考點(diǎn) 5考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 5考點(diǎn)二求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部 7考點(diǎn)三復(fù)數(shù)相等 8考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的分類及純虛數(shù)概念考查 9考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的幾何意義 11考點(diǎn)六復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)及與模相關(guān)的軌跡問(wèn)題 12考點(diǎn)七復(fù)數(shù)的三角形式 14考點(diǎn)八歐拉公式 14考點(diǎn)九復(fù)數(shù)多選題綜合探究 16三階突破訓(xùn)練 18基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 18能力提升 21真題感知 25一、5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2025年全國(guó)一卷，第1題,5分求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算無(wú)2025年全國(guó)二卷，第2題,5分復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算無(wú)2024年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無(wú)2024年新Ⅱ卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的模無(wú)2023年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)無(wú)2023年新Ⅱ卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義無(wú)2022年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)無(wú)2022年新Ⅱ卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無(wú)2021年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)無(wú)2021年新Ⅱ卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義無(wú)二、命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，能夠掌握數(shù)集分類及復(fù)數(shù)分類，需要關(guān)注復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、及純虛數(shù)2.能正確計(jì)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模長(zhǎng)等問(wèn)題，理解并掌握共軛復(fù)數(shù)3.熟練掌握復(fù)數(shù)的幾何意義即復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、模長(zhǎng)運(yùn)算、幾何意義，題型較為簡(jiǎn)單。知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的定義復(fù)數(shù)：一般地，當(dāng)a與b都是實(shí)數(shù)時(shí)，稱a+bi為復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)一般用小寫字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)，其中a稱為z的實(shí)部，b稱為z的知識(shí)點(diǎn)2虛數(shù)單位與周期i叫做虛數(shù)單位，規(guī)定i2=-1；虛數(shù)單位可以與實(shí)數(shù)進(jìn)行特別地，i4n+1=i，i4n+2=?1，i4n+3=?i知識(shí)點(diǎn)3復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，z為實(shí)數(shù)?b=0；z為虛數(shù)?b≠0；z為純虛數(shù)?a=0b≠0；z為非純虛數(shù)數(shù)即復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)知識(shí)點(diǎn)4復(fù)數(shù)相等如果a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，那么a+bi=c+di?a=c且b=d．特別地，當(dāng)a，b都是實(shí)數(shù)時(shí)，a+bi=0知識(shí)點(diǎn)5共軛復(fù)數(shù)及其性質(zhì)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)時(shí)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即如果z=a+bi,a,b∈R，那么z=共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)為z，則（1）zz=z2（2）z2（3）z1知識(shí)點(diǎn)6復(fù)平面及復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面：在平面上建立直角坐標(biāo)系，以坐標(biāo)為a,b的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z=a+bia,b∈R，就可在平面上的點(diǎn)的集合與復(fù)數(shù)集合之間建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，這樣用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，這里的x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸注意：（1）表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上，表示純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上，原點(diǎn)表示實(shí)數(shù)0.（2）每一個(gè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)有唯一的點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，都有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)，即復(fù)數(shù)集中的元素和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的.復(fù)平面上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱?它們所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)相互共軛．知識(shí)點(diǎn)7復(fù)數(shù)的向量表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)表示復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R），連接OZ，向量OZ由點(diǎn)Z唯一確定；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)Z也可以由向量OZ唯一確定.這樣，復(fù)數(shù)集C中的元素和復(fù)平面上以原點(diǎn)為起始點(diǎn)的向量OZ也是一一知識(shí)點(diǎn)8復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R）在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離a2+b2叫做復(fù)數(shù)z的模（或絕對(duì)值），記作|z|，由模的定義可知|z|=|a+bi復(fù)數(shù)的模與該復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量的模是一致的，復(fù)數(shù)的模為該復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.知識(shí)點(diǎn)9復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi，z（1）加法：z1+z2=（2）減法：z1?z2=（3）乘法：z1?z2（4）除法：z1知識(shí)點(diǎn)10復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律（1）對(duì)任意復(fù)數(shù)z1，z2，交換律z1z2結(jié)合律z1z2z乘法對(duì)加法的分配律z1z2+（2）n個(gè)相同的復(fù)數(shù)z相乘時(shí)，仍稱為z的n次方（或n次冪），并記作zn，即zn=z×z×?×zn個(gè)．可以驗(yàn)證，當(dāng)m，n均為正整數(shù)時(shí)，zmzn=zm+n，zm知識(shí)點(diǎn)11復(fù)數(shù)的三角形式定義：任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是復(fù)數(shù)z的模；θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角乘法運(yùn)算法則設(shè)z1=r1cosθ1+i這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和．除法運(yùn)算法則設(shè)z1=r1cosθ1+isinθ這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差．知識(shí)點(diǎn)12一元二次方程的根及韋達(dá)定理實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R，a≠0（1）Δ>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根?b±（2）Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)根（二重根）?（3）Δ<0?方程有一對(duì)共軛虛根?b±在（3）的情況下，方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）仍然成立，即x1+考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算典例1．（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法求復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.典例2．（2025·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.跟蹤訓(xùn)練1．（2025·海南儋州·模擬預(yù)測(cè)）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)，即可得.【詳解】.故選：D跟蹤訓(xùn)練2．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可.【詳解】.故選：A.考點(diǎn)二求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部典例1．（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法結(jié)合復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故選:D.典例2．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則的實(shí)部和虛部分別為（

）A．1， B．1， C．， D．1，3【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法及加減運(yùn)算求解，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念作答.【詳解】由題意得，，得，所以，故的實(shí)部和虛部分別為1，3.故選：D.跟蹤訓(xùn)練1．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）若，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等式利用復(fù)數(shù)的乘法和除法，求出復(fù)數(shù)，從而確定復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】依題意，，故的虛部為.故選：C.跟蹤訓(xùn)練2．（2025·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則的實(shí)部與虛部和為（

）A．0 B． C． D．2【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算和除法運(yùn)算，以及實(shí)部和虛部的概念可得結(jié)果.【詳解】由，可得，所以的實(shí)部為，虛部為，則實(shí)部與虛部和為.故選：C.考點(diǎn)三復(fù)數(shù)相等典例1．（2025·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則的實(shí)部與虛部和為（

）A．0 B． C． D．2【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算和除法運(yùn)算，以及實(shí)部和虛部的概念可得結(jié)果.【詳解】由，可得，所以的實(shí)部為，虛部為，則實(shí)部與虛部和為.故選：C.典例2．（2025·湖北荊州·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的概念即可求出，再逐一判斷.【詳解】因，則，則，，解得或，若，則AB錯(cuò)誤，D正確；若，則C錯(cuò)誤，D正確；故選：D跟蹤訓(xùn)練1．（2025·湖南·三模）若（a，，i為虛數(shù)單位），則的值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算結(jié)合復(fù)數(shù)相等得出參數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，得，，所以．故選：A．跟蹤訓(xùn)練2．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．1 D．4【答案】D【分析】法一：利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則得到，從而得到方程組，求出，得到答案；法二：變形得到，是的根，故是方程的另一個(gè)根，由韋達(dá)定理得到，求出答案.【詳解】法一：因?yàn)椋?，所以，解得，故；法二：，故，因?yàn)槭堑母?，故是方程的另一個(gè)根，由韋達(dá)定理得，，故，所以.故選：D考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的分類及純虛數(shù)概念考查典例1．（2025·江西吉安·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，（為虛數(shù)單位），則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)類型求出參數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘方可求.【詳解】，因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，故，故，故，故選：B.典例2．（2025·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)”的（

）A．充分必要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)求得的值，再根據(jù)充分必要條件關(guān)系判斷.【詳解】若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，即．又是的真子集，故“”是“復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)”的充分不必要條件．故選：C．跟蹤訓(xùn)練1．（2025·湖南·一模）若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得，集合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念計(jì)算即可求解.【詳解】，又為實(shí)數(shù)，所以，解得.故選：C跟蹤訓(xùn)練2．（2025·黑龍江哈爾濱·三模）已知為純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)（

）A． B．2 C．1 D．【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法結(jié)合復(fù)數(shù)乘法、復(fù)數(shù)相等的充要條件即可求解.【詳解】設(shè)，則，所以，所以，所以．故選：B．考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的幾何意義典例1．（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)除法和共軛復(fù)數(shù)的概念求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷象限即可.【詳解】由題意可得，所以在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在第一象限，故選：A典例2．（2025·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于的不等式組，求解即得.【詳解】因在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，解得，故a的取值范圍是．故選：B．跟蹤訓(xùn)練1．（2025·河南·三模）已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，則“A在第二象限”是“B在第三象限”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】設(shè)，則.若A在第二象限，則，，則，，所以B在第三象限.反之亦成立，所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要條件.故選：A.跟蹤訓(xùn)練2．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上不可能位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】設(shè)，由已知得在復(fù)平面的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，由圖即可判斷.【詳解】設(shè)，由得，可得在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，（如圖）.由圖知圓顯然不經(jīng)過(guò)第三象限，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面上不可能位于第三象限.故選：C.考點(diǎn)六復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)及與模相關(guān)的軌跡問(wèn)題典例1．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）若，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】先求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和模的定義求解.【詳解】,所以，且.故選：B典例2．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先設(shè)復(fù)數(shù)，再根據(jù)模長(zhǎng)得出，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離減半徑計(jì)算求解.【詳解】設(shè)，故；而，故的最小值為，故選:C．跟蹤訓(xùn)練1．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程，即可求出，再計(jì)算其模.【詳解】設(shè)，則左邊，右邊，，，解得，，故.故選：A.跟蹤訓(xùn)練2．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義轉(zhuǎn)化復(fù)數(shù)z滿足的限制條件，進(jìn)而求得的最大值.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為：，由可知：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為2，而，所以點(diǎn)在線段上，故，則，當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：B.考點(diǎn)七復(fù)數(shù)的三角形式典例1．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得.故選：C.跟蹤訓(xùn)練1．棣莫弗公式（為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667－1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，已知復(fù)數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用棣莫弗公式及三角函數(shù)的特殊值，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】依題意知，，由棣莫弗公式，得，所以.故選：C.考點(diǎn)八歐拉公式典例1．（2025·陜西·模擬預(yù)測(cè)）歐拉公式（其中為虛數(shù)單位）是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的．若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)歐拉公式寫出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可得答案.【詳解】由題可得，所以所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限，故選：C跟蹤訓(xùn)練1．歐拉公式建立起了復(fù)數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的橋梁，在解析幾何中具有重大意義，在復(fù)變函數(shù)論中占有重要的地位．根據(jù)歐拉公式，以下命題正確的個(gè)數(shù)是（

）命題1：

命題2：命題3：的共軛復(fù)數(shù)為

命題4：為實(shí)數(shù)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用歐拉公式，分別代入計(jì)算并根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念可得命題2和命題3正確，可得結(jié)論.【詳解】易知，因此命題1錯(cuò)誤；，即可得，所以命題2正確，又，所以的共軛復(fù)數(shù)為，即命題3正確；顯然，為純虛數(shù)，即命題4錯(cuò)誤；因此正確的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B考點(diǎn)九復(fù)數(shù)多選題綜合探究典例1．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法及復(fù)數(shù)模的定義計(jì)算判斷A，取特殊值判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算及模與共軛的概念運(yùn)算判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的模及共軛運(yùn)算判斷D.【詳解】設(shè)，.對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，則，，則，即，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，，，，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，，，所以，故D正確.故選：AD典例2．（2025·江西·三模）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根為，，其中，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程中韋達(dá)定理可求出判斷A，再由韋達(dá)定理判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算判斷C，再由復(fù)數(shù)除法及周求判斷D．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榍覍?shí)系數(shù)一元二次方程的兩根為，所以，可得，因?yàn)椋蔄正確；對(duì)于B，又，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，所以，故D正確．故選：ACD跟蹤訓(xùn)練1．（2025·湖北黃岡·三模）已知復(fù)數(shù)，下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】設(shè)出，，，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)及模長(zhǎng)定義與復(fù)數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷.【詳解】設(shè)，，且，則，，；對(duì)A：，，故A正確；`對(duì)B：，`，所以不能恒成立，B錯(cuò)誤.對(duì)C：，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，故，故D正確.故選：AD.跟蹤訓(xùn)練2．（2025·廣東茂名·二模）已知為關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根，則（

）A． B．C．為純虛數(shù) D．為關(guān)于的方程的另一個(gè)根【答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算法則及模長(zhǎng)公式，可確定AC選項(xiàng)，再利用復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的求根公式可知復(fù)數(shù)是方程的根，則也是方程的根可確定D選項(xiàng)，再利用韋達(dá)定理確定B選項(xiàng).【詳解】對(duì)A，，，故A正確；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，又為關(guān)于的方程，所以也是方程的根，故D正確；對(duì)B，，故B正確；故選：ABD單選題1．（2025·重慶·三模）已知為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出，再求模即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.2．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算即可得解.【詳解】，則.故選：A.3．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】先求，代入后，再利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以所以，故選：A.4．（2025·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）（

）A．－i B．i C．1+i D．－1+i【答案】B【分析】由可將分式化為，再按復(fù)數(shù)的除法法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】.故選：B5．（2025·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足(i為虛數(shù)單位)，則=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則求得復(fù)數(shù)，可求.【詳解】由，可得，所以.故選：A.6．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先計(jì)算等號(hào)右邊模長(zhǎng)，再由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和虛部的概念求解可得.【詳解】，所以，則，即，所以的虛部為.故選：A.7．（2025·河北秦皇島·一模）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由題意可知，故，故選：A8．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的模相等，利用復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算即可.【詳解】．故選：B．9．（2025·重慶九龍坡·三模）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意有，所以，故選：C.10．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)平面內(nèi)第二象限點(diǎn)的特征列出不等式組，進(jìn)而求解的取值范圍.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以.，解得，即的取值范圍是.故選：B.一、單選題11．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，i為虛數(shù)單位，則的虛部為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用除法運(yùn)算求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求出參數(shù)的值后可求.【詳解】由題意得，是純虛數(shù)，所以，，所以，所以，所以，則的虛部為1.故選：A.12．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】，所以．故選：B13．（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先根據(jù)復(fù)平面內(nèi)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出復(fù)數(shù)，然后再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求出.【詳解】，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.因?yàn)閺?fù)數(shù)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，那么復(fù)數(shù).由，其中，，將其代入模的計(jì)算公式可得：.故選：B.14．（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】方法一、設(shè)代入化簡(jiǎn)，即可求得復(fù)數(shù)z；方法二、利用為實(shí)數(shù)可得，即可得出的虛部.【詳解】方法一、設(shè)，，所以，，，所以的虛部為，故選：A．方法二、，得，則有，所以的虛部為，故選：A．15．（24-25高一下·云南大理·階段練習(xí)）若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用韋達(dá)定理可得答案.【詳解】由題意可得關(guān)于的方程的另一個(gè)根為，則，解得．故選：D.16．（2025·浙江紹興·二模）已知虛數(shù)數(shù)列，則其前4n項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)得到、、，觀察法有，最后應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得.【詳解】由題設(shè)，，，，則，，，，，則，，，，，則，，，，，則，，依次類推，，所以其前4n項(xiàng)和為.故選：B.17．（2025·安徽安慶·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，若滿足，即，所以，即，則點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，易知原點(diǎn)在圓外，又圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，所以的最大值為，故選：C．18．（2025·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù),，并且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件消去可將用表示，根據(jù)三角函數(shù)的有界性結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】∵，∴，化為，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值7，∴，∴的取值范圍是，故選：B.二、多選題19．（2025·河南·一模）已知為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算可得.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，得，得，即，故A正確；對(duì)于B，令，可知，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，可知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：AD20．（24-25高一下·河南鄭州·期末）設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則下列結(jié)論中滿足條件的點(diǎn)Z的集合對(duì)應(yīng)的圖形正確的是（

）．A．若，則點(diǎn)Z的集合是圓B．若，則點(diǎn)Z的集合是兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)（包括邊界）C．若，則點(diǎn)Z的集合是y軸所在的直線D．若，則點(diǎn)Z的集合是一、三象限角平分線【答案】ABC【分析】根據(jù)各項(xiàng)復(fù)數(shù)模的關(guān)系式，確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)軌跡，即可得.【詳解】A：表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，對(duì)；B：表示以原點(diǎn)為圓心，半徑分別為1、2的兩個(gè)圓所成圓環(huán)（含邊界），對(duì)；C：表示到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，即為軸所在直線，對(duì)；D：表示到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，即為二、四象限的角平分線，錯(cuò).故選：ABC一、單選題21．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)除法即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.22．（2025·北京·高考真題）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】先求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出．【詳解】由可得，，所以，故選：B.23．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）的虛部為（

）A． B．0 C．1 D．6【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及虛部的定義即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以其虛部?，故選：C.24．（2024·北京·高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)乘法即可得到答案.【詳解】由題意得.故選：C.25．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義寫出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算.【詳解】依題意得，，故.故選：D26．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）若，則（

）A． B． C．10 D．【答案】A【分析】結(jié)合共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算直接求解.【詳解】由，則.故選：A27．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.【詳解】若，則.故選：C.28．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.29．（2023·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義計(jì)算.【詳解】在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，