第04講解三角形1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．3．常用推論sinA=sin(B+C)cosA=-cos(B+C)tanA=-tan(B+C)sinB=sin(A+C)cosB=-cos(A+C)tanB=-tan(A+C)sinC=sin(A+B)cosC=-cos(A+B)tanC=-tan(A+B)一．利用正弦、余弦定理解三角形例1．（1）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，則B的大小為（

）A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°【答案】A【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，從而可求出B=30°.【詳解】由正弦定理得，即，解得sinB=，又B為三角形內(nèi)角，所以B=30°或B=150°，又因為a>b，所以A>B，即B=30°.故選：A.（2）如圖，中，角的平分線交邊于點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】中由正弦定理求得后可得，從而得，角，得，用余弦定理可得．【詳解】在中，根據(jù)正弦定理得，由，所以，所以，所以，則，所以，在中，由余弦定理得，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值等基礎(chǔ)知識，解題時對照已知條件選用恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行計算．如先在中選用正弦定理求得兩邊中另一邊的對角，可得三角形的第三角，這樣圖形聽所有角都已知，然后再求選用公式求邊．本題也可以不用余弦定理求邊．（3）在中，,BC=1,AC=5，則AB=（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.詳解：因為所以，選A.點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.（4）（多選）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，，且，則（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用正弦定理邊化角，再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】.整理可得:可得為三角形內(nèi)角,故A正確，B錯誤.，解得,由余弦定理得，解得,故C錯誤，D正確.故選:AD.【點(diǎn)睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.（5）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=_____________.【答案】【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.（6）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．【答案】或0【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長度為.當(dāng)時，，重合，此時的長度為，當(dāng)時，，重合，此時，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系．二．正弦定理、余弦定理的應(yīng)用命題點(diǎn)1判斷三角形的形狀例2．（1）在中，角A、B、C所對的對邊分別為a、b、c，若，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．無法確定【答案】B【分析】由正弦定理把邊化角，再由正弦的和角公式即可求解【詳解】根據(jù)題意及正弦定理得，即，所以所以，因為，所以，，又，所以，所以三角形是直角三角形故選：B.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：判斷三角形的形狀，就是根據(jù)題目條件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等.利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下：(1)化邊為角，走三角變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC外接圓的半徑)；②eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)；(2)化角為邊，走代數(shù)變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：①sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(R為△ABC外接圓的半徑)；②eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)，eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c).(3)如果所知條件方便求角，只需判斷最大的角是鈍角，直角，銳角；(4)如果方便求邊，假設(shè)最大邊為c，可用a2＋b2－c2來判斷cosC的正負(fù).而判斷邊或角是否相等則一目了然，不需多說.（2）已知的三個內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，且滿足，且，且的形狀是（

）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為的等腰三角形 D．頂角為的等腰三角形【答案】D【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系得，結(jié)合正余弦定理得，求出角,再利用，化簡得在結(jié)合條件求出角，進(jìn)而得C,則三角形的形狀就可以判斷了.【詳解】由題得：，即，由正弦定理及余弦定理得，又,整理得，

故為頂角為的等腰三角形故選：D（3）在中，角A，B，C對應(yīng)邊分別為a，b，c，已知三個向量，，共線，則形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用正弦定理化邊為角，再展開二倍角公式整理可得，結(jié)合角的范圍求得，同理可得，則答案可求．【詳解】解：向量，共線，．由正弦定理得：．．，所以則．，即．同理由，共線，可得．形狀為等邊三角形．故選：A．（4）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則為（

）A．鈍角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用二倍角公式和正弦定理進(jìn)行化簡，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍即可得到答案【詳解】由結(jié)合正弦定理可得，即，所以，所以，因為，所以，因為，所以，故為直角三角形，故選：C（5）在中，若，則這個三角形是（

）A．底角不等于的等腰三角形 B．銳角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】已知等式利用正弦定理化簡，整理后根據(jù)，得到，確定出與的關(guān)系，即可判斷.【詳解】由正弦定理及題意，得，．∵，∴，∴或，即或．∴這個三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D（6）設(shè)的三個內(nèi)角滿足，又，則這個三角形的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【詳解】因的三個內(nèi)角，而，則，又，由正弦定理得：，由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，所以是等邊三角形.故選：B【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題，一般有兩條思考路線①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系．②化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．(2)判斷三角形的形狀時，經(jīng)常用到以下結(jié)論①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.②△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.④若sin2A＝sin2B，則A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).命題點(diǎn)2判斷三角形解的個數(shù)例3．（1）在中，角所對的邊分別為，下列條件使得無法唯一確定的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對于A：用正弦定理判斷；對于B：先由余弦定理，再用正弦定理可以求出角A、B，進(jìn)行判斷；對于C：由正弦定理，根據(jù)大邊對大角，這樣的角B有2個，進(jìn)行判斷；.對于D：由正弦定理計算，由大邊對大角，這樣的角A有1個，進(jìn)行判斷.【詳解】對于A：∵，∴A=140°，由正弦定理得：，∴∴唯一確定；故A正確.對于B：∵，由余弦定理，可得：由正弦定理：，有：可以求出角A、B，∴唯一確定；故B正確.對于C：∵由正弦定理：，有：，∴，∵∴∴,這樣的角B有2個，所以不唯一，故C錯誤.對于D：∵由正弦定理：，有：，∴，∵∴∴,這樣的角A有唯一一個，∴角C唯一，所以唯一，故D正確.故選：C【點(diǎn)睛】判斷三角形解的個數(shù)的方法：（1）畫圖法：以已知角的對邊為半徑畫弧，通過與鄰邊的交點(diǎn)個數(shù)判斷解的個數(shù)：①若無交點(diǎn)，則無解；②若有一個交點(diǎn)，則有一個解；③若有兩個交點(diǎn)，則有兩個解；④若交點(diǎn)重合，雖然有兩個交點(diǎn)，但只能算作一個解。（2）公式法：運(yùn)用正弦定理進(jìn)行判斷：①a＝bsinA，則有一個解；②b＞a＞bsinA，則兩個解；③a≥b，則無解。【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個數(shù)(1)正弦定理法：已知△ABC的兩邊a，b和角A，求B.根據(jù)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得sinB＝eq\f(bsinA,a).若sinB>1，三角形無解；若sinB＝1，三角形有且只有一解；若0<sinB<1，B有兩解，再根據(jù)a，b的大小關(guān)系確定A，B的大小關(guān)系(利用大邊對大角)，從而確定B的兩個解的取舍.(2)余弦定理法：已知△ABC的兩邊a，b和角A，求c.利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，整理得c2－2bccosA－a2＋b2＝0.適合問題的上述一元二次方程的解c便為此三角形的解.(3)公式法當(dāng)已知△ABC的兩邊a，b和角A時，通過前面的分析可總結(jié)三角形解的個數(shù)的判斷公式如下表：A<90°A≥90°a≥ba<ba>ba≤ba>bsinAa＝bsinAa<bsinA一解二解一解無解一解無解（2）在中，角、、所對的邊分別為、、，那么下列給出的各組條件能確定三角形有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】在角為銳角的前題下，判斷ABD中的選項是否滿足，可判斷這三個選項中對應(yīng)的是否有兩解，直接判斷C選項中對應(yīng)的的解的個數(shù).【詳解】如下圖所示：若角為銳角，且有兩解，則.對于A選項，，，，，但，此時沒有兩解，A選項不滿足條件；對于B選項，，，，，此時有兩解，B選項滿足條件；對于D選項，，，，，此時沒有兩解，D選項不滿足條件；對于C選項，，，且，此時只有一解，C選項不滿足條件.故選：B.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：在中，已知、、，三角形解的個數(shù)如下：（1）若為銳角：①，無解；②或，一解；③，兩解；（2）若為直角或鈍角：①，無解；②，一解.（3）在中，角所對的邊分別為，若，，，則此三角形解的情況為（

）A．無解 B．有兩解 C．有一解 D．有無數(shù)解【答案】C【分析】利用正弦定理可得，由的取值范圍可求得的范圍，結(jié)合大邊對大角可知為銳角的一個，由此可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：，，，則，，，，只能為銳角的一個值，只有一個解.故選：C.（4）在下列關(guān)于的四個條件中選擇一個，能夠使角被唯一確定的是（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及正弦定理，結(jié)合三角形圖像進(jìn)行處理.【詳解】對于①，因為，所以或，故①錯誤；對于②，因為在上單調(diào)，所以角被唯一確定，故②正確；對于③，因為，，所以，所以，所以，又，由正弦定理有，所以，所以角被唯一確定，故③正確；對于④，因為，所以，所以如圖，不唯一，故④錯誤.故A，C，D錯誤.故選：B.（5）已知中，，，若有兩解，則邊長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形有兩解的條件可得即求.【詳解】設(shè)角A、B、C所對邊為a、b、c，由三角形有兩解的條件可得，，即，解得即邊長的取值范圍是.故選：A.命題點(diǎn)3三角形面積的計算例4．（1）中，內(nèi)角所對的邊分別為.若則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出，即得解.【詳解】因為所以，所以，所以的面積.故選：C（2）橢圓的左右焦點(diǎn)為?，為橢圓上的一點(diǎn)，，則△的面積為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由橢圓方程可得，結(jié)合余弦定理求得，最后根據(jù)三角形面積公式求△的面積.【詳解】∵點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，?是焦點(diǎn)，∴，即①，∵在△中，∴②，①-②得：，.故選：C.（3）△的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則△的面積為________．【答案】.【分析】方法一：由正弦定理可得，化簡求得，利用余弦定理，結(jié)合題中的條件，可以得到，由為銳角，求得，，利用三角形面積公式即可解出.【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】邊化角因為，由正弦定理得，因為，所以．又因為，由余弦定理，可得，所以，即為銳角，且，從而求得，所以的面積為.故答案為：.［方法二］：角化邊因為，由正弦定理得，即，又，所以，．又因為，由余弦定理，可得，所以，即為銳角，且，從而求得，所以的面積為.故答案為：.【整體點(diǎn)評】方法一：利用正弦定理邊化角，求出，再結(jié)合余弦定理求出，即可求出面積，該法是本題的最優(yōu)解；方法二：利用正弦定理邊化角，求出，再結(jié)合余弦定理求出，即可求出面積．（4）已知中角、、所對的邊分別為、、，，，，則______．【答案】【分析】利用兩角的正弦公式以及正弦定理得出，根據(jù)已知條件求出的值，結(jié)合三角形的面積公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.【詳解】由得，則，即，由可知為銳角，則，得，由余弦定理得，即，解得．故答案為：.（5）已知外接圓的半徑為，且，若的面積為，則的值為________．【答案】2【分析】由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理進(jìn)行化簡可求，然后結(jié)合三角形面積公式可求．【詳解】解：因為，由正弦定理得，，由余弦定理得，所以由得，若的面積，所以，解得．故答案為：2．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：三角形面積計算問題要適當(dāng)選用公式，可以根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化．命題點(diǎn)4求三角形中的邊長或周長的最值或范圍例5．（1）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．=1\*GB3①求B；=2\*GB3②若的面積等于，求的周長的最小值．【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②【分析】=1\*GB3①利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)輔助角公式及三角函數(shù)即可得解；=2\*GB3②由題意可得ac＝4，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】=1\*GB3①解：因為，所以，因為，所以，所以，∵，所以，所以，∴；=2\*GB3②解：依題意，∴ac＝4，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又由余弦定理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時取等號，所以的周長最小值為．（2）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．=1\*GB3①求角B的大小；=2\*GB3②若，求周長的取值范闈．【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②【分析】=1\*GB3①利用正弦定理邊角互化后變形整理可求；=2\*GB3②理由正弦定理分別表示出，然后運(yùn)用輔助角公式整理化簡后可求.【詳解】=1\*GB3①由正弦定理得，整理得，即，∵，，角B為銳角，∴．=2\*GB3②由正弦定理，可得，，∴．∵是銳角三角形，∴，解得，∴，∴，∴，即，而，∴周長的取值范圍為．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：=1\*GB2⑴高考中考查求解三角形的范圍問題時：方法一：求解周長最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.方法二：采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍進(jìn)行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.方法三：巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問題.=2\*GB2⑵解三角形范圍問題要注意以下內(nèi)容：=1\*GB3①運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理：A+B+C=，大邊對大角．=2\*GB3②已知條件中的范圍限制要留意，如：已知△ABC為銳角三角形，則要求三個角均為銳角之外，還要求A+B＞，解題時要盡量把范圍縮到最小限度．=3\*GB3③涉及求范圍的問題，一定要搞清已知量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解．已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．（3）在中，的對邊分別為，且滿足.=1\*GB3①求；=2\*GB3②若，求的取值范圍.【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②【分析】=1\*GB3①利用正弦定理和三角公式得到，即可求出；=2\*GB3②利用正弦定理表示出，利用三角函數(shù)求出最值.【詳解】=1\*GB3①在中，的對邊分別為，由正弦定理得.因為，所以，.∵，∴..=1\*GB3①由題意，則，則，由，得，則，故的取值范圍為命題點(diǎn)5求三角形面積的最值或范圍例6．（1）在銳角中，分別為角的對邊，已知，則的面積S的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件求出，利用三角形面積公式得到，采用極端值方法求出的最值，進(jìn)而得到的范圍，求出面積的取值范圍.【詳解】，因為為銳角三角形，故，，當(dāng)BC⊥AB時，，當(dāng)CB⊥AC時，，故，所以.故選：C（2）若在中，，則面積S的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式以及三角形面積公式，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值；故，又，故.故答案為：.（3）記的面積為S，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知①求角C.②求面積的最大值.【答案】①；②【分析】①利用余弦定理及三角形面積公式代入題設(shè)條件即可得到，從而得解；②結(jié)合①中結(jié)論，利用余弦定理與基本不等式求得，再利用三角形面積公式即可求得面積的最大值.【詳解】①因為，得，又由余弦定理得，由三角形面積公式得，所以，則，因為，所以.②由①及余弦定理得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，所以，所以面積的最大值為.（4）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.①求B；②若為銳角三角形，且，求的面積S的取值范圍.【答案】①；②【分析】①根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，即可求得答案;②由正弦定理表示出邊長，進(jìn)而表示出三角形面積，利用為銳角三角形，確定角C范圍，即可求得答案.【詳解】①由題意知中，，由正弦定理，為外接圓半徑，得，，，，∴，又，所以，即.②∵，∴，即，又，∴由正弦定理得，∴，∵為銳角三角形，∴，解得，從而，即.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解與三角形中邊角有關(guān)的量的取值范圍時，主要有兩大方法：=1\*GB3①利用已知條件和有關(guān)定理，將所求的量用三角形的某個內(nèi)角或某條邊表示出來，結(jié)合三角形中邊角的取值范圍、函數(shù)值域求法求解范圍即可。=2\*GB3②利用余弦定理公式進(jìn)行合理變形，巧妙結(jié)合基本不等式求最值，特別提醒不要忽略三角形三邊的關(guān)系，即兩邊之和大于第三邊。三．解三角形應(yīng)用舉例命題點(diǎn)1測量距離問題例7．（1）如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)km B．a(chǎn)kmC．a(chǎn)km D．2akm【答案】B【分析】先根據(jù)題意確定的值，再由余弦定理可直接求得的值．【詳解】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題．（2）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西勻速行駛，在公路北側(cè)遠(yuǎn)處一座高900米的山頂D的測得點(diǎn)A的在東偏南方向上過一分鐘后測得點(diǎn)B處在山頂?shù)氐臇|偏南方向上，俯角為，則該車的行駛速度為（

）A．15米/秒B．15米/秒C．20米/秒D．20米/秒【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，再除以時間即可得解.【詳解】根據(jù)題意，由B處在山頂俯角為，所以，由A東偏南，B東偏南，所以，所以為等腰三角形，所以，由，所以速度為米/秒，故選：A（3）為了測量河對岸兩點(diǎn)C，D間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點(diǎn)A，B處分別測得，，則間的距離為________.【答案】2【分析】在和中應(yīng)用正弦定理求得，然后在中應(yīng)用余弦定理可求得結(jié)果【詳解】解：在中，由正弦定理得，即，得，在中，由，所以為等邊三角形，,在中，，由余弦定理得，所以，故答案為：2命題點(diǎn)2測量高度問題例8．（1）東寺塔與西寺塔為“昆明八景”之一，兩塔一西一東，遙遙相對，已有1100多年歷史．東寺塔基座為正方形，塔身有13級，塔頂四角立有四只銅皮做成的鳥，俗稱金雞，所以也有“金雞塔”之稱．如圖，在A點(diǎn)測得：塔在北偏東30°的點(diǎn)處，塔頂?shù)难鼋菫?0°，且點(diǎn)在北偏東60°．相距80（單位：），在點(diǎn)測得塔在北偏西60°，則塔的高度約為（

）A．69 B．40 C．35 D．23【答案】B【分析】根據(jù)題意構(gòu)造四面體C-ABD,再運(yùn)用線面位置關(guān)系及三角形相關(guān)知識求解出相應(yīng)的線段長即可.【詳解】如圖，根據(jù)題意，圖中平面ABD,,中，，又平面ABD，是直角三角形中，，選項B正確，選項ACD錯誤故選：B.（2）岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年(215年)，歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.自古有"洞庭天下水，岳陽天下樓"之美譽(yù).小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線，如圖，測得，，米，則岳陽樓的高度約為(，)（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.【詳解】Rt△ADC中，，則，Rt△BDC中，，則，由AC-BC=AB得，約為米.故選：B（3）如圖，在離地面高400的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知，求山的高度__________..【答案】【分析】先根據(jù)已知條件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根據(jù)的關(guān)系求解出.【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，又因為，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是將中的角和邊先求解出來，然后利用正弦定理求解出的值，再借助直角三角形中邊的關(guān)系達(dá)到求解高度的目的.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：測量高度此類問題特點(diǎn)：底部不可到達(dá)，且涉及與地面垂直的平面，觀測者兩次觀測點(diǎn)所在直線不經(jīng)過“目標(biāo)物”，解決辦法是把目標(biāo)高度轉(zhuǎn)化為地平面內(nèi)某量，從而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)解三角形問題.命題點(diǎn)3測量角度問題例9．（1）一艘船航行到點(diǎn)處時，測得燈塔與其相距30海里，如圖所示.隨后該船以20海里/小時的速度，沿直線向東南方向航行1小時后到達(dá)點(diǎn)，測得燈塔在其北偏東方向，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知的值，利用正弦定理即可求解.【詳解】解：由題意可知，，海里，由正弦定理可得=，代入數(shù)據(jù)得.故選：C.（2）如圖，某人在一條水平公路旁的山頂P處測得小車在A處的俯角為30°，該小車在公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后，到達(dá)B處，此時測得俯角為45°.已知此山的高，小車的速度是，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】可由，算得,由，算得,由行使時間和速度算得，再由余弦定理解出.【詳解】由題意可得，，，，，則，.因為，所以由余弦定理可知，.故選：A.【點(diǎn)睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問題還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.（3）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ等于（）A． B． C．－1 D．－1【答案】C【分析】在ABC中，由正弦定理得AC＝100，再在ADC中，由正弦定理得解.【詳解】在ABC中，由正弦定理得，∴AC＝100．在ADC中，，∴cosθ＝sin(θ＋90°)＝.故選：C【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解一個三角形需要已知三個幾何元素（邊和角），且至少有一個為邊長，對于未知的幾何元素，放到其它三角形中求解.1．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計算即可詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.2．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則的值是（

）A．6 B．8 C．4 D．2【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合題干條件可得到，再由余弦定理得，代入已知條件可得到最終結(jié)果.【詳解】因為，根據(jù)正弦定理得到：故得到再由余弦定理得到：代入，，得到.故選：A.3．在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．4．在中，，則三角形的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】利用余弦定理化簡題給條件即可得到，進(jìn)而得到的形狀為直角三角形.【詳解】中，，則，整理得，則，則的形狀為直角三角形，故選：A.5．在中，若，則的形狀為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)二倍角公式以及正余弦定理邊角互化即可求解.【詳解】由二倍角公式可得,由正弦定理可得，由余弦定理邊角互化可得：，化簡得，因此或，故為直角三角形，故選：B6．的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法不正確的是（

）A．若，則B．若，則有兩解C．若為鈍角三角形，則D．若三角形為斜三角形，則【答案】C【分析】由大角對大邊及正弦定理判斷A；由，可得有兩解，從而判斷B；由余弦定理判斷C；由三角形的內(nèi)角和公式、兩角和和正切公式及誘導(dǎo)公式判斷D.【詳解】對于A選項，若，則，由正弦定理可得，所以，，故A選項正確；對于B選項，，則，如圖：所以有兩解，B選項正確；對于C選項，若為鈍角三角形且為鈍角，則，可得，C選項錯誤；對于D，因為，所以因為，所以，所以，所以D正確.故選：C.7．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，則B．若為銳角三角形，則C．若，則一定為直角三角形D．若，則可以是鈍角三角形【答案】D【分析】A.由正弦定理及三角形中大角對大邊即可判斷.B.通過內(nèi)角和為化簡，再借助角為銳角得到角滿足的關(guān)系，在再取角的正弦值化簡即可.C.邊化角，運(yùn)用兩角差的正弦公式化簡，得到角的關(guān)系，再借助內(nèi)角和為計算即可得到.D.通過內(nèi)角和為化簡角，再利用兩角和的正切公式化簡即可得到，然后判斷即可.【詳解】A.因為，所以由正弦定理知，又因為在三角形中大角對大邊，所以.故選項A正確.B.因為為銳角三角形，所以，即，所以.故選項B正確.C.由正弦定理邊化角得,則或（舍），則,即，則一定為直角三角形.故選項C正確.D.又因為最多只有一個角為鈍角，所以，即三個角都為銳角,所以為銳角三角形.故選項D錯誤.故選：D.8．在中，若，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理和正弦的差角公式得，進(jìn)而結(jié)合已知得，,進(jìn)而可得答案.【詳解】解：因為，所以所以，即，因為，所以，因為，所以，因為，所以，即是直角三角形.故選：A9．已知△ABC滿足，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】根據(jù)已知得到，利用正弦定理可求得，結(jié)合三角形內(nèi)角和為以及兩角和的正弦公式可求得，即可確定三角形形狀.【詳解】解：根據(jù)得到：，由正弦定理，可得，又C為三角形的內(nèi)角，得到，可得，又，∴，即，∴，且A和B都為三角形的內(nèi)角，∴，則的形狀為等腰三角形．故選：D．10．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的為（

）A．不可能構(gòu)成一個三角形的三邊長B．可以構(gòu)成一個直角三角形的三邊長C．可以構(gòu)成一個銳角三角形的三邊長D．可以構(gòu)成一個鈍角三角形的三邊長【答案】C【分析】令判斷A、C即可；由成直角三角形、成鈍角三角形不滿足題設(shè)判斷B、D.【詳解】若，則構(gòu)成銳角三角形，A錯誤，C正確；B：若為最大邊，且構(gòu)成直角三角形，則，顯然不滿足題設(shè)，錯誤；D：若為最大邊，且構(gòu)成鈍角三角形，則，顯然不滿足題設(shè)，錯誤；故選：C11．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；對于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；對于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.故選：B.12．在中，角的對邊分別為，當(dāng)?shù)耐饨訄A半徑時，面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理可化簡邊角關(guān)系式，從而可求，再利用余弦定理和基本不等式可求的最大值，從而可求面積的最大值.【詳解】因為，所以，故.因為，所以，故即，所以，由余弦定理得，得(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)，所以的面積.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于三角形的邊角關(guān)系，我們可以利用正弦定理或余弦定理將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊或角的關(guān)系式，對于最值問題，可根據(jù)余弦定理構(gòu)建關(guān)于邊的等式關(guān)系，結(jié)合基本不等式求相應(yīng)的范圍.13．在中，角的對邊分別為，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理邊化角可化簡已知等式求得，進(jìn)而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：，，，，，，，，解得：；由余弦定理得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，.故選：B.14．如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距500km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從A點(diǎn)起飛以后，就沿與原來的飛行方向AB成角的方向飛行，飛行到中途C點(diǎn)，再沿與原來的飛行方向AB成角的方向繼續(xù)飛行到終點(diǎn)B點(diǎn).這樣飛機(jī)的飛行路程比原來的路程500km大約多飛了（）（，）A．10km B．20kmC．30km D．40km【答案】B【分析】由題得，再由正弦定理求出，即得解.【詳解】在中，由，得，由正弦定理得，所以，所以，所以，故選：B.15．如圖，一座垂直建于地面的信號發(fā)射塔的高度為，地面上一人在A點(diǎn)觀察該信號塔頂部，仰角為，沿直線步行后在B點(diǎn)觀察塔頂，仰角為，若，此人的身高忽略不計，則他的步行速度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用直角三角形邊角關(guān)系求出AD，BD，再利用余弦定理計算作答.【詳解】依題意，在中，，則m，在中，，則m，在中，，由余弦定理得：，即，解得m，即有，所以他的步行速度為.故選：D16．已知在中，，且，則該的形狀為（

）[附：]A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】利用已知邊長關(guān)系式可整理求得，進(jìn)而得到；由，結(jié)合兩角和差正弦公式化簡已知角的關(guān)系式，可得到，從而得到；由此可得形狀.【詳解】由得：，，即，，又，；由得：，即，，，，，，，即，為等邊三角形.故選：D.17．在中，若，，則C的取值范圍是（

）．A．B．C．D．【答案】A【分析】先由題意，得到為銳角，由正弦定理求得，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因為，所以為銳角，由正弦定理可得：，又，所，因此，因為為銳角，所以.故選：A.18．已知橢圓的方程為，若點(diǎn)在第二象限，且，則的面積（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，，，由橢圓的定義可知，在中由余弦定理可得，從而可得，再利用計算即可.【詳解】解：設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，，，由橢圓的定義可知，又因為，在中由余弦定理可得：，所以，所以，所以，所以.故選：B.19．在中，若，則的面積是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理得，聯(lián)立解出值，求出,再利用三角形面積公式即可求出答案.【詳解】由余弦定理得，代入，得，聯(lián)立化簡得，解得或（舍去），故，，則,故.故選：D.20．在中，角所對的邊分別為，若，則角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，整理可得：，由余弦定理可解得，結(jié)合為三角形內(nèi)角即可解得的取值范圍.【詳解】解：因為，整理可得：，由余弦定理可得：，由為三角形內(nèi)角，即，可得：.故選：C．21．（多選）在中，角所對的邊分別為，下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則為等腰直角三角形C． D．若，則為鈍角三角形【答案】ACD【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和三角形的面積公式，比例的等比性質(zhì)的應(yīng)用判斷結(jié)論.【詳解】對于A，若，所以，利用正弦定理可得，所以，故A正確；對于B，由于，利用正弦定理可得，整理得，即，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，由正弦定理，所以，故C正確；對于D，由于，所以，因為，所以中必有一個鈍角，故為鈍角三角形，故D正確.故選：ACD.22．（多選）對于，角的對邊分別為，有如下判斷，其中正確的判斷是（

）A．若，則B．若，則C．若，則符合條件的有兩個D．若，則是鈍角三角形【答案】ABD【分析】利用正、余弦定理、倍角公式以及三角形的一些結(jié)論進(jìn)行判斷求解.【詳解】對于選項A，若，則，由正弦定理有：，故A正確；對于選項B，若，則由正弦定理有：，所以，即，故B正確；對于選項C，若，顯然三角形的一個內(nèi)角及兩鄰邊確定，則符合條件的只一個，故C錯誤；對于選項D，若，由正弦定理有：，由余弦定理可知，，所以在中，角C為鈍角，所以是鈍角三角形，故D正確.故選：ABD.23．（多選）在中各角所對得邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有（

）A．則為等邊三角形；B．已知，則；C．已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為；D．在，，，解三角形有兩解．【答案】ABC【分析】利用正弦定理、余弦定理一一計算可得；【詳解】解：對于A：若，則，即，即，即是等邊三角形，故A正確；對于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正確．對于C：因為，，，所以，所以，所以，，，故C正確；對于D：因為，，，所以，即解得，因為，所以，所以三角形只有1解；故選：ABC24．（多選）已知a，b，c分別為的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，若滿足條件的三角形有兩個，則x的值可能為（

）A．1 B．1.5 C．1.8 D．2【答案】BC【分析】利用正弦定理求得，再根據(jù)三角形有兩解的條件可得，且，由此求出x的范圍即可得解.【詳解】在中，由正弦定理得，，因滿足條件的三角形有兩個，則必有，且，即，于是得，解得，顯然x可取1.5，1.8.故選：BC25．（多選）在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有一解的是（

）A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a(chǎn)＝6，b＝3，B＝60° D．a(chǎn)＝20，b＝30，A＝30°【答案】BC【分析】利用正弦定理，結(jié)合三角形個數(shù)的判斷，判斷各選項的正誤．【詳解】解：對于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°，∴由正弦定理可得：，無解；對于B，b＝5，c＝4，B＝45°，∴由正弦定理可得：，且c＜b，有一解；對于C，∵a＝6，b＝，B＝60°，∴由正弦定理可得：，此時C＝30°，有一解；對于D，∵a＝20，b＝30，A＝30°，∴由正弦定理可得：，且b＞a，則，∴B有兩個可能值，即有兩解，故選：BC．【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用正弦定理判斷三角形解的個數(shù)時需要注意：（1）正弦值的范圍：；（2）利用正弦定理求解出正弦值后，注意結(jié)合“大邊對大角，小邊對小角”對結(jié)果進(jìn)行取舍.26．（多選）在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若a=4，b=6，A=30°，則三角形有一解 B．a(chǎn)＝bcosC+ccosBC．若sin2A＝sin2B，則△ABC一定為等腰三角形 D．若A＝60°，a＝5，則△ABC面積的最大值為【答案】BD【分析】由正弦定理得有兩解，所以三角形有兩解，所以A錯誤；化簡得，所以B正確；由題得或，所以為等腰三角形或直角三角形，所以C錯誤；由題意可得，，所以，所以D正確．【詳解】解：由正弦定理得,所以有兩解，所以三角形有兩解，所以A錯誤；，所以B正確；由，得或，所以為等腰三角形或直角三角形，所以C錯誤；由題意可得，又，所以，所以，所以，所以D正確．故選：BD．27．（多選）在中，角,,所對的邊分別為,,，下列四個命題中，正確的命題為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則這個三角形有兩解【答案】BCD【分析】對于A選項，利用余弦定理即可判斷；對于B選項，先解得，，，再利用正弦定理即可求解；對于C選項，利用邊角關(guān)系定理以及正弦定理即可判斷；對于D選項，利用正弦定理，再結(jié)合邊角關(guān)系定理即可判斷.【詳解】對于A，因為，則所以，故A錯誤;對于B,若，又，則，，則，故B正確;對于C，若，則由正弦定理可得（為的外接圓半徑）所以，故C正確;對于D,由正弦定理得,所以,由得,所以為銳角或鈍角，有兩解，故D正確.故選:BCD28．已知內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則面積為___________.【答案】【分析】利用正弦定理求得，結(jié)合余弦定理求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】，由正弦定理得：，即由余弦定理得：，即，解得：，又，，，，所以的面積為.故答案為：.29．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，下列說法正確的是________．①若A＝30°，b＝5，a＝2，則有2解

②若，則③若，則為銳角三角形

④若，則為等腰三角形或直角三角形【答案】②③④．【分析】①由正弦定理解出，進(jìn)而判斷是否存在；②先由正弦定理得到，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系即可判斷；③由三角形中最多只有一個內(nèi)角為銳角即可判斷；④由余弦定理角化邊化簡即可.【詳解】①由正弦定理可得：，

，此時無解，故①錯誤；

②，，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可知，故②正確；③，且角A，B，C為的內(nèi)角

，

可知A，B，C均為銳角，則為銳角三角形，故③正確；

④，由余弦定理可得：，整理得：，或，

即或，∴為等腰三角形或直角三角形，故④正確．

故答案為：②③④．30．如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點(diǎn)，從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測得．已知山高，則山高_(dá)_________．【答案】150【詳解】試題分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案為150．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用．31．如圖，隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊先選取相距km的C，D兩點(diǎn)，同時，測得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A，B，C，D在同一平面內(nèi)），則AB=______km..【答案】【分析】先由題得，再由正弦定理解得，最后根據(jù)余弦定理解得.【詳解】在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.∴BC=.在△ABC中，由余弦定理，得AB2=()2+2－2×××cos75°=3+2+=5，∴AB=(km)故答案為：32．已知分別滿足下列條件，請依次判斷的形狀．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)，且．【答案】(1)直角三角形(2)直角三角形(3)等腰三角形(4)等腰三角形(5)等邊三角形【分析】（1）由正弦定理求解；（2）由正弦定理及二倍角公式化簡求解；（3）由正弦定理角化邊求解；（4）由余弦定理求解；（5）由余弦定理及積化和差公式化簡可求解.【詳解】(1)因為，故為直角三角形.(2)由，得，則或，又，所以，即為直角三角形.(3)因為，故為等腰三角形.(4)因為，故為等腰三角形(5)由，得，則，又，所以．由余弦定理，得，即．又，得，解得，所以．綜上，故為等邊三角形33．如圖，在平面四邊形中，．(1)若，求；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接后由余弦定理與兩角和的正弦公式求解（2）由余弦定理與面積公式求解【詳解】（1）連接，在中，，且，，所以．在中，由余弦定理得，所以．所以（2）在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以四邊形的面積為34．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若點(diǎn)D在CB的延長線上，CB＝BD，AD＝l，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到，結(jié)合，求出；（2）設(shè)，則，由正弦定理得到，從而表達(dá)出.【詳解】（1），由正弦定理得：，因為，所以，故，即，因為，所以，故，因為，所以，故（2）在中，，設(shè)，則，由正弦定理得：，即，解得：，故，因為，所以，的取值范圍是.35．記銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過化簡得，則，結(jié)合解得；（2）根據(jù)余弦定理得，則，則轉(zhuǎn)化為求的范圍，根據(jù)正弦定理得，求出，則，則，則得到答案.【詳解】（1）因為，即，所以，即，所以，因為，，所以，同理得，所以或（不成立），所以，結(jié)合得．（2）由余弦定理得，，所以，則，由正弦定理得，，因為，，，，所以，，所以，．36．在平面四邊形ABCD中，AD＝BD＝1，．(1)求四邊形ABCD面積的最大值；(2)求對角線AC長的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)四邊形ABCD面積由兩個三角形面積組成，表示出面積，用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得面積的最大值.(2)對角線長由余弦定理表示為，結(jié)合正弦定理，用輔助角公式化簡求取值范圍.【詳解】（1）因為AD＝BD＝1，，所以三角形ABD為正三角形．設(shè)BC＝a，CD＝b．在三角形BCD中，由余弦定理得，所以，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以四邊形ABCD的面積，即最大值為；（2）設(shè)，在三角形BCD中，由正弦定理得，，所以，在三角形ABC中，由余弦定理得，，因為，所以，所以．37．已知三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且．(1)求角B；(2)若b＝2，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理把已知等式邊化角，再由，得，則角B可求；（2）由余弦定理及重要不等式得，利用兩邊之和大于第三邊可得，即可得的范圍．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（2）由，可得：,又，∴即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，又，∴的取值范圍為．38．的內(nèi)角的對邊分別為，已知，．(1)求；(2)若，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由兩角和的余弦公式即可求得.（2）由正弦定理求出，再由余弦定理求出的值，即可求出的周長【詳解】（1）由題意在中，，∴，∴，∵，∴（2）由題意及（1）得在中，由正弦定理可得，又由（1）得，∴；由余弦定理可得，∴，∴，∴的周長為：．39．銳角中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，．(1)求B的大小；(2)若，求b的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，再根據(jù)三角形中內(nèi)角的關(guān)系求解即可；（2）由正弦定理化簡可得，再根據(jù)正弦定理，結(jié)合銳角三角形的性質(zhì)與角度范圍求解即可.【詳解】（1）由正弦定理，，故.又為銳角三角形，故，故，即，解得.（2）由正弦定理，即，又，故.由正弦定理可得.因為，且為銳角三角形，故,且，可得.故，即，故，即b的取值范圍為40．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c、滿足．(1)求角B的大?。?2)若