2026屆遼寧省遼西高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，則向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）2．函數(shù)的圖象大致為（）A B.C D.3．已知圓的圓心在x軸上，半徑為1，且過點(diǎn)，圓：，則圓，的公共弦長(zhǎng)為A. B.C. D.24．命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5．已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A. B.C. D.6．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.9C. D.7．《米老鼠和唐老鴨》這部動(dòng)畫給我們的童年帶來了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個(gè)圓構(gòu)成米奇的簡(jiǎn)筆畫形象.已知3個(gè)圓方程分別為：圓圓，圓若過原點(diǎn)的直線與圓、均相切，則截圓所得的弦長(zhǎng)為（）A B.C. D.8．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.66 B.65C.64 D.639．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線上，直線FA與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若，且，則（）A.1 B.2C.3 D.410．若存在過點(diǎn)（0，－2）的直線與曲線和曲線都相切，則實(shí)數(shù)a的值是（）A.2 B.1C.0 D.－211．在空間直角坐標(biāo)系中，，，平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面夾角的正弦值為（）A. B.C. D.12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值為__________14．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)m的值為______15．設(shè)為曲線上一點(diǎn)，，，若，則__________16．已知圓，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線的方程是___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)（其中A在B的上方），過線段AB的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線OA、OB，l于點(diǎn)P、Q、N（1）試探索PM與NQ長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)P、Q是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，求直線AB的斜率；（3）當(dāng)P、Q不是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，證明：以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長(zhǎng)為半徑的圓Q不可能包圍線段NP18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，直線垂直于平面分別為的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn).（1）證明：與不垂直；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù).若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，，，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）的左頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，求證：21．（12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和.22．（10分）已知橢圓的上一點(diǎn)處的切線方程為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P為直線上任一點(diǎn)，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：B.2、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)值確定正確選項(xiàng).【詳解】由，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，可得選項(xiàng)為A故選：A3、A【解析】根據(jù)題意設(shè)圓方程為:,代點(diǎn)即可求出,進(jìn)而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長(zhǎng).【詳解】設(shè)圓的圓心為,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,將點(diǎn)代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長(zhǎng)為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關(guān)系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時(shí),常利用垂徑定理解決問題.4、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義寫出逆否命題即得【詳解】解：以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為原命題的逆否命題，即“若，則”的逆否命題是“若，則”故選：C5、C【解析】，故，即，故漸近線方程為.【考點(diǎn)】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.6、A【解析】根據(jù)，將式子化為，進(jìn)而化簡(jiǎn)，然后結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A.7、A【解析】設(shè)直線，利用直線與圓相切，求得斜率，再利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線.由直線與圓、圓均相切，得解得(1).設(shè)點(diǎn)到直線的距離為則(2).又圓的半徑直線截圓所得弦長(zhǎng)結(jié)合(1)(2)兩式，解得8、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的片段和性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題知：，，，所以，，成等比數(shù)列，即5，15，成等比數(shù)列，所以，解得.故選：B.9、D【解析】設(shè)，由和在拋物線上，求出和，利用求出p.【詳解】過A作AP垂直x軸與P.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.設(shè)，因?yàn)?，所以，解得?因?yàn)樵趻佄锞€上，則.所以，即，解得：.故選：D10、A【解析】在兩曲線上設(shè)切點(diǎn)，得到切線，又因?yàn)椋?，－2）在兩條切線上,列方程即可.【詳解】的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，若直線與和的切點(diǎn)分別為（，），，∴過（0，－2）的直線為、，則有，可得故選：A.11、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再借助空間向量夾角公式即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)平面的法向量為，則，令，得，令平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為.故選：A12、C【解析】由題意確定流程圖的功能，然后計(jì)算其輸出值即可.【詳解】運(yùn)行程序，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，滿足，利用裂項(xiàng)求和可得：.故選：C.【點(diǎn)睛】識(shí)別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)(2)要識(shí)別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所解決的實(shí)際問題(3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過焦點(diǎn)F作直線：的垂線，此時(shí)取得最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過焦點(diǎn)F作直線：的垂線，此時(shí)取得最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，即的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及拋物線的最值問題，其中解答中根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題.14、【解析】由兩直線平行的判定可得求解即可，注意驗(yàn)證是否出現(xiàn)直線重合的情況.【詳解】由題設(shè)，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè).故答案為：15、4【解析】化簡(jiǎn)曲線方程，得到雙曲線的一支，結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果【詳解】由，得，即，故為雙曲線右支上一點(diǎn)，且分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義，解題時(shí)要先化簡(jiǎn)曲線方程，然后再結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)16、【解析】設(shè)，利用以為中點(diǎn)的弦所在的直線即為經(jīng)過點(diǎn)且垂直于AC的直線求得直線斜率，由點(diǎn)斜式可求得直線方程【詳解】圓的方程可化為，可知圓心為設(shè)，則以為中點(diǎn)的弦所在的直線即為經(jīng)過點(diǎn)且垂直于的直線．又知，所以，所以直線的方程為，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓的幾何性質(zhì)，考查直線方程求解，是基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】（1）根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程及，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，三點(diǎn)共線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)已知條件得出，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得出直線的斜率；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論及求根公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合的表達(dá)式，結(jié)合圖形可知,由的范圍和的取值即可證明.【小問1詳解】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè)直線的方程為，則，消去，得，，，所以直線的方程為，由因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，同理，，,所以，所以.【小問2詳解】因?yàn)镻、Q是線段MN的三等分點(diǎn)，所以，，，又，，所以，所以，解得或（舍）所以直線AB的斜率為.【小問3詳解】由（1）知，，得，所以，，又,,,,當(dāng)時(shí)，,由圖可知，,而只要，就有,所以當(dāng)P、Q不是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長(zhǎng)為半徑的圓Q不可能包圍線段NP18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算得出，即可證得結(jié)論成立；或利用反證法；（2）利用空間向量法即求.【小問1詳解】方法一：如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、設(shè)，因?yàn)?，，因?yàn)椋?，得，即點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，故與不垂直方法二：假設(shè)與垂直，又直線平面平面，所以.而與相交，所以平面又平面，從而又已知是正方形，所以與不垂直，這產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立，即與不垂直得證.【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，又，因?yàn)?，所以，令，?設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，令，?因?yàn)?顯然二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值是.19、.【解析】求得，根據(jù)其在上有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，令，由題意可知在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).又，若，則，故在上為增函數(shù)，這與在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)矛盾，故.當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，故，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)不同零點(diǎn)，故，即，即，取，，故在有一個(gè)零點(diǎn)，取，，令，，則，故在為減函數(shù)，因?yàn)?，故，故，故在有一個(gè)零點(diǎn)，故在上有兩個(gè)零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，涉及零點(diǎn)存在定理，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬綜合困難題.20、（1）；（2）證明見解析【解析】(1)由可求出，結(jié)合離心率可知，進(jìn)而可求出，即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題意知，，則由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的解析式為，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理可得，從而由斜率的計(jì)算公式對(duì)進(jìn)行整理化簡(jiǎn)從而可證明.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以．又因?yàn)殡x心率，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）證明：由題意知，，，則直線的解析式為，代入橢圓方程，得設(shè)，，則．又因?yàn)椋?，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題第二問的關(guān)鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程后，結(jié)合韋達(dá)定理，用表示交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，從而代入進(jìn)行整理化簡(jiǎn).21、（1）（2）【解析】（1）由與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義得出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得出，再由錯(cuò)位相減法得出的前項(xiàng)和.【小問1詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，所以，所以，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以.22、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)