廣東省珠海市紫荊中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A.為的極大值點B.為的極大值點C.為的極大值點D.為的極小值點2．已知動點的坐標滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.3．在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.4．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.5．某手機上網(wǎng)套餐資費：每月流量500M以下（包含500M），按20元計費；超過500M，但沒超過1000M（包含1000M）時，超出部分按0.15元/M計費；超過1000M時，超出部分按0.2元/M計費，流量消費累計的總流量達到封頂值（15GB）則暫停當月上網(wǎng)服務(wù).若小明使用該上網(wǎng)套餐一個月的費用是100元，則他的上網(wǎng)流量是（）A.800M B.900MC.1025M D.1250M6．已知三維數(shù)組，，且，則實數(shù)（）A.-2 B.-9C. D.27．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，，若以上兩函數(shù)的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，則m的值為（）A.2 B.5C.1 D.08．如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項和，則（）A.8 B.9C.10 D.119．設(shè)數(shù)列、都是等差數(shù)列，若，則等于（）A. B.C. D.10．下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是（）A.由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和B.由滿足對都成立，推斷：為奇函數(shù)C.由半徑為的圓的面積，推斷單位圓的面積D.由，，，…，推斷：對一切，11．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.＋1 D.12．設(shè)為空間中的四個不同點，則“中有三點在同一條直線上”是“在同一個平面上”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知線段AB的長度為3，其兩個端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，點M滿足．則點M的軌跡方程為______14．已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線：有公共的焦點，其中為左焦點，P是與在第一象限的公共點.線段的垂直平分線經(jīng)過坐標原點，則的最小值為_____________.15．雙曲線離心率__________.16．已知拋物線方程為，則其焦點坐標為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和18．（12分）新疆長絨棉品質(zhì)優(yōu)良，纖維柔長，被世人譽為“棉中極品”，產(chǎn)于我國新疆的吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標之一，在新疆某地區(qū)成熟的長絨棉中隨機抽測了一批棉花的纖維長度（單位：mm），將樣本數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值；（2）估計該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值為代表）；（3）根據(jù)棉花纖維長度將棉花等級劃分如下：纖維長度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等級二等品一等品特等品從該地區(qū)成熟的棉花中隨機抽測兩根棉花的纖維長度，用樣本的頻率估計概率，求至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率.19．（12分）命題p：關(guān)于x的不等式對一切恒成立；命題q：函數(shù)在上遞增，若為真，而為假，求實數(shù)的取值范圍20．（12分）如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，（1）設(shè)，，，用向量表示，并求出的長度；（2）求異面直線與所成角的余弦值21．（12分）已知橢圓（）的離心率為，一個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點，直線（）與橢圓交于不同的兩點，且與x軸交于點，為線段的中點，點關(guān)于軸的對稱點為.證明：是等腰直角三角形.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖像可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)的極值【詳解】由的圖像可知，在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，所以為的極大值點，和為的極小值點，不是函數(shù)的極值點，故選：A2、C【解析】此方程表示點到點的距離與到點的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.3、B【解析】結(jié)合已知條件，利用對稱的概念即可求解.【詳解】不妨設(shè)點關(guān)于軸對稱的點的坐標為，則線段垂直于軸且的中點在軸，從而點關(guān)于軸對稱的點的坐標為.故選：B.4、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，所以，解得，故選：D5、C【解析】根據(jù)已知條件列方程，化簡求得小明的上網(wǎng)流量.【詳解】顯然小明上網(wǎng)流量超過了1000M但遠遠沒達到封頂值，假設(shè)超出部分為M，由得.故選：C6、D【解析】由空間向量的數(shù)量積運算即可求解【詳解】∵，，，，，，且，∴，解得故選：D7、C【解析】設(shè)兩曲線與公共點為，分別求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)兩函數(shù)的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，列出等式，求得公共點的坐標，代入函數(shù)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)兩曲線與公共點為，其中，由，可得，則切線的斜率為，由，可得，則切線斜率為，因為兩函數(shù)的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，所以，解得或（舍去），又由，即公共點的坐標為，將點代入，可得.故選：C.8、B【解析】由題意可得的邊長，進而可得周長及，進而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項和，所以，故選：B.9、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)數(shù)列是等差數(shù)列可求得，由此可得出，進而可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，即，由于數(shù)列也為等差數(shù)列，則，可得，即，可得，即，解得，所以，數(shù)列為常數(shù)列，對任意的，，因此，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列基本量的求解，通過等差數(shù)列定義列等式求解公差是解題的關(guān)鍵，另外，在求解有關(guān)等差數(shù)列基本問題時，可充分利用等差數(shù)列的定義以及等差中項法來求解.10、A【解析】根據(jù)歸納推理是由特殊到一般，推導(dǎo)結(jié)論可得結(jié)果.【詳解】對于A，由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和，是由特殊推導(dǎo)出一般性的結(jié)論，且，故A正確；B和C屬于演繹推理，故不正確；對于D，屬于歸納推理，但時，結(jié)論不正確，故D不正確.故選：A.11、A【解析】設(shè)F′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，根據(jù)圓的切線性質(zhì)和三角形中位線得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用雙曲線的定義求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立關(guān)系即可求得離心率的值.【詳解】不妨設(shè)E在x軸上方，F(xiàn)′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，如圖所示:因為PF是圓O的切線，所以O(shè)E⊥PE，又E，O分別為PF，F(xiàn)F′的中點，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據(jù)雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，聯(lián)想到雙曲線的另一個焦點，作輔助線，利用雙曲線的定義是求解離心率問題的有效方法.12、A【解析】由公理2的推論即可得到答案.【詳解】由公理2的推論:過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面,可得在同一平面,故充分條件成立;由公理2的推論：過兩條平行直線,有且只有一個平面,可得,當時,同一個平面上,但中無三點共線,故必要條件不成立;故選:A【點睛】本題考查點線面的位置關(guān)系和充分必要條件的判斷,重點考查公理2及其推論;屬于中檔題;公理2的三個推論：經(jīng)過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面;經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面;經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面;二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出動點，根據(jù)已知條件得到關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)，由，有，得，所以，由得：，所以點的軌跡的方程是.故答案為：14、##4.5【解析】設(shè)為右焦點，半焦距為，，由題意，，則，所以，從而有，最后利用均值不等式即可求解.【詳解】解：設(shè)為右焦點，半焦距為，，由題意，，則，所以，即，故，當且僅當時取等，所以，故答案為：.15、【解析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.【詳解】由已知，可得，所以，所以.故答案為：16、【解析】先將拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標準方程的形式，即可判斷拋物線的焦點坐標為，從而解得答案.【詳解】解：因為拋物線方程為，即，所以，，所以拋物線的焦點坐標為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由等比數(shù)列的通項公式計算基本量從而得出的通項公式；（2）由(1)可得，再由裂項相消法求和即可.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，所以有，，聯(lián)立兩式解得或又因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】∵，∴，∴18、（1）（2）（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1，可求出答案.（2）根據(jù)平均數(shù)的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纖維長度達到特等品的概率，然后分恰好有一根和兩根棉花小問1詳解】由解得【小問2詳解】該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：【小問3詳解】由題意一根棉花纖維長度達到特等品的概率為：兩根棉花中至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率19、【解析】依題意，可分別求得p真、q真時m的取值范圍，再由p∨q為真，而p∧q為假求得實數(shù)a的取值范圍即可【詳解】命題p：關(guān)于x的不等式x2+2ax+4＞0對一切x∈R恒成立；①若命題p正確，則△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；②命題q：函數(shù)f（x）＝logax在（0，+∞）上遞增?a＞1，∵p∨q為真，而p∧q為假，∴p、q一真一假，當p真q假時，有，∴﹣2＜a≤1；當p假q真時，有，∴a≥2∴綜上所述，﹣2＜a≤1或a≥2即實數(shù)a的取值范圍為（﹣2，1]∪[2，+∞）【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假，分別求得p真、q真時m的取值范圍是關(guān)鍵，考查理解與運算能力，屬于中檔題20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)向量加減法運算法則可得，根據(jù)計算可得的長度；（2）根據(jù)空間向量的夾角公式計算可得結(jié)果.【小問1詳解】，因為，同理可得，所以【小問2詳解】因為，所以，因為，所以所以異面直線與所成角的余弦值為21、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）由題知，進而結(jié)合求解即可得答案；（2）設(shè)點，，進而聯(lián)立并結(jié)合題意得或，進而結(jié)合韋達定理得，再的中點為，證明，進而得，，故，綜合即可得證明.【小問1詳解】解：因為橢圓的離心率為，一個焦點為所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)點，則點,所以聯(lián)立方程得，所以有，解得，因為，故或設(shè)，所以設(shè)向量，所以，所以，即，設(shè)的中點為，則所以，又因為，所以，所以，因為