1.1空間向量及其運算

【考點歸納】

【知識梳理】

知識點一、空間向量的概念

1.定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量.

2.注：空間中的任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.

2.長度或模：向量的大小.

3.表示方法：

①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；

②字母表示法：用字母m4c,…表示；若向量a的起點是A,終點是8,也可記作贏，其模記為間或麗|.

4.幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向量與向量。長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為一。

共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么

（平行向量）這些向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定:對于任意向量。，都有0〃。

相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量

知識點二、空間向量的線性運算

加法。+5=d+AB=OB

空間向減法a-b=OA~OC=CA0aA

量的線

當(dāng)X)時，Xa=/.OA=PQ,

性運算M[Q，

數(shù)乘/Aa(A>0)/Aa(A<0)

當(dāng)代0時，/.a=/.OA=MN；I：JL

當(dāng)4=0時，2a=0

交換律:。+〃=力+”；

運算律

結(jié)合律:a+S+c）=（a+〃）+c,如。）=如）。；

分配律：A（a+Z>）=za+zZ>.

知識點三、共線向量

1.空間兩個向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量。，方SNO)，的充要條件是存在實數(shù)幾使。=油.

2.直線的方向向量：在直線/上取非零向量m我們把與向量。平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

知識點四、共面向量

1.共面向量；如圖，如果表示向量。的有向線段后所在的宜線。4與直線/平行或重合，那么稱向量”平行于直

線/.如果宜線。4平行于平面?；蛟谄矫鎍內(nèi)，那么稱向量。平行于平面a.平行于同一個平面的向量，叫做共面向

量.

ar

"o7'

一/

3.向量共面的充要條件：如果兩個向量。，力不共線，那么向量p與向量》共面的充要條件是存在唯一的有序

實數(shù)對口，y),使p=xa+)E

知識點五、空間向量的夾角

1.定義：已知兩個非零向量。，b,在空間任取一點。，作萬1=G,OB=b,則/AOB叫做向量a,b的夾角，記作

(a,b).

/Z

2.范圍：0W〈°,力〉WTL,特別地，當(dāng)《。，力〉=3時，a-Lb.y(

~b~^ObB

知識點六、空間向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a,b,則MIWIcosQ,力〉叫做。，。的數(shù)量積，記作。山.

定義即crb=|a||b|cos(a,b).

規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為o.

①。）=0

性質(zhì)

@a-a=a2=\a\1

?（Aa）b=A（ob）,AER.

運算律

②ab=b?a（交換律）.

③G（b+c）=ab+ec（分配律）.

知識點七、向量a的投影

1.如圖（1）,在空間，向量。向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面a內(nèi)，進(jìn)

而利用平面上向量的投影，得到與向量力共線的向量c,c=|a|cos儲，心卷，向量c稱為向量a在向量力上的投影

向量.類似地，可以將向量。向直線/投影（如圖（2））.

2.如圖（3）,向量〃向平面夕投影，就是分別由向量。的起點A和終點8作平面尸的垂線，垂足分別為A',B',

得到產(chǎn)R*,向量尸產(chǎn)稱為向量〃在平面夕上的投影向量.這時，向量〃，彳廠產(chǎn)的夾角就是向量〃所在直線

與平面少所成的角.

【例題詳解】

題型一、向量概念的應(yīng)用

【例1】.（24-25高二下?全國?課堂例題）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）

A.單位向量都相等

B.若|。|=|切，則。，〃的長度相等而方向相同或相反

C.若向量入8，CQ滿足|AB|>|CZ）|,則

D.相等向量其方向必相同

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向量的性質(zhì)，即可判斷各項的正誤.

【詳解】對于A中，單位向量長度相等，方向不確定，故A錯誤；

對于B中，|a|=g|只能說明〃，力的長度相等而方向不確定，故B錯誤；

對于C中，向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小，故C錯誤；

對于D中，相等向量其方向必相同，放D正確.

故選：D.

【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25高二上?山東?階段練習(xí)）給出下列命題：

①零向量的方向是任意的；

②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；

③若空間向量〃，〃滿足同=忖，則

④空間中任意兩個單位向量必相等.

其中正確命題的個數(shù)為（）.

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)零向量的定義判斷①，根據(jù)相等向量的定義判斷②③，根據(jù)單位向量定義判斷④.

【詳解】零向量是大小為0的向量，零向量的方向是任意的，命題①正確：

方向相同，大小相等的空間向量相等，它們的起點不一定相同，終點也不一定相同，命題②錯誤；

若空間向量"，8滿足同=忖，但由『它們的方向不一定相同，故d〃不一定相等，③錯誤；

空間中任意兩個單位向量由于它們的方向不一定相同，故它們不一定相等，④錯誤；

所以正確的命題只有1個；

故選：D.

【跟蹤訓(xùn)練2】（23-24高二上?全國）給出下列命題：

①零向量沒有方向：

②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；

③若空間向最，，力滿足卜|-忖，則a=0;

④若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=p；

⑤空間中任意兩個單位向量必相等.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.4B.3

C.2D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的有關(guān)定義判斷可得答案.

【詳解】零向量的方向是任意的，但并不是沒有方向，故①錯誤；

當(dāng)兩個空間向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等.但兩個向量相等，起點和終點不一定相同，故②

錯誤；

根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量〃與〃的方向不一定

相同，故③錯誤；

命題④顯然正確；

對于命題⑤，空間中任意兩個單位向量的模均為1,但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯誤.

故選：D.

題型二、空間向量的加減運算

【例2】（24-25高二上?山東黃澤?階段練習(xí)）如圖，在正方體A心GR中，化簡下列向量表達(dá)式:

⑴AB-BC；

⑵+A2+”.

(3)-(GD+GB)-AO

2

【答案】⑴。B

⑵AC

⑶G4,

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算結(jié)合圖形計算即可.

【詳解】（1）AB-BC=AB-AD=DB;

（2）4g+42+cc+GC=4C：

（3）,（GO+GB）-AO=gx2GO+OA,=GO+OA=GA.

【跟蹤訓(xùn)練1】（21-22高二?全國?課后作業(yè)）如圖所示，在正方體ABCO-AMGR中，下列各式中運算結(jié)果為向量

近的個數(shù)是（）

①（A6+〃cj+CG；②（9+AR）+RG③（A6+〃q）+4G；@（^A+A4）+4G?

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的加法法則判斷.

【詳解】由正方體AG，空間向量的加法法則可得.

（4B+BC）+CG=AC+CCi=4G；（A4,+AR）+QG=AD\+RG=AG；

（A8+Bq）+8]C]=AB1+81cl=AC]；（例+人用）+gCj=AB]+B}C]=ACX.

故選：D.

【跟蹤訓(xùn)練2】（23-24高二下?江蘇?課前預(yù)習(xí)）已知平行六面體化簡下列向量表達(dá)式，并在圖中

標(biāo)出化簡得到的向量：

⑴A8+AQ+/U'；

⑵。。-48+BC;

（3）人B+/IO+!（DD'-AC）.

【答案】（1）AC'.圖見解析

（2）胡，，圖見解析

（3）AM，圖見解析

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算依次求解即可.

【詳解】（1）AB+AD+AA!=AB+BC+CC=AC\

向量AC如圖所示，

(2)DD'-AB+BC=DD'-(AB-AD)=DD,-DB=BD,.

(3)A8+AQ+：(OOicj=AC+；(CC+C8)=AC+gc8，,

設(shè)M是線段。夕的中點，

貝ljAB+AD+；(￡>/y-BC)=AC+CM=AM.

向量4例如圖所示，

題型三：空間共線向量定理

【例3】（24-25高二上?湖南永州?期中）下列條件中，能說明空間中不重合的三點A、B、。共線的是（）

A.AB+BC=ACB.AB-BC=ACC.AB=-2BCD.網(wǎng)=兇

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的加法運算可判斷A,根據(jù)向量的減法以及相反向量可判斷B,根據(jù)共線向量的定義可判斷C,

向量的模長相等不一定能推出向量共線，即可判斷D.

【詳解】對于A,對于空間中的任意向量，都有4B+BC=AC，不能說明三點共線，說法A錯誤；

對于B,若AB-BC=AC，貝lJAC+BC=AB，而AC+CB=/W，據(jù)此可知“C=C3,即8,。兩點重合，選項B

錯誤；

對于C,AB=-2BC，MA>B、。三點共線，選項C正確；

對于D,卜8卜忸4,則線段44的長度與線段8C的長度相等，不一定有A、B、C三點共線，選項D錯誤：

故選：C.

【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26高二上?全國?課后作業(yè)）設(shè)向量q,4,不共面，已知A8=q+/+6，=q+G，

6=4%+86+%,若4C。三點共線，貝1」2=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用AC。三點共線得到再使用共線向量定理即可.

【詳解】因為AC。三點共線，所以4C7/C7）,則存在實數(shù)〃，使得AC=〃CZ）,

由已知得?！?=加+眥+4&3,AC=AB+BC=2e1+(l+A)e2+2ey,

故+8〃/+4〃％=四+(1+4)/+2e3,

2=4〃，1

由于q,/,%不共面，故J|+2=8〃,解得＜"F

2=4〃，A=3.

另解:因為向量卬//不共面，所以ACCD,

由已知得CD=4ei+Se2+46，=AZ?+BC=2et+（1+2）^2+2e3,

故向量表達(dá)式中4,6”名的系數(shù)對應(yīng)成比例，即［=*=:，解得幾=3?

故選：C.

【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25高二上?北京?期中）已知〃，b>c不共面，e=3a-tb-c，d=-2ta+6Z?4-2c?若。與d共線,

則實數(shù)r的值為（）

A.-3B.1C.3D.-3或3

【答案】C

【分析】利用空間向量平行充要條件即可求得實數(shù)，的值.

【詳解】e=3a-tb-cd=-2ta+6b+2c?

若e與一共線，則有e=2d，

3=-2。t=3

即卜”6/1,解之得,

,1,則/的值為3.

A,---

-1=2/12

故選：C

題型四、空間共面的向量定理

［例3］（24-25高二上?安徽銅陵?階段練習(xí)）己知A,3,。,。是空間不共面的四點，點尸滿足：5PA=PB+2CA+3DA

則（）

A.P,A,B,C四點共面B.P,A,B,。四點共面

C.P,B,C,。四點共面D.P,4,C,。四點共面

【答案】C

【分析】由空間向量共面定理的推論求解即可；

【詳解】因為5PA=P4+2CA+3OA，所以54。=BP+2AC+3AO，

^5AP=AB-AP+2AC+3AD，故=1AB+：4C+gAO,

632

因為!+!+?=i，所以p，8,c。四點共面,c正確.

另解：由已知得戶3=5PA—2cA—3DA=2PA—2C4+3R4—3D4=2PC+3P￡），

所以PB.PCP。共面，乂存在公共點P,所以P，B,C,Z）四點共面，C正確.

故選：C.

【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25高二上?湖南婁底?期末）已知。為空間任意一點，A8,CP四點共面，且任意三點不共線,

^OP=mOA--OB+OC,則/〃的值為（）

4

495

A.-B.-C.-D.1

544

【答案】C

【分析】借助空間向量的線性運算及四點共面的充要條件即可判斷選項.

【詳解】因為。為空間任意一點，。戶=〃?。4-2。8+。。，

又因為A,B,C,尸滿足任意三點不共線，但四點共面，

所以m-3+1=1,解得

44

故選：C.

【跟蹤訓(xùn)練2】（23-24高二上?安徽六安?期中）已知點尸在平面ABC內(nèi)，且對空間任意一點。，若

OP=xOA+-OB--OCf則x的值為（）

42

1515

A.-B.—C.——D.——

4444

【答案】B

【分析】利用空間向量的共面定理計算即可.

【詳解】由點P在平面A5C內(nèi)，可知以=4PB+〃PC=OA-OP=/1（O8-OP）+〃（OC-OP）

=>OP=———OA+-^—0B+—巴—OC,

%+〃-1A+//—14+〃-1

^OP=xOA+-OB--OC,

42

1

A=-------------

A+//—1

12三項相加可得

所以、H

74+〃-1

1二〃

2—1

故選：3.

題型五：空間向量的數(shù)乘運算

【例5】（24-25高二下?廣東?期中）已知三棱柱ABC-ABC如圖所示，其中A"=2M4,若點N為棱8?的中點,

則MN=（）

A.-AA.+-AB+-ACB.-AA,-^-AB+-AC

31323132

+-AB+-ACD.-AA.+-AB+-AC

223”22

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算法則，準(zhǔn)確化簡，即可求解.

【詳解】根據(jù)空間向量的線性運算法則，可得：

MN=AM,+A4+BI^=-A41+AB+-（AC-AB）=-/UI+-AB+-AC.

3232/

故選：D

【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25高二上?廣東?期末）如圖，在四面體。WC中，。為BC的中點，347=2人。，且P為0G的

中點，則OP=（）

A.-OA+-OB+-OCB.--OA+-OB+-OCC.-OA+-OB--OCD.-OA--OB+-OC

666666336363

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求解即可.

【詳解】由題怠，==++=+

=-OA+-（OC-OA+OB-OA\=-OA+-OB^-OC,

26、7666

故選：A

【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25高二上?河北保定?階段練習(xí)）如圖，在四面體4BC。中，E是棱A8的中點，F(xiàn)是棱CDk一

點，KCF=|CD,!I!IJEF=（）

1-2-1一

B.—ABH—AC—AD

233

121

C.-AB——AC——ADD.--AB+-AC+-AD

233233

t答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的加減及數(shù)乘運算即可求解.

【詳解】連接A尸,

由題意，^EF=EA+AF=-BA+AC+CF=--AB+AC+-CD

223

=--AB+AC+-(AD-AC\=--AB^-AC+-AD.

23、,233

故選：D

題型六、空間向量數(shù)量積的計算

【例6】（24-25島二上?河南開封?期末）如圖，已知止四面體OA8C的棱長為1,M是棱/3C'的中點，N是線段0M

的中點>記QA=a?OB=b，oc=c.

o

（1）用a，b,C表示向量AN;

⑵求網(wǎng).

【答案】⑴-。+與+上

44

4

【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算求解即可；

（2）根據(jù)AN=-a+!力+!。，再平方求解可得答案.

44

【詳解】（1）因為OA=a，OB=b，OC=c>

所以AN=ON—OA=LOM—OA=L(O3+OC)—OA=—a+L〃+』c；

24Vf44

⑵依題意，得(b,c)=(a,b)=&i,c)=W，可=同=同=1,

J

■.-11

所以Z??c=a力=a?c=lx|x—=一,

22

1111111

l+l+1+lxl

1616822222j16

所以|AN卜平

【跟蹤訓(xùn)練1*24-25高二上?廣西河池?期末）如圖,在正四面體0A4C中，點。為AC的中點，2AE=ED^OA=a，

OB=b?OC=c.

o

⑴試用向量a,b?C表不向量0￡；

⑵若4?=2,求OEMC的值.

21.1

【答案】(1)0我=不〃+7^+工。

366

(2)-1.

【分析】(1)由2AE=EO得AE=：AO,進(jìn)而有OE=04+：AD=：QA+!oO,又因為歷=［赤+；沆代入即

3333zz

可；

(2)由(1)得?！?；〃+二〃十二。，AC=OC-OA=c-a在正四面體中有ZAOC=N4OC=404=60,

366

(?I1\

OA=OB=OC=AB=2,所以O(shè)E-AC=—a+—b+—c-(c—Bp

1366J

【詳解】(1)因為點。為5c的中點，

所以00=g(08+0C)=g08+；0C,

1—

因為2A公二KO，所以八。,

II<*51

所以，OE=OA+-AD=OA+-(OD-OA\=-OA+-OD,

33、733

212\(\1、211

所以0￡=—。4+—。。=-OA+--OB+-OC=-a+-b+-c；

3333\22)366

21I

(2)由(1)得?！?一〃+-〃+—。，

366

AC=OC-OA=c-a，

由正四面體0A8C可知NAOC=N4OC=NAO4=60,OA=OB=OC=AB=2f

所以O(shè)EAC=—a+—Z?+—c\(c-<7；

1366J

22,、21r1rl1

=—a-c—(a)~+—b'C-ba+—z(vc)'—ca

336666

1..2..1,1,.1,7

=-a-c—(za)2+-b-c—ba+—(cy

23666

=L22cos60-—?22+—?2-2-cos60---2-2cos60+--22

23666

=-l.

【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25高二上?福建廈'J）如圖,已知平行六面體ABC。-AEC。.

⑴若AB=4,A。=3,八人’=3,NBAD=90°,N84/T=60°,ND/W=60。，求AC的長度；

⑵若AB=AD=AA'=2,NBAD=ZBAV=ZDAAr=60。，求AC與BD1所成角的余弦值.

【答案】（1）后

⑵恪

6

【分析】（1）根據(jù)條件,利用空間向量線性運算、空間向量數(shù)量積的運算及模K的計算公式，即可求解:

（2）根據(jù)條件，先求出AO8。，忖。|,再利用線線角的向量法，即可求解.

―.一.a

【詳解】（1）由題知A8AO=0,ABW=4x3xcos60=6,AZZA4'=3x3xcos60=-,

2

又AC；=A8+AD+AA'，

2

所以|AC『=|ABF+|/1D|+河1+2?4/)+248可+24?44=16+9+9+0+12+9=55,

所以|AC’卜底.

(2)因為AC=AB+AO,BO'=AO"B=AA'+A。-AB,

所以川。80'=(人8+人0)(囚4+.0-4為二人844一卜4|2+4￡>MA；+|4O|2=2X2X2XCOS60=4,

因為卜0『=卜3+4。|2=,4|2+2AB-AD+\ADf=21+2x2x2xcos6G+2?=12,所以卜。卜2百,

因為|時=\AA'+AD-AB[=|AA^+1AD|2+\AB\2+2AA'-AD-2AAr-AB-2AD-AB

=3x22-2x2x2xcos60=8，所以|%>[=2加,

?.\AC-BD'\4指

設(shè)AC與3。所成的角為6,則cos"cosAC,BD'\=—?=—=一==1,

?.卜。2石.2應(yīng)6

即AC與BD'所成角的余弦值為好.

6

題型七、投影向量

【例7】（24-25高二上?安徽蚌埠?期末）如圖，已知。4_L平面ABC,ZA^C=120°,PA=AB=BC=6,則向量PC

在上的投影向量為（）

33

C.—BCD.-BC

22

【答案】D

【分析】根據(jù)線面垂直以及已知角度求出PC8C，再結(jié)合投影向量可求得結(jié)果.

【詳解】Q4_L平面ABC,則P4_L3C,

PCI3C=（PA+AB+BC）BC=PABC+ABBC+BCBC=0+6X6^-+62=54,

2

PCBCBC54”，3“

向量PC在8c上的投影向量為一由c「‘命=記”=5BC.

故選：0.

【跟蹤訓(xùn)練1】（23-24高二上?廣東?階段練習(xí)）如圖所示，在正方體人BCO-A冉CQ中，E為G。的中點，則向量

AG在向量DE上的投影向量是（）

A.—DEB.—DEC.—DED.於E

1055

【答案】D

【分析】利用空間向量的運算及投影向量的定義求解即可.

【詳解】

設(shè)正方體的校長為1,AB=a?AD-b?-c>則卜/|=忖=1]=1,ab=bc=ca=O^

團(tuán)AC=AC=A8+AO=4，DE=叫+=即+=c+,

L121,121

(3ACDE=(〃+0)?c+—a=ac+bc+—a+—ab=—a=—,

2222

J

\DE_\C.DEDE_2。七_(dá)2八廠

團(tuán)向最A(yù)G在向最OE上的投影向最是|AGcos（AC,QE片~^同/丁產(chǎn)

22

故選：D.

【跟蹤訓(xùn)練2】（23-24高一下?陜西寶雞?期末）八卦是中國文化的基本學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為

圖2所示的正八邊形A8CD瓦GH,其中=1給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（）

圖1

與?！钡膴A角為(

A.0AB.OD+OF=OE

/z

c.\OA-OC\=^-\DH\D.OA在0。上的投影向量為'二e（具中e為與0。同向的單位向量）

2

【答案】C

【分析】對于A,根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可求出NAO”，對于B,利用向量的加法法則分析判斷，對于C,根據(jù)向量

的減法法則結(jié)合正八邊形的性質(zhì)分析判斷，對于D,根據(jù)投影向量的定義分析判斷.

【詳解】對于A,因為營=：,所以。4OH的夾角為所以A錯誤，

844

對于B,由于四邊形ODE/不是平行四邊形,所以O(shè)D+O下工0石.所以B錯誤,

對于C,因為/4OC=2x笥=]，OA=OC,所以△AOC是等腰宜角三角形,

所以冏=vm=x/i/。用=2,

所以|OA-OC|=|CA卜率叫，所以C正確.

結(jié)合圖形可知。4在。。上的投影向量與OO的方向相反，所以D錯誤.

故選：C

題型八：空間向量數(shù)量積在求長度、角度等應(yīng)用

【例8】（24-25高二上?廣東珠海?階段練習(xí)）如圖所示，平行六面體A3cO-A4GQ中，AB=AD=\,M=2,

7TJI

ZBAD=-t^BAA,=^DAA]=-.

（1）求8。4。；

⑵求A,的長度.

【答案】⑴2

⑵師

【分析】（1）由向量的線性運算可得8。=A4,+A?！狝8,由向量的數(shù)量積的運算律可得8A-AC=2；

（2）由4C1=AA+AQ+4A兩邊平方后可得卜?卜廂.

【詳解】（1）在平行六面體ABC?！?瓦GA中，BD,=AD]-AB=AAy+AD-AB.

TT7T

因為AC=4B+AZ），AB=AI）=I?AA）=2,Z.BAD——,Z.BAA^—Z.DAA^——,

所以羽.%=0，A4,-AB=|A41|-|AB|COS^A41,A^=2x1xcosy=1,

A4,.AD=|他|-|A￡>|(COSA4t,4￡>>=2x1xcosy=1,

uuirimnunuuouunuunuuu?uun?HDuun

=AA]AB+AA,AD+ADAB+AD-AB-AZ^MD=1+14-0+1-1-0=2.

(2)因為AC；=A8+3C+CG=A3+4O+A4,,

月f以AC；=(A8+40+AAy=A8,+40、+A4’

ULUUUUUUUUUULILUUULO

+2AB-A。+2AB-A4,+2AD-AA,

=1+1+4+2x0+2x1+2x1=10,

貝l“AG卜J16.

【跟蹤訓(xùn)練1】(24-25高二上?浙江臺州?階段練習(xí))如圖，在三棱錐P-48c中，若AB=4C=3,AP=4,

/B4C=NB4C=N84P=60。，點。為棱BC上一點，且CO=2B。，點M為線段AO的中點

⑴求的長度；

（2）求異面直線PM與AC所成角的余弦值.

【答案】（1）叵

2

⑵也

47

【分析】（1）根據(jù)向量的四則運算，用力產(chǎn)，AB，AC表示PM，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律求解即可；

（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式和運算律求解即可.

【詳解】（1）因為M為線段AO的中點，CD=2BD,所以AM=：A。，BD=；BC,

所以而=而+宿=而+：而=而+（（而+而）=而+；（而+：近）=即+；［而+：（而+元）］=PA+

X而而+頻）=-AP+：AB+；AC,乂因為泰.而二巾前=3x4xcos6（T=6，ABAC=3x3x

COS60*=I所以|麗=

J時_逆叫而.而+灑『+挺冠+/西『=”

（2）由（1）得麗.冠=（_而+：而+：前）.配=一麗.近+：麗.而+：（近）2

=-^|AC|COSZPAC+-|^||AC|COSZ?AC+-|AC|2

36

=-4x3x—+-x3x3x-+-x32=-3,

2326

所以cos（麗，而）=翳微=喜=等，

即異面直線PM與4c所成角的余弦值為也.

47

【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25高二上?安徽阜陽?階段練習(xí)）如圖，在六棱柱A8COM-A8C。瑞”中，底面A8CDE/7是正六

邊形，設(shè)入B=a,A/7=/?,AAy=c.

⑴用a,b,c分別表示A2AC.

(2)若85/孫=<^0/%=；,從8=2.明=4,求:

(0)ACA。；

(團(tuán))卜司.

【答案】(l)AO=2r/+2Z>-c,A^C=2a+b-c

(2)⑴70=14；(ii)|A￡,|=2^H)

【分析】（1）連接入。，結(jié)合空間向量的線性運算以。，4c為基底表示向量即可：

（2）確定空間基底向量，，尻c的模長與數(shù)量積，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)分別求解ACAO,卜用即可得

結(jié)論.

【詳解】（1）如圖，連接4。,

因為六邊形ABCDEF為正六邊形，

所以A8+A戶=/A。，則AZ)=2a+2Z?，

所以AD=AO-M=2a+2l)-c,A.C=A.D+DC=A.D-AF=2a-^h-c：

(2)因為六邊形A8C0EF為正六邊形，所以/區(qū)4尸=彳，

又COS/8A4,=cosZ.FAA,=；,A8=2,A4,=4,

所以同=W=2,|c|=4,ab=|?|-|/?|cos^-=-2,a-c=b-c=\a\-\c\x—=2,

,22

j4lC->4lD=(2t/+/>-cJ-(2c/+2/7-cj=4?+2b~+c+6ab-3bc-4ac

=16+8+16-12-6-8=14

(ii)因為AE]=AD+DE+EE\=AD-AB+AA]=2a+2l)-a+c=a-2b+c

所以[AE1|=4+2b+c)~=\l(r+4b2+c~+4a-b+4b-c+2a-c

=J4+16+16-8+8+4=2而

【高分演練】

一、單選題

1.（25-26高二上?全國）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）

A.單位向量都相等

B.若a〃入Z?〃c，則a〃c

C.若向量Afi,CD滿足卜耳＞[81則/仍＞CO

D.外a=〃,/?=c?則〃=c

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向量的性質(zhì)，逐項判斷各項的正誤即可.

【詳解】對于A,單位向量是模為1的向量，但方向是任意的；

把空間中所有的單位向量移到同一起點，則終點構(gòu)成一個球面，故A錯誤;

對于B,因為零向量的方向無法確定，規(guī)定：零向量與任意向量平行，

所以當(dāng)）=0時，a與c不定平行，故B錯誤；

對?于C,向最不能比較大小，但向量的模是實數(shù)，可以比較大小，故c錯誤；

對于D,相等向量的力向相同、長度相等，因此向量相等具有傳遞性，故D正確.

故選：□.

2.（25-26高二上?全國?課后作業(yè)）在空間四邊形0A8C中，OB=OC,乙403=40。=己，則cos（OA,BC）的值

是（）

A.!B.C.—D.0

222

【答案】D

【分析】利用OB=OC,以及兩個向量的數(shù)量積的定義可得cos〈OA80的值，即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意0A8C=OA[OC-OB）=OAOC-OAOB

=|OA||oc|COS-|OA|\OB\COS=-y|^|（|^|-1^|）?

又OB=OC,即囪=|oc],得046c=0，

所以3I3的n,A=O麗A?BC見..

故選：D.

3.（25-26高二上?全國?課后作業(yè)）在下列條件中，使M與A,3,C一定共面的是（其中0為坐標(biāo)原點）（）

A.OM=OA-OB-OCB.OM=：O4+；O8+；OC

uuuuiiurnunr

C.。0+辦+。8+"=。D-MA+MB+MC=（）

【答案】D

【分析】根據(jù)四點共面的條件逐項判斷即可求得結(jié)論.

【詳解】空間向最共面定理：OM=.xOA+yOB+zOC,

若AB,C不共線，且共面，其充要條件是x+y+z=l.

對A,因為1-1-1工1,所以人叫C,朋四點不共面；

對B,因為1+g+g=|^xl，所以AB，C”四點不共面：

對C,由OM+OA+OB+OC=0可得?！?-04-08-0。，

因為所以A8,CM四點不共面；

uuuuumuuui-一一

對D，由MA+M8+MC=（）可得04—OM+O8-QM+OC-OM=0，

即0M='O4+,03+,0C,因為—■1+'=1,所以A8,C,M四點共面.

333333

故選：D

4.（24-25高一下?甘肅白銀?期木）設(shè)正四面體A6C。的棱長為2,M是A。的中點，貝UAB-CM的值為（）

A.-73B.-1C.73D.1

【答案】B

【分析】先表示出CM=《A。-AC,然后利用數(shù)最積公式計算.

2

［詳解］ABCM=AB\AM-AC^

=AB\-AD-AC\=-ABAD-ABAC

12)2

1__7T__7T,

=-x2x2xcos——2x2xcos—=-1.

233

故選：B

5.（24-25高二下?江蘇泰州?期末）在棱長為1的正方體ABCO-ABCR中，M是棱CG上任意一點，則AM在平面

A38上的投影向量為（）

A.ACB.ABc.AC,D.AD

【答案】A

【分析】利用投影向量的定義可得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示：

因為CG_L平面ABC。，M是棱CCJ二任意一點,

所以AM在平面A8CQ上的投影向量為AC.

故選:A.

6.（24-25高二上?江蘇南通?期末）已知平行六面體ABCD-A4GR的所有棱長均為1,乙4,43=八。=/剛。=60,

則對角線4。的長為（）

A.瓜B.2C.&D.&

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的線性運算，可得AC的表達(dá)式，兩邊平方即可求得.

【詳解】由已知：平行六面體A8CO-A用GR所有棱長均為I,

ZA.AB=ZA.AD=ZBAD=60,則/\C=/\A+A8+3C=-A4,+A8+AO,

又因為：AAj-/15=1/14,1|/\5|cosZ/\^=Ixlxl=i

同理可得：AAAD=ABAD=-,

i2

2222

則AC?=(-A4,+AB+AD)=AA]+AB+AD-2AA,-AB-2A4,-AD+2AB-AD

=1+14-1—2x——2x—+2x—=2*貝"AC[=\/^.

故選：D.

7.（2425高二上?浙江金華?期末）在四棱錐P-/WC。中，底面/WCO是平行四邊形，石是棱A8的中點,

PF=2FB,PG=WC,D,E,F,G四點共面，則之=()

【答案】A

【