拋物線與阿基米德三角形重難點(diǎn)（5類(lèi)題型）

目錄?重難點(diǎn)題型分布

重難點(diǎn)題型1定點(diǎn)問(wèn)題

1.（2025?云南昭通?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)拋物線八/=21（〃＞（））上的點(diǎn)題％,打）的直線4，/2分別交拋物線「于

點(diǎn)8,C.設(shè)直線乙，4的斜率分別為K，12，用2=7,當(dāng)%=0且點(diǎn)8,。關(guān)于X軸對(duì)稱時(shí)，。的

面積為16.

⑴求拋物線7的方程；

⑵當(dāng)弘=2時(shí)，證明：直線4C過(guò)定點(diǎn).

1

2.(2025?寧夏銀川?三模)已知拋物線￡：/=2川(〃>0)與雙曲線1一卷=1的漸近線在第一、四象限的交

點(diǎn)分別為P，。，且|尸。|二86.

⑴求拋物線月的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)”(-3,0)的直線/與拋物線￡相交于48兩點(diǎn)，8關(guān)于八?軸的對(duì)稱點(diǎn)為川.

(D若方=2兩，求直線/的方程.

(ii)證明：直線X8'必過(guò)定點(diǎn).

2

3.（2025?四川成都?三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。卜中，已知點(diǎn)44（異于點(diǎn)O）在拋物線「），=/上,

且滿足麗麗=0.

⑴證明：直線48過(guò)定點(diǎn)C；

⑵若歷=3無(wú)，分別以O(shè)C6為直徑作OM與。N,過(guò)點(diǎn)C的直線與OM,ON分別交于點(diǎn)及G,求5花狽

的最大值；

⑶在（2）的條件下.設(shè)〃,//是物物線「上的三個(gè)點(diǎn)，音線均與0N相切,判斷百線〃與ON的位

置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

3

4.（2025?貴州黔東南?三模）已知拋物線￡/=20，（p>O）的焦點(diǎn)為R且力（2,乂）,8（&,七），°（0月）為七

上三個(gè)不同的點(diǎn)，|力尸|=2.

⑴求拋物線E的方程；

⑵若直線力用力C的斜率之積為-：，證明：宜線8c過(guò)定點(diǎn)；

（3）若直線48,/C的斜率之和為O且々七e（-4,0）,求△/5C面積的最大值.

4

重難點(diǎn)題型2切線問(wèn)題

1.（2025?山西?三模）已知過(guò)點(diǎn)加（2,1）的直線交拋物線C：V=〃于A,〃兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,〃分別作拋物線

C的切線，兩條切線交于點(diǎn)。，則的最小值為（）

A.當(dāng)B.方C.垃D.喑

2.（2025?河南周口?二模）已知拋物線后:/=_2/紗（〃>0）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)力在直線y=2p上，過(guò)點(diǎn)力

作E的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，。，若AP,力。分別交x軸于8,C兩點(diǎn)，則|。例?|OC|=（）

A.p2B.2P2C.2D.工

r24

3.（2024?河北邢臺(tái)?二模）設(shè)A,B,C,。為拋物線V=4j，上不同的四點(diǎn)，點(diǎn)A,。關(guān)于該拋物線的對(duì)

稱軸對(duì)稱，8C平行于該拋物線在點(diǎn)。處的切線/,設(shè)點(diǎn)。到直線48和直線4。的距離分別為4，d2t且

dx-d2=AD,則sinNC48=（）

A.1B.近C.1D.在

2244

4.（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)0（-2,1）在拋物線C：/=20，（p>O）上，過(guò)直線x=2上一

點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為歷,二.則麗?麗的取值范圍為.

5.（2024?浙江臺(tái)州??！祾佄锞€有條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后,反射

光線平行于拋物線的軸.過(guò)拋物線C：產(chǎn)=4》上的點(diǎn)P（不為原點(diǎn)）作C的切線/,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。作

OQLlf垂足為0,直線產(chǎn)尸（F為拋物線的焦點(diǎn)）與直線。。交于點(diǎn)T,點(diǎn)力（。，2）,則|%|的取值范圍

是.

5

重難點(diǎn)題型3面積問(wèn)題

1.（2024?四川綿陽(yáng)?三模）如圖，過(guò)點(diǎn)"（-1,0）的直線交拋物線C/=2x于力，B兩點(diǎn)、，點(diǎn)、A在M,8之

間，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，連接8N并延長(zhǎng)交拋物線。于E,記直線4M的斜率為尤，直線ME的斜

率為右，當(dāng)占=3內(nèi)時(shí)，△45N的面積為（）

A.1B.V2C.石D.2

2.（2025?陜西漢中?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線氏）'=2川（〃>0）的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線/的距離為2,點(diǎn)力（p+1,0）,

4是直線/與x軸的交點(diǎn)，。是E上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D,C尸與力。交于點(diǎn)若〃為△力8c的

重心，則△M48的面積為（）

A.6B.逑C.唯D.2石

33

3.（2025?甘肅白銀?模擬預(yù)測(cè)）已知圓氏（、-2）2+/=5與拋物線0歹？=2px（p>0）交于4B兩點(diǎn),且

直線48過(guò)。的焦點(diǎn)立點(diǎn)K與點(diǎn)/關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，河為C上一點(diǎn)，當(dāng)△〃「人為等腰三角形時(shí)，叢MFK

面枳的最大值為（）

A.1B.2C.V5D.2石

4.（2025?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：V=2川（P>0）,過(guò)焦點(diǎn)歹的直線/與拋物線交于48兩點(diǎn)（A在

-----------------3

第一象限）且0小08=—二（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則當(dāng)萬(wàn)^=4而時(shí)，△。/8的面積為（）

1537

A-IB-iC4D-i

5.（2025?河北保定?二模）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為上的點(diǎn)〃（無(wú),2）到丁軸的距離為1,

動(dòng)點(diǎn)。在。上，動(dòng)點(diǎn)。在圓乂:/+/-4》-2尸4=0上，當(dāng)|P0|+|P*取最小值時(shí)，AP/W的面積為.

6

6.(2025?湖南?二模)己知過(guò)拋物線。：/=2沖(〃>0)的焦點(diǎn)「(2,0)的直線與拋物線(7交于44兩點(diǎn)(人

在第一象限)，以神為直徑的圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)。.若|力。|=6忸。|,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△力04

的面積為.

重難點(diǎn)題型4外接圓問(wèn)題

/\

1.(23-24高三下?重慶渝中?階段練習(xí))已知?jiǎng)狱c(diǎn)〃在拋物線E：V=2pM〃>0)上，點(diǎn)N-*0,。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，若cos/OMV=冬叵，且直線2x+y+l=0與△MNO的外接圓相切，則〃=()

5

55f44,..445

A.—B.一或一C.一或一D.2或一

445592

2.(2024?陜西西安?一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：_/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，M是拋物

線。上的點(diǎn)，若的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓面積為9-則sin/O"=()

A.2B.在C.逑D,1

3333

3.(23-24高三上?廣東湛江?期末)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為EA/是拋物線。上的點(diǎn)，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，若△OQW的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36幾，則P=()

A.4B.8C.6D.10

4.(2023?江西南昌?二模)已知“為拋物線C丁=2力(〃>0)的焦點(diǎn)，都是拋物線上的點(diǎn)，。為坐

9則\局MF的\最小

標(biāo)原點(diǎn),，若△"W的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線/相切，且該圓的面積為丁’點(diǎn)。

值為_(kāi)___________

7

5.(2024高三下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知點(diǎn)/(1,2)在拋物線C：爐=2px(p>0)上，點(diǎn)、P,。是拋物線。上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(均不與4重合)，直線4P,4。的斜率分別為尢，且仁+刈=0.

⑴求直線P0的斜率；

⑵設(shè)△力P。的外接圓為圓G,過(guò)點(diǎn)4作拋物線。的切線/,試判斷直線/與圓G的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

8

6.(24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí))己知尸為拋物線。：/=2外(〃>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線C上，0

9

為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OEM的外接圓與拋物線。的準(zhǔn)線相切，且該圓面積為了兀.

4

⑴求拋物線C的方程；

⑵設(shè)4(2,1),B是拋物線C上異于4的一點(diǎn)，直線力8與直線)，=X-2交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線交拋

物線C于點(diǎn)N,求點(diǎn)尸到直線8N的距離d的取值范圍.

9

7.已知拋物線/=4x,F（1,O）,斜率為正數(shù)的直線/交拋物線于P,。兩點(diǎn)（夕在x軸的上方、），與線段

。產(chǎn)和y軸分別交于48兩點(diǎn)且滿足|尸。=|4回，/XOP。的外接圓與拋物線交于點(diǎn)A（不同于。，P,

。）.

（1）求四邊形/POR面積的最大值；

R

（2）求，\才A的取值范圍.

10

重難點(diǎn)題型5最值問(wèn)題

1.（2024?吉林白山?二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如

在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈筆.在圓惟曲線中，稱圓錐曲線的弦與過(guò)弦的

端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線C：/=8x的焦點(diǎn)為尸，頂點(diǎn)為O,斜率

為;的直線/過(guò)點(diǎn)〃且與拋物線。交于兩點(diǎn)，若AAWN為阿基米德二角形，則|。。|=（）

A.VTTB.273C.V13D.7l4

2.已知拋物線C：J/：?的焦點(diǎn)為R過(guò)點(diǎn)/分別作兩條直線總4,直線//與拋物線。交于48兩點(diǎn),

直線，2與拋物線C交于。、E兩點(diǎn)，若乙與4的斜率的平方和為1，則3邳+|。目的最小值為（）

A.16B.20C.24D.32

3.（2024?廣東廣州?一模）已知曲線。是平面內(nèi)到定點(diǎn)廠（0,-2）與到定直線=2的距離之和等于6的點(diǎn)的

軌跡，若點(diǎn)「在C上，對(duì)給定的點(diǎn)7（-2"）,用表示|P日+|尸7|的最小值，則的最小值為.

4.（2022?山西?一模）已知橢圓E+匕=1的焦點(diǎn)為片，瑪，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)鳥(niǎo)作/片尸鳥(niǎo)的外

43

角平分線所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)。拋物線？=+2上有一點(diǎn)〃，它在x軸上的射影為點(diǎn)〃，則

O

|必則十|0必+忻o|的最小值是.

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知M,N是拋物線。：/=2外（〃>0）上兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為凡拋物線上一點(diǎn)外力）

到焦點(diǎn)廠的距離為：3，下列說(shuō)法正確的是.（把所有正確結(jié)論的編號(hào)都填上）

①P=1;

②若。WJ.ON,則直線恒過(guò)定點(diǎn)（0,1）：

③若△A/O9的外接圓與拋物線C