期中復習5大類型34個考點（前3章）

【人教版2024]

■題型歸納

【基礎概念易錯篇】..............................................................................2

【考點1三角形的概念】........................................................................2

【考點2三角形的穩(wěn)定性】......................................................................3

【考點3三角形的三邊關系】....................................................................3

【考點4三角形的角平分線、中線和高1...................................................................................................................3

【考點5三角形的內(nèi)角和定理】.................................................................4

【考點6三角形的外角性質(zhì)】....................................................................5

【考點7全等三角形的性質(zhì)】....................................................................6

【考點8全等三角形的判定】....................................................................6

【考點9角平分線的性質(zhì)與判定】...............................................................7

【考點10線段垂直平分線的性質(zhì)與判定】.........................................................8

【考點11判斷軸對稱圖形】......................................................................9

【考點12關于坐標軸對稱點的坐標】............................................................10

【考點13等腰三角形的判定】...................................................................10

【考點|4等腰三角形的性質(zhì)】...................................................................II

【考點15含30度角的直角三角形】..............................................................12

【考點16等邊三角形的性質(zhì)】...................................................................13

【考點17等邊三角形的判定】...................................................................14

【規(guī)律與新定義篇】.............................................................................15

【考點18規(guī)律探索】...........................................................................15

【考點19新定義問題】.........................................................................16

【幾何計算與證明篇】...........................................................................17

【考點20與折疊有關的角度的計算問題】........................................................17

【考點21三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)的綜合】..................................................18

【考點22全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用】..................................................19

【考點23角的平分線與線段的垂直平分線】......................................................20

【考點24利用軸對稱的性質(zhì)判斷線段之間的關系】...............................................22

【考點25等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合】......................................................23

【考點26等邊三角形的性質(zhì)與判定的綜合】......................................................24

【考點27含30。的直角三角形性質(zhì)的應用】.......................................................25

【作圖篇】.....................................................................................26

【考點28尺規(guī)作角平分線、線段垂直平分線】....................................................26

【考點29作軸對稱圖形】.......................................................................27

【考點30利用軸對稱設計圖案】................................................................28

【壓軸篇】.....................................................................................29

【考點31做輔助線構造全等三角形】............................................................29

1/34

【考點32做輔助線構造等腰三角形】............................................................30

【考點33三角形中的最值問題】................................................................31

【考點34三角形中的分類討論】................................................................33

舉一反三

【基礎概念易錯篇】

【考點1三角形的概念】

1.（24-25六年級上?山東泰安?期中）如圖所示的是一個由幾個小三角形拼成的大三角形，則該圖中三角形

B.12個C.13個D.15個

2.下列說法正確的是（）

A.所有的等腰三角形都是銳角三角形

B.等邊三角形屬于等腰三角形

C.不存在既是鈍角三角形又是等腰三角形的三角形

D.一個三角形里有兩個銳角，則一定是銳角三角形

3.（24-25七年級上?山東聊城?開學考試）同學們在玩"猜三角形"的游戲，圖中被信封遮住的（）.

B.只能是直角三角形

C.只能是鈍角三角形

D.可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形

2/34

【考點2三角形的穩(wěn)定性】

1.下列圖形中，不是運用三角形的穩(wěn)定性的是（）

A.屋頂支撐架B.自行車腳架C.伸縮門D.舊門釘木條

2.如圖所示，要使一個六邊形木架在同一平面內(nèi)不變形，至少還要再釘上一根木條.

【考點3三角形的三邊關系】

1.（24-25七年級下?湖南衡陽?期末）以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）

A.lcm,2cm,3cmB.2cm,3cm,6cm

C.4cm,4cm,4cmD.2cm,4cm,6cm

2.已知△ABC的三條邊長分別為5、7和x,則x的取值范圍是.

3.（24-25七年級下?山東煙臺?期末）用一條長35cm細繩（不留余繩）圍成一個等腰三角形，若一邊長是

另一邊長的3倍，則底邊的長為cm.

4.現(xiàn)有1cm、3cm、5cm、6cm長的四根木棒，任選其中三根組成一個三角形，那么可以組成三角形的個數(shù)

是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點4三角形的角平分線、中線和高】

1.如圖，在△力BC中，利用三角板能表示8C邊上的高的為（）

C.D.

3/34

2.如圖，在△A8C中，LC=90%。，E是AC上兩點，且4E=DE,BD平分乙EBC,那么下列說法中不正

確的是（）

A.8E是△480的中線B.、。是的角平分線

C.z.1=z2=z3D.BC是△BCE的高

3.如圖所示，在aABC中，AB=8？AC=6,AD是AABC的中線，則AABD與AADC的周長之差=

4.如圖，已知△ABC中，點。，E分別是邊718,4c的中點.若。的面積等于12,則△BOE的面積等

于（）

A.2B.3C.4D.5

【考點5三角形的內(nèi)角和定理】

1.如圖，在AABC中，ZB=6O°,ZC=40°,AE平分乙BAC,AD1BC,垂足為點D,那么4DAE=度.

2.如圖，在△4BC中，8,平分C尸平分24CB,LBFC=125°,則乙4的度數(shù)為,

BC

4/34

3.如圖，在△ABC中，點O,E分別在邊48,4c上，將△4DE沿。E折疊至△FDE的位置，點力的對應點

【考點6三角形的外角性質(zhì)】

1.（24-25八年級上?全國?期中）如圖,4。是△A8C的角平分線，CE是的高，Z.BAC=60°,

LBCE=40°,求乙ADC的度數(shù).

2.如圖，將-?張三角形紙片4BC的?角折疊，使點4落在△ABC外的4處，折痕為DE,如果-1=a,

乙DEA=Z-CEA'=y,^BDA'=8,那么下列式子中不一定成立的是（）

A

A

y

A.0=2a+yB.0=180°-a-yC.^=90°+^D.6=2a+2^-180°

3.如圖，乙480、乙ACO的角平分線交于點P,若々1=40°,乙。=10。，則乙P的度數(shù)為

5/34

【考點7全等三角形的性質(zhì)】

1.（24-25八年級上?山西忻州?期中）如圖，△AOBmAADC,點B和點C是對應頂點,I。=〃。=90。,記

乙OAD=a,乙ABO=0,Z.ABC=^ACB,當8CII0A時，a與0之間的數(shù)量關系為（）

A.a=PB.a=2/7

C.a+0=9O°D.a+2/7=180。

2.在△ABC中，z/l:zfi:zC=4:5:9,且△ABC三△DEF,則N。的度數(shù)為（）

A.90°B.50°C.40°D.80°

3.（24-25七年級下?四川巴中?期末）如圖，點B,C,。在同一直線.上，若△48。三△CDE,AB=7,

BD=10,則BC等于（）

【考點8全等三角形的判定】

1.（25-26八年級上?江蘇宿遷?期中）如圖，AB=DB,41=42,添加下列條件，不能判定△,49C三△ME

C.Z.A=Z.DD.Z.ACB=乙DEB

2.（25-26八年級上?全國?期中）小華家梳妝臺上的一塊三角形玻璃不小心摔成了如圖所示的四塊，需要去

玻璃裝飾品店再配一塊與原來大小和形狀完全相同的玻璃，可以選擇的方法是（）

6/34

A.帶（1）和（3）去B.帶（3）和（4），去

C.帶（1）和（4）去D.帶（1）和（2）去

3.（24-25八年級上?江蘇無錫?期中）根據(jù)下列條件，能判定△ABCw/iABC的是（）

A.AB=A'B',BC=B'C,〃=乙A

B.Z.A=Z.A',乙AC=B'C

C.z.A=z.Af,Z.B=z.B',zC=zC

D.AB=A,B,,BC=B'C,△A8。與△4夕U的周長相等

4.（24-25七年級上?山東東營?階段練習）如圖，已知△ABC的六個元素，而在圖甲、乙、丙中，僅已知甲、

乙、丙三個三角形中某些元素，則與△力BC一定全等的三角形是（）

只有丙

【考點9角平分線的性質(zhì)與判定】

1.如右圖是三條兩兩相交的筆直公路，某物流公司現(xiàn)要修建一個貨物中轉(zhuǎn)站，使它到三條公路的距離相等,

這個貨物中轉(zhuǎn)站可選的位置有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

2.如圖，0是△ABC內(nèi)一點，且。到三邊AB、AC.BC的距離OF=OE=OD,若/B4C=70。，則=

（）

7/34

A

A.110°B.115°C.120°D.125°

3.如圖，△718。中，4。是角平分線，BE是△480的中線，若△/18E的面積是2.5,48=5,AC=3,則

△4BC的面積是（）

B.6.8C.7.5

4.小明同學在學習「全等三角形的相關知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的

平分線.如圖，要畫乙4。8的角平分線，讓一把直尺的一邊與。8重合，出另一把直尺的一邊與0A重合，并

且兩把直尺交于點尸，小明說：“射線OP就是乙4。8的角平分線.〃他這樣做的依據(jù)是（）

0123456789■

A.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上

B,角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等

C.三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等

D.線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

【考點10線段垂直平分線的性質(zhì)與判定】

1.如圖，在△A8C中，ADLBC..垂足為點。，￡尸垂直平分4c交BC于點、E,交AC于點尸，連接4E,若

BD=DE,A/IEC的周長為16,AF=3,則OC的長為（）

EDB

8/34

2.（24-25八年級上?河北邢臺?期中）如圖，△力BC中，AB=AC,AM是BC邊上的中線，點N在AM上，則

NB與NC的關系是（）

A.NB>NCB.NB<NCC.NB=NCD.不能確定

3.（25-26八年級上?全國?期末）如圖，在△4BC中，AB=AC,484c=24。，延長BC到點連接

AD.若通過尺規(guī)作圖所得直線恰好經(jīng)過點C,則434。的度數(shù)為（）

【考點11判斷軸對稱圖形】

1.（24-25七年級下?江蘇宿遷?期末）以下四款人工智能大模型圖標，是軸對稱圖形的是（）

0嫡6m

2."線段、角、等腰三角形、直角三角形”中一定是軸對稱圖形有一個.

3.（2024?甘肅?中考真題）圍棋起源于中國，古代稱為"弈〃.如圖是兩位同學的部分對弈圖，輪到白方落子,

觀察棋盤，白方如果落子于點的位置，則所得的對弈圖是軸對稱圖形.（填寫出B,C,。中的一

處即可，兒B,C,力位于棋盤的格點上）

9/34

【考點12關于坐標軸對稱點的坐標】

1.(24-25八年級上?山東青島?期末)如圖，將直角坐標系中力點坐標為(一4,2),點C與點B關于%軸對稱.則

點C的坐標是()

A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(1,-2)

2.若點A(m,2)與點B(3,n)關于x軸對稱，則m+n的值是()

A.1B.-2C.2D.5

3.(2025八年級上?全國?專題練習)在平面直角坐標系中，已知點4(4,3),點4與點力關于直線1對稱,

則點A的坐標為.

【考點13等腰三角形的判定】

1.如圖，，M/1N=3O。，點8是射線4N上的定點，點P是直線AM上的動點，要使△P48為等腰三角形，則

C.3個D.4個

2.如圖，在△48C中，ZF=ZC=36°,D,￡分別是線段BC、4c上的一點，根據(jù)下列條件之一，不能確

定aADE是等腰三角形的是()

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A.Z1=242B.41+42=72。C.41+242=90。D.241=42+72。

3.如圖,ZXABC為等邊三角形/ABC、ZACB的平分線相交于點0,OE||AB交BC于點E,OF||AC交BC于點F,圖中

等腰二角形共有（

A.6個B.5個C.4個D.3個

4.（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知4和8是兩

個格點，如果C也是圖中的格點，且使得△48。為等腰三角形，則點C的個數(shù)為.

L

2▼

11

11

11

11

【考點14等腰三角形的性質(zhì)】

1.已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為60。，那么這個等腰三角形的頂角等于（）

A.15°或75°B.30°C.150°D.150°或30°

則乙DE/=

AC=AM,BC=BN,則/MCN=()

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A.60°B.30°C.45°D.不確定

4.（24-25八年級下?陜西西安?期中）如圖，這是一個等腰三角形屋頂鋼架外框，其中48=AC,立柱

AD1BC,且頂角NB4C=110。，則NO4B的度數(shù)為.

A

5.（24-25七年級下?重慶?期末）如圖，在中，AB=AC,/.ADC=60°,AD=4,BD=1.5,則

CD=.

【考點15含30度角的直角三角形】

1.如圖，在△力8c中，LABC=60°,48=2,8c=5,點E在BA的延長線上，點。在8c邊上，且

ED=EC,若AE=4,則BD的長等于（）

E

A.1B.1C.2D.1

（八年級上?廣東廣州?期中）如圖，在△力中，。，點。是的中點，過點。

2.24-25BCAB=ACf“=30A6

作。E垂直48交于點E,OE=3,則CE的長度為（）

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A.8B.6C.12D.10

3.如圖，在等邊三角形ABC中，BC=2,D是AB的中點，過點D作DFLXC于點F,過點F作三FJLBC于點E,

則BE的長為（）

A.1B.|C.fD-I

4.如圖，已知ZM4N=60。，點6刀在邊AN上，且點。在點8的右側，AB=2,點C是邊AM上一動點，在點

C運動的過程中，始終保持CB=CD,若AC=m,則力。的長為（）

A.加+1B.呆+2C.刎―1D.m—2

【考點16等邊三角形的性質(zhì)】

1.如圖，以等邊△48C的邊力。為腰作△&40,使4C=/1O,連接8。，若乙08。=40。，則4&40=

2.（24-25七年級下?四川成都?期末）如圖，等邊三角形紙片力BC的邊長為4cm,點。，E分別在AC,BC上,

將△CDE沿直線DE折疊，點。落在點。處，且點C在△力8c的外部，則圖中三個陰影部分的周長之和為

cm.

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A

3.如圖，M是等邊△力BC的邊力B的中點，且力8=8,EN上BC于E,則BE=

4.如圖，△ABC是等邊三角形，4。是高，且AD=7,七是AB邊的中點，點。是4。上一動點，則PB+PE

的最小值是.

【考點17等邊三角形的判定】

1.已知a,b,c為△ABC三邊，且滿足。匕一/?2=ac—be,則△ABC是（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.不能確定

2.滿足下列條件的三角形是等邊三角形的個數(shù)是（）

①有兩個角是60。的三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形：③三個外角（每個頂點處取一個外角）都

相等的三角形；④一邊上的高也是這邊中線的等腰三角形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖，乙408=120。，OP平分乙4OB,且OP=2.若點M,N分別在。力，OB上,且△PMN為等邊三角形，

則滿足上述條件的有（）

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【規(guī)律與新定義篇】

【考點18規(guī)律探索】

1.(24-25八年級上?福建漳州?期中)如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=x的圖象為直線，，作點41(1,0)

關于直線1的對稱點力2,將42向右平移2個單位得到點力3；再作43關于直線，的對稱點力4,將4向右平移2

個單位得到點力5；…則按此規(guī)律，所作出的點力2024的坐標為()

A.(1012,1011)B.(1012,1009)C.(1009,1012)D.(1011,1012)

2.如圖(1),已知=。為484c的平分線上一點，連接BD,CD；如圖(2),已知48=4C,D,

E為484c的平分線上兩點，連接BO,CD,BE,CE；如圖(3),已知48=4C,。，E,產(chǎn)為N84C的平分

線上三點，連接BD,CD,BE,CE,BF,CF；…，以此規(guī)律，第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是()

3.如圖，在△48C中，乙1=48。，△4的內(nèi)角〃BC與外角-CD的平分線相交于點公，得到N①；乙&

BC與乙4。。的平分線相交于點兒，得到乙12；……按此規(guī)律繼續(xù)下去，乙力「道。與乙1”_[CD的平分線相交于

點4,要使乙4n的度數(shù)為整數(shù)，則九的最大值為()

4.如圖,在直角坐標系中,AJ4C的頂點坐標分別為：力(-2,0),8(1,2),C(l,-2).已知N(—1,0),作

點N關于點4的對稱點N[,點Ni關于點8的對稱點加2,點N?關于點。的對稱點N3,點N3關于點4的對稱

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點N4，點可4關于點4的對稱點Ns，…，按照此規(guī)律，則點N2023的坐標為

5.（24-25九年級上?黑龍江牡丹江?期末）如圖，在平面直角坐標系中，正方形4B1C1D1（記為第1個正方

形）的頂點4與原點重合，點小在%軸上，點Ci的坐標為（1,1）,以Ci為頂點作等邊三角形的心附，點兒落

在《軸上，段或,工軸，再以力2%為邊向右側作正方形&B2C2Q2（記為第2個正方形）…，若按照上述的規(guī)

律繼續(xù)作正方形，則第2025個正方形的邊長為.

【考點19新定義問題】

1.（24-25七年級下?北京海淀?期末）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫作“倍

長三角形”.若△48C是“倍長三角形〃，有兩條邊的長分別為4和6,則第三條邊的長為.

2.（2025?青海西寧?一模）定義：如果一個三角形有兩個內(nèi)角的差為90。，那么這樣的三角形"|做〃準直角

三角形若△48。是“準直角三角形"，且"1=40。，4c>90。，則乙B的度數(shù)為.

3.新定義：已知三條平行直線，相鄰兩條平行線間的距離相等，我們把三個頂點分別在這樣的三條平行線

上的三角形稱為“格線三角形如圖，allelic,相鄰兩條平行線間的距離為機，等腰RtA/18C為“格線三角

形〃，且48/。=90。，則△/IB。的面積為（）

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A.|m2B.2m2C.5m2D.4m2

4.定義：若三角形的一條角平分線與被平分的角的一邊相等，則稱這個三角形為"優(yōu)美三角形"，這條角平

分線叫做這個三角形的“優(yōu)美線〃.下列四個三角形中，BD平分LABC,其中8。是“優(yōu)美線”的是（）

【幾何計算與證明篇】

【考點20與折疊有關的角度的計算問題】

1.（24-2S七年級下?吉林長春?期末）在△4RC中，ZC=90°,AC=6,RC=8,將△4RC沿某條直線折

疊，使三角形的頂點4與B重合，折痕為DE.

⑴試求△4CD的周長；

（2）若乙C4DZ8力。=4:7,求4B的度數(shù).

2.（24-25七年級下?江蘇無錫?期末）如圖，在△力8c中，48=20。，點。為邊8c上一點，將沿直

線折疊后，點C落到點E處，^ADC=100°.

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A

(1)求證：AB\\DE.

⑵若4E恰好平分MAD,求”的度數(shù).

3.(24-25七年級下?江蘇淮安?期中)如圖，將長方形紙片SBCD沿MN和PQ折疊得到一個軸對稱的帽子,

折痕角4AMN=/DPQ,點4。的對應點分別為點G,H,折疊后點6,C的對應點恰好都在點￡

⑴若折痕角N4MN=105。，求帽子頂角RNEQ的度數(shù)：

(2)設々GMO=%度，乙NEQ=娘.

①請用含X的代數(shù)式表示y，則丫=：

②當乙MNE=24帽子比較美觀，求此時y的值.

【考點21三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)的綜合】

1.如圖，力。是△48C的高，AE.8F是△4BC的角平分線，且4CBF=30。.

⑴求心的度數(shù)；

(2)若乙AF8=70°,求乙。AE的度數(shù).

2.(25-26八年級上?湖北孝感?期中)如圖1,點45分別在射線。M,ON上運動(不與點O重合)，AC,

BC分別是NBA。和乙AB。的平分線，延長BC交0M『點G.

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NN

OGAMOGAM

圖1圖2

⑴若40=60。，求乙/lCG的度數(shù)；

⑵若乙0二心，則4力CG=:；（用含幾的代數(shù)式表示）

⑶如圖2,若乙0=72。，過點C作CFII0A交4?于點F,求4BG0與乙力CF的數(shù)量關系.

3.（24-25八年級上?河南信陽?期末）在△4BC中,CE平分乙4C8,ZJ4>

（1）如圖1,若于點。，△4=70。，=40°,則NDCE的度數(shù)為：

（2）如圖1,若于點0,猜想并寫出乙4、乙8、之間的數(shù)量關系，并說明理由；

⑶如圖2,設/A=a,乙B=B，當點F在射線E尸上時（不與點E重合），且。Fl于點。，直接寫出匕川咕的

度數(shù)為：.（用含%6的式子表示）.

【考點22全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用】

1.（2025八年級上?全國?專題練習）如圖，點4C,D,4在同一?條直線上，點￡廠分別在直線48的兩

側，AE=BF,DE=CF,AC=BD.

⑴求證：△ADEwABCF：

⑵猜想CE,D尸的位置關系，并說明理由.

2.（24-25七年級下?陜西咸陽?期末）泰塔，又稱寶塔寺塔、旬邑塔，被中華人民共和國國務院公布為第五

批全國重點文物保護單位.實驗中學數(shù)學興趣小組的張逸想利用學過的知識來測量泰塔的高度（40）.他帶

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了一根長為2米的木棍并設計了如下的測量方案：如圖，先在寶塔前選一點E,使得BE=2m,然后把豎直

的木棍C%CD=2m）在BE的延長線上左右移動，使乙4EC=90。.此時用皮尺測得泰塔底部與木棍底部的距

離BD=55m,已知CD1BD/8180.請你幫他求出泰塔的高度（48）.

3.（24-25七年級下?廣東河源?期末）△A8C是等腰直角三角形，W84C=90。，BC=6cm,過點A作4。1BC

交BC于點。，點P從點4出發(fā)，以lcm/s的速度沿著射線04方向運動，連接PD交4B尸點E,過點。作尸。的垂

線交直線AC于點F,交直線48F點G.設運動時間為ts.

⑵在點P的運動過程中，試探究線段GE與PF的數(shù)量關系，并說明理由；

⑶如圖2,連接EF,E尸上是否存在點”，使得△OC尸與△凡4,全等？若存在，求出此時￡的值；若不存在,

請說明理由.

【考點23角的平分線與線段的垂直平分線】

1.在RtAJBC中，48AC=90。，/E是斜邊8C上的高，角平分線8。交力E于點G,交力。于點。，DF1.BC

于點E

⑴求證：AB=BF-

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(2)試判斷力。與NG有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由.

2.(25-26八年級上?全國?期中)如圖，C,D是力8的垂直平分線上兩點，延長AC,DB交于點E,力尸IIBC交

DE于點、F.

求證：

⑴力8是乙CAF的角平分線;

(2)LFAD=乙E.

3.(24-25八年級下?山東青島?期末)探索新知：如圖①，/W是△48c的角平分線，笫與器之間有怎樣的

關系呢？過點。作OE_L/18,OFJ./1C,垂足分別為￡,F,過點4作垂足為

Z.ABC,DELAB,DF1AC

DE=DF

?：S^ABD=-DE=^BD-AH,S^ADC=\AC-DF=1DC-AH

S^ABD_AR^_BDcy,AB_BD

==

"~ACDCEX|J4C=DC-

新知應用：

(1)如圖②，4。是△ABC的角平分線，若4B=5,AC=3,則定=；

⑵如圖②，力。是的角平分線，若寰=今則桀=：

(3)如圖③，8。平分乙48C,CE平分41C8,若=5:6:4,S^ABC=mt則S四邊形從“。=

(用含加的式子表示).

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【考點24利用軸對稱的性質(zhì)判斷線段之間的關系】

1.（24-25八年級上?河北廊坊?期末）如圖1,△48C是等邊三角形，點。為力C邊上一點，連接點C

圖1圖2備用圖

⑴冷48是，D8E的平分線，求的度數(shù);

⑵如圖2,連接瓦4并延長交8。的延長線于點RZF=60°,試探究區(qū)4,4"和三者之間滿足的等量關系,

并說明理由.

2.如圖（1）,己知等邊△4。。的邊長為8,點尸是力。邊上的?個動點（與點/I,笈不重合）,直線/是經(jīng)

過點尸的一條直線，把△ABC沿直線/折疊，點4的對應點是點且當PB=4時，點所恰好在AC（不含

端點4C）邊上.

圖⑶

（1）在圖（2）中畫出當P8=4時的圖形，并求出此時的長度；

⑵在點尸的運動過程中，探究點9到點兒C之間的距離的關系.

3.（24-25七年級下?浙江?階段練習）如圖，將長方形紙片"CD沿EF折疊后，點“分別落在的位置,

BC交CD于點、P,再沿P/邊將折疊到NQ處，記=x度，zTFP=y度.

⑴寫出x,y的等量關系;

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(2)若4BEF=2乙EFQ,求％y的值.

【考點25等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合】

1.（24-25八年級下?陜西西安?期中）如圖，已知點。，后分別是△力BC的邊84和8C延長線上的點，作乙ZZ4c

的平分線4凡若力FJBC.

⑵點G是AF上一點，連接CG,若NB=40。，AG=AC,求匕GCE的度數(shù).

2.（24-25八年級下?陜西榆林?期末）如圖，在中，48=4&。為8。的中點，連接EF垂直平分

AB,分別交48于點E,交力C于點F,交4。于點M,連接BM,CM.

⑴求證：△4MC是等腰三角形；

⑵若乙。4。=20°,求〃尸E的度數(shù).

3.已知，在△48。中，==點。，E分別在8C/C邊上（。不與8,。重合）,

乙BAD=乙CDE.

（1）如圖1,若a=40。，且4。恰好平分NBAC,則Z/WE的度數(shù)為_。.

⑵如圖2,若a=70。，且點。是BC邊上的任意一點，小亮發(fā)現(xiàn)乙4DE的度數(shù)為定值,

①求〃DE的度數(shù)；

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②當。C=48時，求/DRE的度數(shù).

⑶如圖3,在點。的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，若a=100。，請直接寫出當乙等于多少度時,

△4OE是等腰三角形.

【考點26等邊三角形的性質(zhì)與判定的綜合】

1.在等邊△4BC中，點E是AB上的動點，點E與點4,8不重合，點。在。8的延長線上，且EC=ED.

圖1圖2

⑴如圖1,若點E是48的中點，求證：BD=AE.

（2）如圖2,若Z?不是力。的中點，（1）中的結論"。。=力出能否成立？若不成立，請直接寫出山。與力？的數(shù)

量關系，若成立，請說明理由.

2.（24-25八年級下?陜西咸陽?期末）如圖，在△力BC中，AB=AC,484c=120°,ADLBC,垂足為E,

且H/）=A8,點小、G分別在邊A8、AC上，^BDF=Z.ADG.求證：

⑴△48。是等邊三角形；

（2）BF=AG.

3.（24-25七年級下?上海松江?期末）已知：在△ACD中，尸是CD的中點，8是邊AD延長線上的一點,

BD=AC,連接8C、AP.

（1）如圖（1）,如果4P_LCD,證明：BD=AD-

（2）如圖（2）,過點。作0EII4C,交AP的延長線于點E,連接BE,如果4C4D=60。，證明：BC=2AP.

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【考點27含30。的直角三角形性質(zhì)的應用】

1.（25?26八年級上?全國?期中）已知，如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長8C到E,使

CE=CD,過。作。FlBE于凡

⑴求證：BD=DE；

⑵請猜想尸C與B尸間的數(shù)量關系，并證明.

2.（25?26八年級上?全國?期末）如圖，在A/IBC中，AB=AC,D是BC邊上任意一點，過點。分別向力C,AB

引垂線，垂足分別為E,F.

⑴當點。在8c的什么位置時，DE=DF?并說明理由；

（2）在（1）的條件下，若NB4C=120。，AE=8,求CE的長.

3.（24-25八年級下?河南鄭州?期末）綜合與實踐

在《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》回顧與思考課上，李老師出示了如下問題：在中，48=4。，點。在平面內(nèi),

連接并將線段AD繞點人逆時針旋轉(zhuǎn)與相等的角度，得到線段4E,連接CE.

BD

圖①圖②

⑴初步探究

如圖①，點。是8C邊上任意一點,則線段BD和線段CE的數(shù)量關系是二

⑵類比探究

如圖②，點0是平面內(nèi)任意一點,（1）中的結論是否依然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明

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理由.請僅以圖②所示的位置關系加以證明（或說明）；

⑶延伸探究

如圖③，在△力BC中，乙4cB=90。，Z-ABC=30°,AC=8,。是線段BC邊上的任意一點，連接AC,將線

段繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段力E,連接CE,請直接寫出線段CE長度的最小值.

【作圖篇】

【考點28尺規(guī)作角平分線、線段垂直平分線】

1.如圖，兩條公路A。，8。交于點O,村莊M,N的位置如圖所示，M在公路OA上，現(xiàn)要修建一個快遞站

尸，使快遞站到兩條公路的距離相等，且到兩村莊的距離也相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕

2.三條公路兩兩相交于力，B,C三點，現(xiàn)計劃修一座油庫，要求到三條公路的距離相等，可供選擇的地方

有幾處？請在圖中畫出來，保留作圖痕跡，不寫畫法.

3.（24-25九年級上?河北廊坊?期中）下圖是某休閑廣場的平面示意圖，A,。是廣場的兩個入口，AB,

BC.CD是小路，現(xiàn)要在廣場（四邊形4BCD）內(nèi)部修建一處噴泉（點P）,使噴泉P滿足以下兩個條件:

①噴泉尸到小路A8,8c的距離相等；

②噴泉P到入口力和。的距離相等.

請利用尺規(guī)確定點P的位置（保留作圖痕跡，不必寫作法）.

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D

Z__

BC

【考點29作軸對稱圖形】

1.(25-26八年級上?湖南?期中)如圖在平面直角坐標系中,各頂點的坐標分別為4(0,2),5(2,-2),C

(4,-1).

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⑴在圖中作△4BC,使△力BC'和△力BC關于y軸對稱;

⑵寫出點A、夕、C，的坐標;

⑶求的面積.

2.(24-25七年級下?黑龍江大慶?期末)如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,有一個以格點

為頂點的△/WC.(其中點4B,C均在網(wǎng)格上)

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⑴作△4BC關于直線1的軸對稱圖形△A'B'C；

⑵A4BC的面積足

⑶在直線I上畫出點Q,使得QA+QC最小.（保留作圖痕跡）

3.（24-25七年級下,廣東清遠?期末）“白口登山望烽火，黃昏飲馬傍交河〃，這是唐代詩人李顧《占從軍行》

里的一句詩，由此卻引申出?系列非常有趣的數(shù)學問題，通常稱為“將軍飲馬''問題.

4?

?B

?B

圖1圖2

⑴如圖1,若點/和點〃分別在直線/的兩側，請作出示意圖，在直線/上找到點C,使得。4+CB有最小

值，并說明作圖依據(jù)：_:

⑵如圖2,若點力和點4在直線）的同側，請在直線/上作出點P,使得P4+PB有最小值，尹說明理由.

【考點30利用