蘇科版九年級數(shù)學上冊第1章《一元二次方程》培優(yōu)試題

一.選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.把方程犬=2（x-3）化成一般式X?+〃=0,則正確的是（）

A.m=2,n=6B.in=2,n=—6C.w=—2,n=6D.m=—2,n=—6

2.下列方程中，一元二次方程共有（）

①3/+x=20；?2x2-3xy+4=O；?x2-x=\；?x2=1.

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.已知小是一元二次方程/+3.7=（）的一個根，那么〃/+3〃L3=（）

A.4B.10C.-4D.-10

4.一元二次方程/-6x+1=()配方后可化為()

A.(X+3)2=2B.(X-3)2=8C.(x-3)2=2D.(x-6)2=35

5.用因式分解法解一元二次方程4/一9-0,可分解得()

A.4(x+3)(x-3)=0B.(2x+3)(2x-3)=0

C.(2x+3)2=0D.(2X-3)2=0

6.已知52+從)2-83,+〃)-48=0,則/+〃的值為()

A.12B.4C.-4D.12或-4

7.多項式f-6x+4j/+4歹+20的最小值是()

A.20B.17C.10D.0

8.某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個.設(shè)該廠第二季度平均

每月的增長率為工，那么x滿足的方程是()

A.50(1+，=182B.50+50(1+x)+50(1+x>=182

C.50(1+x)+50(1+x)2=182D.50-50(1+x)=182

9.關(guān)于x的一元二次方程/+2工+4+1=0的兩根玉，々，滿足玉+々-西與<T，則4的

取值范圍是（）

A.k>-2B.k>2C.一2〈k0D.Q,左<2

10.已知一元二次方程/+工一1=0,嘉淇在探究該方程時，得到以下結(jié)論：

①該方程有兩個不相等的實數(shù)根；②該方程有一個根為1;③該方程的根是整數(shù)；④該方程

有一個根小于-1.則其中正確結(jié)論的序號為（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

二.填空題（共8小題，每小題3分，共24分）

11.若方程〃二+3x-4=/是關(guān)于x的一元二次方程，口打〃的取值范圍是.

12.一元二次方程2/+行》=3中，a=,b=,c=.

13.若。是方程工2+工一1=（）的根，則代數(shù)式2022-4+1的值是.

a

14.寫一個你喜歡的實數(shù)用的值,使關(guān)于工的一元二次方程2/一》+加=0有兩個

不相等的實數(shù)根.

15.若方程2/-6x+3=0較小的根為0，方程2/_2x-l=0較大的根為g,則

p+q=--------

16.已知關(guān)于x的一元二次方程/-3》+1=0有兩個不相等的實數(shù)根再，x2,則x；+*的

值是.

17.若一元二次方程av2=b（a〃>0）的兩個根分別是26+1與-〃?+3,則2=.

18.已知。是正整數(shù)，且使得關(guān)于x的一元二次方程af+2（2〃-3）X+4（。-2）=0至少有一

個整數(shù)根，則。的值為.

三.解答題（共8小題，滿分66分，其中19題6分，20題10分，21、22、23、24、25

每小題8分,26題10分）

19.當m是何值時,關(guān)于x的方程（*+2*+（小一1）4-4=3/.

（1）是一元二次方程；

（2）是一元一次方程.

20.解一元二次方程;

（1）2x2-4.r-l=0；(2)x(x-l)+3(x-l)=().

21.已知關(guān)于x的一元二次方程x（x-2）=左.

（1）若％=3,求此方程的解；

（2）當h.-l時，試判斷方程的根的情況.

22.化簡：（x+2--2）+并求值,其中％是一元二次方程/+33-1=（）的解.

x-23廠-6.v

23.己知關(guān)于x的一元二次方程r-2x+加+2=0有實數(shù)根.

（1）求實數(shù)〃，的取值范圍；

（2）若方程的兩個實數(shù)根為七，七，且，+J-=3,求/〃的值.

24.仔細閱讀下面例題，解答問題：

例：若m2+2mn+2/J—6〃+9=0,求〃？和〃的值.

解：*/m~+2mn+2/r-6/74-9=0,

nr+2mn+n~+〃？-6〃+9=0，

/.(m+n)2+(〃-3)2=0,

.,./〃+〃=0,〃-3=0,

m=-3,n=3,

請你利用上題解決下面的這兩個問題，請寫出你的解題過程.

(1)若--4。+5y2+2y+\=0,求xy的值；

(2)已知a,b,。是AJ8C的三邊長，滿足/+〃=10〃+126-61,c是A48c中最短邊

的邊長，且。為整數(shù)，那么?？赡苁悄膸讉€數(shù)？

25.解方程/一5/+4=0,這是一個四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設(shè)

x2=y,那么/=了2,于是原方程可變?yōu)閥-5y+4=0①，

解得兇=1，歹2=4.

當y=1時，X2=1?X=±\：

當y=4時，X2=4,X=±2.

二原方程有四個根：M=1,x2--\,x3=2,x4=-2.

以上方法叫做換元法，達到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想.運用該方法解決下列問

題：

直角三角形中兩條直角邊分別為“，b,且滿足（〃2+從）52+〃+[）=]2,求這個直角三角

形的斜邊長.

26.某公司投資新建了一商場，共有商鋪40間，據(jù)預(yù)測，當每間的年租金定為10萬元時,

可全部租出，每間的年租金每上漲0.5萬元，就要少租出1間.

（1）當每間商鋪的年租金定為15萬元時，能租出多少間？

（2）當租出的商鋪為32旬時，求該公司年租金？

（3）若該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費用2萬元，未租出的商鋪每間每年交各種

費用1萬元.當每間商鋪的年相金定為多少萬元時，給公司的年收益（收益=租金-各種費

用）為380萬元？

一.選擇題（共10小題）

1.C.2.C.3,A.4.B.5.B,6.A.7,C.8.B.

9.C.10.C.

二.填空題（共8小題）

11.12.2,_V5_-3_.13.2023.14.0

15.2.16.7.17.49.18.2.

三.解答題（共8小題）

19.當7M是何值時,關(guān)于X的方程（川+2）f+（加一1）工一4=3工2.

（1）是一元二次方程；

（2）是一元一次方程.

【解】：（1）?.,（〃/+2）./+（〃?一l）x-4=3.d是一元二次方程，

m1+2工3,

解得/M#±1；

(2)?.?(m2+2)x2+(m-l)x-4=3x2是一元一次方程,

"『+2=3A,ZQi

>解?得“?=一1.

，〃一1Ho

20.解一元二次方程：

(1)2X2-4X-1=0；(2)x(.v-l)+3(x-l)=0.

【解】：(1)2X2-4X-1=0,

x2-2x--=0,

2

(2)x(x-l)+3(x-l)=0,

(x+3)(x-l)=0,

x+3=0?x—1=0,

則X1=-3?x2=1.

21.已知關(guān)于x的一元二次方程x(x-2)=左.

(1)若％=3,求此方程的解：

(2)當人…-1時，試判斷方程的根的情況.

【解】：(1)把％=3代入原方程得：x(x—2)=3,

整理得：X2-2X-3=0,

分解因式得：(x-3)(x+l)=0,

解得：=3,x2=-1；

(2)?/△=(-2)2-4xl(-.t)=4+4k,

???￡..T

「?4+4k..0,

/.方程有兩個實數(shù)根.

22.化簡i+2-號片—井求值，其3是一元一次方程―二。的解.

【解】：原式=(盤-芻?號

_(x+3)(%-3)3x(—-2)

x-2x-3

=3x(x+3)

=3(X2+3X),

?/x2+3x-1=0?

/+3x=1,

.??原式=3.

23.已知關(guān)于x的一元二次方程』-2x+m+2=0有實數(shù)根.

(1)求實數(shù)/〃的取值范圍；

(2)若方程的兩個實數(shù)根為用,居，且,+'=3,求/〃的值.

再X)

【解】：(1)根據(jù)題意得△=(一2)2-4(旭+2)..0,

解得九-1；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得用+工2=2,$&=，〃+2，

11、

+—=3,

士超

x.+xy=3x.x,,

2=3(+2)

解得w=-j.

24.仔細閱讀下面例題，解答問題：

例：m2+2mn+2n2-6H+9=0,求〃？和〃的值.

解：m2+2mn+2n2-6n+9=0,

：.m2+2nui+n2+-6〃+9=0,

-3>=0,

.'.〃1+〃=0,〃-3=0,

/.m—-3?〃=3,

請你利用上題解決下面的這兩個問題，請寫出你的解題過程.

(1)若x?-4.w+5j『+2/+1=0,求父的值；

(2)已知〃，b,c是&48C的三邊長，滿足/+〃=]0。+⑵一61,c是中最短邊

的邊長，且c為整數(shù)，那么c可能是哪幾個數(shù)？

【解】：(1)x?-4個+5爐+2y+l=0,

變形得，

(x2-4xy+4j/)+(y2+2y+])=0,

.?.(x-2j)2+(y+l)2=0,

x-2y=0

「?49

y+1=0

x=-2

b=-1

(2)va2+Z)2=10^7+12^-61,

:.a2+b2-\Qa-12b+6\=0,

.?.("5)2+9-6)2=(),

：.a=5,6=6,

,.-6-5<c<6+5,

/.1<c<11,

vc是\ABC中最短邊的逅長，

/.c=2>3,4.

25.解方程/-5/+4=0,這是一個四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設(shè)

x2=^,那么于是原方程可變?yōu)閥2—5y+4=0①，

解得必=1，%=4.

當y=l時，X2=\,/.X=±1;

當y=4時，?=4,：,x=+2.

二.原方程有四個根：X)=1,x2=-1>x3=2,x4=-2.

以上方法叫做換元法，達到了降次的H的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想.運用該方法解決下列問

題：

直角三角形中兩條直角邊分別為a,b,且滿足("+〃)(/+〃+])=12,求這個直角三角

形的斜邊長.

【解】：設(shè)斜邊為c,

?.F,b是一個直角三角形兩條直角邊的長，

/.(/+?溫+二+1)=12,

根據(jù)勾股定理得：C2(C2+1)-12=0,

BP(C2-3)(C2+4)=0,

?.,(?+400,

C2-3=0,

解得：C=G或C=-G(舍去).

則直角三角形的斜邊長為

26.某公司投資新建了一商場，共有商鋪40間，據(jù)預(yù)測，當每間的年租金定為1()萬元時，

可全部租出，每間的年租金每上漲0.5萬