重難點32圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題

【全國通用】

題型歸納

【題型1三角形面積問題】.......................................................................2

【題型2四邊形面積問題】.......................................................................3

【題型3三角形面積之比問題】..................................................................4

【題型4三角形面積之和、之差問題】.............................................................5

【題型5已知面積求其他量】.....................................................................6

【題型6三角形（四邊形）面積的最值、范圍問題】................................................7

【題型7三角形（四邊形）面積的存在性問題】....................................................8

命題規(guī)律

1、圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題

圓錐曲線是高考的重點、熱點內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，圓錐曲線中的三角形（匹邊形）面積

問題考查熱度較高，考查形式多種多樣，主要考查三角形、四邊形的面積及其最值（范圍）問題、面積之

比問題、已知面積求其他量等問題，各種題型都有考查，在解答題中考查時，計算量較大，難度較高；復(fù)

習(xí)時要加強此類問題的訓(xùn)紡㈠靈活求解.

方;斑巧

知識點1圖錐曲線中的面積問題及其解題策略

1.三角形面積問題的解題策略

（1）利用三角形面積公式求解:

①&=g?底X高（?般選弦長做底，點到直線的距離為高）；

②&=g?水平寬X鉛垂高.

2.四邊形面積問題的解題策略

面積的拆分:不規(guī)則的多邊形的面積問題通?？紤]拆分為多個二角形的面積和，對于二角形如果底和高不

便于計算，則也可以考慮拆分成若干個易于計算的三角形.

3.三角形面積之比問題的解題策略

（I）三角形面積公式:利用三角形面積公式分別求出各個三角形的面積，再研究它們之間的比值問題.

（2）面積的關(guān)系的我化：尋找這些三角形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點，從而可將面積的

關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得計算得以簡化.

知識點2圓錐曲線中面積的最值（范圍）問題

1.圓錐曲線中面積的最值（范圍）問題的解題策略

一般都是利用三角形面積公式表示面積,然后將面積的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為某個變量的一個函數(shù)，再求解函數(shù)的

最值（常用方法有：單調(diào)性法、換元法、基本不等式、三角函數(shù)求最值、利用導(dǎo)數(shù)求最值等），在計算面積的

過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運算，靈活求解，簡化計算.

舉一反三

【題型1三角形面積問題】

【例1】（2025.河北.模擬預(yù)測）已知橢圓的焦點為凡，F(xiàn)2.橢圓C上有一點P處于第一象限，

且|陪+麗|=舊，則△PF1F2的面積為（）

A.-2B.—2C.—2D.1

【變式1-11（2025?河北?模擬預(yù)測）已知拋物線Of=2Px（p>0）,過焦點F的直線1與拋物線交于45兩點

（4在第一象限）且瓦？?麗=一：（0為坐標(biāo)原點），則當(dāng)37=4而時，△048的面積為（）

4

.1口5廠3c7

A.-B.-C.-D.-

2848

【變式1-2]（2025?廣西南寧?三模）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點。，且焦點在x軸上，點尸（4,一3）在雙曲

線C上，其一條漸近線方程為bx+2y=0.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點Q（0,2）且傾斜角為45。的直線I與雙曲線C交于M、N兩點，求△OMN的面積.

【變式1-3]（2025.北京東城.二模）已知橢圓E:^+'=l（a>0）的一個頂點為4（0,1）.且過點

（1）求橢圓E的方程及焦距

（2）過點（0,2）的直線與橢圓E交于不同的兩點8,。?直線48,4。的斜率分別記為七與七，當(dāng)心+句號時，求

△48。的面積.

【題型2四邊形面積問題】

【例2】（2025?甘肅白銀?三模）如圖，拋物線E:y2=4”的焦點為凡過點/且斜率為1的直線交拋物線E于4B

兩點，線段48的中點為M,其垂直平分線交X軸于點C,MN_Ly軸于點N,則四邊形CMNF的面積等于（）

C.6D.7

【變式2-1]（24-25高三下?河北保定?開學(xué)考試）已知4是左、右焦點分別為&尸2的橢圓邑?+9=1上異于

左、右頂點的一點，C是線段4F]的中點，0是坐標(biāo)原點，過尸2作4吊的平行線交直線CO于B點，則四邊形g8尸2

的面積的最大值為（）

A.2B.。C.迪D.這

442

【變式2-2]（2025?浙江寧波?模擬預(yù)測）已知直線I與雙曲線心產(chǎn)一3=1（匕>0）交于力，B兩點.

（1）若]過右焦點產(chǎn)，且歷8|的最小值為2,求b的取值范圍；

（2）若b=1,且伊8|=4,過弦力8的中點P分別作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足為M、N,求四邊形。MPN

的面積的最大值.

【變式2-3]（2025?上海楊浦?三模）已知橢圓樣+《=l（a>b>0）的左右焦點分別為F],F?上下頂點分

別為當(dāng)，△當(dāng)&尸2是面積為1的直角三角形，過焦點的直線交橢圓「于P、Q兩點（P、Q分別在第一、

四象限）.

（1）求橢圓「的離心率;

（2）已知點M（0,m）,m>0,求橢圓「上的動點R到點M的最大距離；

⑶求四邊形Bi/Q尸面積的取值范圍.

【題型3三角形面積之比問題】

【例3】（2023?新課標(biāo)II卷?高考真題）已知橢圓C:9+y2=i的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,直線y=x+m與

。交于A,8兩點，若通8面棧是△FzAB面積的2倍，則根二（）

A.-B.—C.D.--

3333

【變式3-1］（2025?重慶?模擬預(yù)測）已知拋物線C:必=4、的焦點為尸，過小且斜率為1的直線與拋物線交

于43兩點（A在工軸上方），過點43作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為￡、夕線段中點為E,四邊形AACF和

四邊形BMEF的面積分別記為S1,S2,則金二（）

S2

A.3-2V2B.3-V2C.3+V2D.3+2企

【變式3-2］（2025?北京豐臺?二模）已知橢圓￡:圣+5=1伍>8>0）的左頂點為力（一2,0）,焦距為2夜.

（1）求橢圓￡的方程；

（2）設(shè)。為原點，過點力且斜率為々的直線［與橢圓E的另一個交點為7,線段47的垂直平分線與x軸交于點M,

與T軸交于點N.過點P（l,0）且與Z平行的直線與y軸交于點Q.若^?！翱膳c4%2（2的面積之比為4:3,求攵的

值.

【變式3-3］（2025?湖南永州?三模）已知雙曲線E：捻一，=1（。0,b>0）的虛軸長為2,離心率為學(xué).

⑴求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）過點M（l,0）的直線/與E的左、右兩支分別交于A,B兩點，點C（2,V5）,直線8C與直線x=3交于點N.

（i）證明：直線4N的斜率為定值：

（ii）記&,S2分別為AMBC,AABN的面積，求？的取值范圍.

【題型4三角形面積之和、之差問題】

【例4】（2025?湖南?二模）若橢圓9+y2=1的左右焦點分別為F],F2,直線/：y=-％+1與橢圓交于A,

8兩點，若點P為線段48上的動點，則S-FIP+S^F2P的最小值為（）

D,

【變式4-1]（2025?全國?模擬預(yù)測）已知。為坐標(biāo)原點，尸為拋物線0y=4%的焦點，直線，與C交于點力,8（點

4在第一象限），若褊?赤=0,則ZMOF與△AOB面積之和的最小值為（）

A.6\/5B.7V5C.8V5D.9V5

【變式4-2]（2025?湖南長沙?模擬預(yù)測）已知雙曲線E的中心在原點，焦點在x軸上，且焦點到漸近線的距

離為患,其離心率為右記直線I從下到上與x軸、雙曲線的右支、兩條漸近線、雙曲線的左支依次交于點P,

A,B,C,。，如圖所示：

（1）求雙曲線E的方程；

（2）求證:\AB\=\CD\；

（3）若上，焉成等差數(shù)列，問△°P4的面積之和是否為定值?并說明理由.

【變式4-3]（2025?湖南長沙?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為：（x++y?=知，定點

F(V3,0),B是圓C上任意一點，線段B尸的垂直平分線/和半徑相交于點T.

(1)求點了的軌跡W的方程：

(2)凱跡W與x軸的交點為M,M點N在點M右側(cè))，直線PQ與軌跡W交于P,Q兩點(異于M,N),MP

的斜率為自，NQ的斜率為七且自=3七，AMPQ與ANPf?的面積分別為Si，S2,求IN-Szl的最大值.

【題型5已知面積求其他量】

【例5】(2025?全國?模擬預(yù)測)已知橢圓￡>：《+、=l(a>b>。)的左、右焦點分別為吊,尸2,離心率為乎,

點4在橢圓E上，且|力&|=2歷尸21，△ARE的面積為4夜，則橢圓E的焦距為()

A.4V2B.8V2C.6D.12

【變式5-1】(2025?河北滄州?模擬預(yù)測)已知傾斜角為g的直線/經(jīng)過拋物線C:%2=2py(p>0)的焦點，且

與。交于不同的兩點4B,過4B分別作直線y=-軟勺垂線，垂足分別為M,N,若梯形力MNB的面積為48,

則p=()

A.1B.V2C.V3D.2

【變式5-2](2025?江蘇揚州?三模)己知力(4,0)和2(2,匈，直線4P與橢圓C:攝+《=l(a>b>0)切于點P.

(1)求C的離心率：

(2)若過P的直線/交C于另一點B,且AA8P的面積為4衣，求，的方程.

【變式5-3](2025?江西新余?模擬預(yù)測)已知尸2分別是雙曲線C:《—3=1(。>0/>0)的左、右焦點,

點M為平面內(nèi)一點，線段KM的中點在該雙曲線右支上,N在x軸上，布=2銃,IMF/-|MN|=4,4(2,3)

為雙曲線C上一點.

⑴求雙曲線C的漸近線方程：

（2）已知過A的直線/交該雙曲線于A,B,。（0,3）,△04B的面積為6,求直線/的方程.

【題型6三角形（四邊形）面積的最值、范圍問題】

【例6】（24-25高三下?湖北?開學(xué)考試）過拋物線C:y2=軌上的一點P作切線!，設(shè)!與不軸相交于點M,F為C的

焦點，直線P小交C于另一點Q,則aPQM面積的最小值為（）

A.—B.4C.—D.3

39

【變式6-1］（2025?全國?模擬預(yù)測）己知0為坐標(biāo)原點，直線=-+>0）與雙曲線好一卷二1相交

且只有一個交點，與橢圓［+［=1交于M，N兩點，則△OMN面枳的最大值為（）

2516

A.10B.12C.14D.16

【變式6-2］（2025?四川成都?模擬預(yù)測）已知點S（—1,0）,7是圓9。-1）2+丫2=16上的動點，線段57的

垂直平分線與直線Q7交于點P.設(shè)點P的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

（2）設(shè)曲線C與％軸的正半軸交于點兒過》軸上不同于點4的點（。0）作直線1與曲線C交于“，N兩點.若使得4

4MN的面積最大的直線，有兩條，求t的取值范圍，并用t表示△■可面積的最大值.

【變式63】（2025甘肅白銀模擬預(yù)測）已知雙曲線。$一，=19>0,2>0）的左、右焦點分別為用,尸2,

|&瑪1=26，且點F?到C的漸近線的距離為2.

（I）求。的方程；

（2）記。的左頂點為4過點E（2,0）的直線/與C交于M,N兩點（異于點力）.

（i）證明：直線AM,AN的斜率之積為定值；

（ii）過點E分別作直線AM,AN垂線，垂足分別為P,Q,記△力￡P(guān),△AEQ的面積分別為&,52,求的最

大值.

【題型7三角形（四邊形）面積的存在性問題】

【例J7】（24-25高二下?貴州安順?期末）已知平面內(nèi)一動點PQ,y）到點F（1,O）的距離與它到直線x=4的距離

之比為點過點尸的直線!與動點P的軌跡C相交于4B兩點.

（1）求動點P的軌跡C的方程.

（2）是否存在直線1,使得△AOB的面積為V5?若存在，求出直線，的方程；若不存在，請說明理由.

【變式7-1]（2025?江西?三模）已知橢圓「：5+卷=1（。＞0涉＞0）的右焦點為月下頂點為M,離心率為

（且|MF|=2.

⑴求橢圓「的方程.

（2）已知過點F的動直線/與橢圓r交于A,8兩點，且A,C關(guān)于原點對稱，是否存在直線/,使得四邊形OFBC

的面積為：？若存在，求出直線/的條數(shù)；若不存在，請說明理由.

4

【變式7-2]（2025?山東青島?一模）已知橢圓。:/+3=1（。＞匕＞0）的左，右焦點分別為F「F2,短軸長

為2百，離心率為"

（1）求C的方程;

(2)記。的左頂點為4直線E與C交于巴Q兩點，直線AP,4Q的斜率之積為

(i)證明：直線1過定點；

(ii)若P在％軸上方，直線PF1與圓”:(%+1)2+丫2=16交于點8,點B在%軸上方.是否存在點P,使得APBFz

與AQF】F2的面積之比為3：5?若存在，求出點P坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【變式7-3](2025?福建福州?模擬預(yù)測)已知直線y=2x與拋物線「號2=22無@>0)交于內(nèi)，G2兩點，且

(2)若戶為％=-2上一點，PA,05與x軸相交于M,N兩點，MM,N兩點的橫坐標(biāo)的乘積%M,%N是否為定

值？如果是定值，求出該定值，否則說明理由:

(3)若射線OA,。8分別與橢圓。交于點。，E,點。為原點，△ODE,△。4B的面積分別為S2,問是否

存在直線/使52=3及？若存在求出直線/的方程，若不存在，請說明理由.

:過關(guān)測試]

一、單選題

I.（2025?湖北黃岡?模擬預(yù)測）已知橢圓C:1+y2=i的右焦點為凡過點產(chǎn)作兩條相互垂直的直線分別與C

相交于48和P,Q,則四邊形4PBQ面積的最小值為（）

A.1B.-2C.2D.-2

2.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測）已知雙曲線一V=i的左、右焦點為鳥，直線y=x+m與。交于

A,4兩點，若△片力8的面積是△FzAB面積的2倍，則7九=（）

A.|B.g或6C.-6D.-6或一|

3.（2025?甘肅白銀?三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線。:川=2px（p>0）的焦點為F,準(zhǔn)線為直

線玄=一3,過點F的直線，與C相交于A,B兩點，則△力。8面積的最小值為（）

A.24B.18C.16D.12

4.（2025?新疆省直轄縣級單位.模擬預(yù)測）已知F2是橢圓C：?+?=1的左、右焦點，戶是C上第一

象限內(nèi)一點，4F/Fz的平分線/經(jīng)過點Mg,。），則△P&F2的面積為（）

A.IB.2C.D.3

22

5.（2025?山西晉中?模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點P是雙曲線9—y2=i上任意一點，過點P所

作的兩條漸近線的平行線與漸近線的交點分別為4B,則四邊形04PB的面積（）

A.為定值V5B.最大值為

C.為定值當(dāng)D.最大值為苧

6.（2025?云南?模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線1:丫=心:+1與拋物線。:/=4丫交于4,B兩點,與C

的湮線交于點M.若湘二2而，點產(chǎn)為C的焦點，則△。力尸與△。8尸的面積之比為（）

A-1B-1c-!D-1

7.（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知橢圓E：y+y2=1的左焦點為F,過點P（2,t）分別作E1的切線產(chǎn)力、PB,

切點分別為A、B,則△48/面積最大值為（）

A.V2B.V3C.2D.2或

8.（2025?云南昆明?模擬預(yù)測）雙曲線/-白二1的左、右焦點分別為FL，過&的直線/與雙曲線的左、

右兩支分別交于A,/《兩點，則等位的取值范圍是（）

^￡?ABF2

A.（0彳）B.（0,1）C.D.$+8）

二、多選題

9.（2025?江蘇?模擬預(yù)測）設(shè)拋物線E:/=2py（Q>0）的焦點為凡直線y=kx+1（k>0）與拋物線相交

于/（%,%）,8（%2，%）兩點，與％軸交于點。，|力川=q,|BF|=4,則下列說法正確的是（）

A.yxy2=2B.p=4

C.\AB\=|V17D.△力尸B與A4/T的面積之比為3:1

10.（2025?江西新余?模擬預(yù)測）已知&,尸2分別是雙曲線1?>0）的左、右焦點，M是該雙曲線

右支上一點，N在線段KM上，07/="西+麗）,耳耳?加=0,離心率為9，則下列結(jié)論正確的為（）

A.實軸長為4B.|NF/-|NO|=1

C.aaMF2的面積為3D.IMFJ+|MF2|=2<10

11.（2025?湖北?三模）已知點F（c,0）是橢圓C《+?=1（。>2旬的右焦點，點A,8分別是橢圓的左、

右頂點，過點尸的直線/與橢圓交于P，Q兩點，點P在第一象限，用心p,k.Q,岫p分別表示直線AP,4Q,

8P的斜率，kAP（kAQ+kBP）=-\則（）.

A.kk=--B.板=乙

APBP

4kBQ2

C.a=3D.面積的最大值為41

三、填空題

12.（2025?廣東?一模）吊,尸2分別為雙曲線產(chǎn)一<=1的左、右焦點，4c兩點在雙曲線上且關(guān)于原點對稱

?5

（點A在第一象限），直線CB與雙曲線的另一個交點為點8，若MF/-出尸2|=6,貝必48c的面積

為?

13.（25-26高三上?安徽蚌埠?開學(xué)考試）已知橢