專(zhuān)題4.2指數(shù)函數(shù)（舉一反三講義）

【人教A版】

題型歸納

【題型1指數(shù)函數(shù)的判定】.......................................................................1

【題型2根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)】............................................................2

【題型3求指數(shù)函數(shù)的解析式】...................................................................4

【題型4比較指數(shù)第的大小】.....................................................................6

【題型5解指數(shù)不等式】.........................................................................8

【題型6指數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別與應(yīng)用】............................................................9

【題型7指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題】.........................................................12

【題型8指數(shù)型更合函數(shù)及其應(yīng)用】..............................................................14

【題型9指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】..................................................................17

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)的概念

1.指數(shù)函數(shù)的定義

（I）一般地，函數(shù)尸且在1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量,定義域是區(qū).

（2）指數(shù)函數(shù)尸0K（60,且存1）解析式的結(jié)構(gòu)特征：

①加的系數(shù)為1：

②底數(shù)a是大于0且不等于1的常數(shù).

【題型1指數(shù)函數(shù)的判定】

【例1】（24-25高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=x3B.y=（-4）xC.y=5x+1D.y=52x

【答案】D

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義即可判斷.

【解答過(guò)程】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義形如y=QYQ>0且QH1）為指數(shù)函數(shù)判斷：

對(duì)于A：丫=爐為累函數(shù)，故A錯(cuò)誤：

對(duì)于B：y=（—4尸中一4不能作為底數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：y=5"i=5x5、中系數(shù)不為1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：y=52*=25、是指數(shù)函數(shù)，故D正確；

故選:D.

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【變式1?1】（24-25高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）判斷函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=x2B.y=4x2

C.y=xxD.y=（a-l）x（a>1,且aw2）

【答案】D

【解題思路】由指數(shù)函數(shù)定義可判斷選項(xiàng)正誤.

【解答過(guò)程】指數(shù)函數(shù)是指形如y=ax（a>0,且Q工1）的函數(shù).

則四個(gè)選項(xiàng)中，只有D滿足條件.

故選：D.

【變式1-2]（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=2X+1B.y=2x+1C.y=2~xD.y=-2X

【答案】C

【解題思路】由指數(shù)函數(shù)的定義即可判斷.

【解答過(guò)程】由指數(shù)函數(shù)的定義可知，、=2丫+1帶有常數(shù)項(xiàng)，A錯(cuò)誤；

y=2"〔=2x2*與丫=一2犬的系數(shù)都不為1,B錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；

y=2~x=Q）,符合題意，C正確.

故選：C.

【變式1-3]（24-25高一上?江西新余?期中）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=x4B.丫=（一2尸C.y=311D.y=（^）x

【答案】D

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.

【解答過(guò)程】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義：形如丁二d（a>0H.a*1）的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)從而可判

斷選項(xiàng)D正確.

故選：D.

【題型2根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)】

【例2】（25-26高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）函數(shù)y=（7-2a）”是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍為（）

A.（一8,g）B.（—oo,3）C.（-8,3）U（3,9D.（3,g）

【答案】C

【解題思路】由指數(shù)函數(shù)的定義列出限制條件，求解不等式組可得答案.

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【解答過(guò)程】由指數(shù)函數(shù)的定義得解得Q<g，且Q學(xué)3,故Q的取值范圍是（一8,3）1）（3彳）.

故選：C.

【變式2-1]（24-25高一上?全國(guó)?課堂例題）若函數(shù)y=（2Q—l）“（》是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范

圍是（）

A.（0,1）U（1,+co）B.[0,l）U（l,+oo）

C.+8）D.[p+oo）

【答案】C

【解題思路】由指數(shù)函數(shù)的定義即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)y=（2Q—l）“（》是自變量）是指數(shù)函數(shù)，所以已解得：。〉；且。工1；

vza-i手in

故選：c.

【變式2-2]（24-25高上天津河西期末）若函數(shù)/?（%）-（2。2一3a十2”ar是指數(shù)函數(shù)，貝Ija的值為（）

A.2B.1C.1或gD.1

【答案】D

【解題思路】由指數(shù)函數(shù)的定義可得2a2-3。+2=1且Q>0,aHl,解方程驗(yàn)證可得.

【解答過(guò)程】解：因?yàn)楹瘮?shù)丫=（2?2-3。+2）外是指數(shù)函數(shù)，

???2a2-3a+2=1且Q>0,aH1,

由2a2—3a+2=1解得a=1或a=

i

???a=-?

故選：D.

【變式2-3]（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）若函數(shù)/（%）=（2k+1）”（x是自變量）為指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k

的取值范圍是（）

A.（-1,0）U（0,+oo）B.（O,1）u（p+oo）

C.（—8,0）u（0,3D.

【答案】A

【解題思路】根據(jù)條件，利用指數(shù)函數(shù)的定義，即可求解.

【解答過(guò)程】由/0）=（2憶+1）》為指數(shù)函數(shù)，得2k+l>0且2/C+1H1,解得々€（-g,0）U（0,+8）,

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故選：A.

【題型3求指數(shù)函數(shù)的解析式】

【例3】(2025高一?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))若指數(shù)函數(shù)/?(%)的圖象過(guò)點(diǎn)(3,8),則/?(%)的解析式為()

A.fM=x3B./"(%)=/C./(%)=(；)'D.fM=2x

【答案】D

【解題思路】設(shè)出解析式，將點(diǎn)(3,8)代入，求出解析式.

【解答過(guò)程】設(shè)/O)=謨(a>0且a工1),則。3=8,

解得a=2,故f(%)=2X.

故選：D.

【變式3-1](24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))若指數(shù)函數(shù)/(切的圖象過(guò)點(diǎn)(4,81),則/(為的解析式為()

A.f[x}=%3B.f{x}=3X

c.fW=Q)XD.fM=詞

【答案】B

【解題思路】設(shè)/(乃二d，(。>0且。工1),代入點(diǎn)(4,81)運(yùn)算求解即可.

【解答過(guò)程】設(shè)/(x)=ax,(a>0且aHl),

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,81),則/'(4)=a4=81,解得a=3,

所以/O)=3\

故選：B.

【變式3?2】(24-25高一上?陜西寶雞?期末)已知函數(shù)/(%)=(。2-2。-2)必是指數(shù)函數(shù).

(1)求/(%)的表達(dá)式；

(2)判斷尸(%)=/(%)+去的奇偶性，并加以證明.

【答案】(1)〃幻=3"

(2)F(x)是偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析

【解題思路】(1)由指數(shù)函數(shù)定義即可列方程求解；

(2)由偶函數(shù)定義即可判斷并得證.

【解答過(guò)程】(1)?.?函數(shù)fa)=(a2-2a-2)出是指數(shù)函數(shù)，a>0且a=1,

???a2—2a—2=1,

可得。=3或。=1(舍去),

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:./(x)=3X.

(2)r(x)是偶函數(shù)，

證明如下：F(x)=/(x)+J-=3X+3-x,xeR,

F(—x)=3r+3*=F(x),

??.F(x)是偶函數(shù).

【變式3-3](24-25高一上?重慶?期中)已知指數(shù)困數(shù)/(無(wú))=a?Q>U,且Q工1)過(guò)點(diǎn)(一2,9).

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若/(2m-1)-f(m+3)V0,求實(shí)數(shù)zn的取值范圍.

【答案】(I)/(%)=G)'

⑵(4,+oo)

【解題思路】(1)根據(jù)題意，由a-2=9求解；

(2)利用函數(shù)f(x)在R上遞減,將不等式轉(zhuǎn)化為f(2m-1)<f(m+3)求解.

【解答過(guò)程】(1)解：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)且QH1)過(guò)點(diǎn)(一2,9),

所以Q-2=9,解得a=g,

所以函數(shù)外外的解析式為/(幻=Q)x；

(2)由(1)知函數(shù)/(%)在R上遞減，

/(2m—1)—f(m4-3)<0,轉(zhuǎn)化為f(2m—1)<f(m+3),

所以2?n-l>m+3,解得m>4,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,+co).

知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(0J),即當(dāng)尸0時(shí)，y=\

單調(diào)性在(-00,十⑹上是減函數(shù)在(-8,十8)上是增函數(shù)

當(dāng)x<0時(shí)，y>l當(dāng)XV。時(shí),0<y<l

函數(shù)值的

當(dāng)x=0時(shí)，y=\當(dāng)x=0時(shí)，y=\

變化范圍

當(dāng)：>0時(shí)，0<F<1當(dāng)x>0時(shí)，戶1

2.底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象的影響

指數(shù)函數(shù)產(chǎn)砥。>0,且存1)的底數(shù)對(duì)圖象的影響可以從不同角度來(lái)記憶理解.

⑴無(wú)論是。>1還是oq〈i,在第一象限內(nèi)，自下而上，圖象越高的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，即"底大圖高

底

數(shù)

逐

漸

增

大

(2)左右比較：在直線尸1的上面，時(shí)，。越大，圖象越靠近)，軸；Oqvl時(shí)，。越小，圖象越靠近y軸.

(3)上下比較：比較圖象與直線尸1的交點(diǎn)，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.

3.比較指數(shù)塞的大小的方法

比較指數(shù)累的大小的方法(分三種情況)：

(1)底數(shù)相同,指數(shù)不同:利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷；

(2)底數(shù)丕同.指數(shù)相同:利用底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)的圖象變化規(guī)律來(lái)判斷：

(3)底數(shù)丕同，指數(shù)丕同：通過(guò)中間量來(lái)比較，一般引入中間量“1”.

4.指數(shù)方程(不等式)的求解思路

指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.

【題型4比較指數(shù)鬲的大小】

/I、0.2

【例4】(24-25高一上?吉林長(zhǎng)春?期中)已知。=2。3,b=401,c=Q),則三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小即得.

【解答過(guò)程】依題意，b=(22)01=20-2<20-3=Q,c=(1)0-2<(1)°=1,b=401>4°=1,

所以a>b>c.

故選：A.

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【變式4-1]（24-25高一上?湖北恩施?期中）已知。=0.6°乙b=0.7°6,c=O.707,則（）

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

【答案】D

【解題思路】結(jié)合待比較的三個(gè)數(shù)的指數(shù)，底數(shù)的特點(diǎn)，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，暴函數(shù)，根據(jù)它們的單調(diào)性即可求

解.

【解答過(guò)程】設(shè)y=o.7x（x6R）,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，y=0.7'在R上單調(diào)遞減,則O/'<O.706,即c<b；

設(shè)丁=處7（%>（））,根據(jù)嘉函數(shù)的單調(diào)性，、=”7在（0,+8）上單調(diào)遞增，則0.7°7>0.6。7,即Q<C.

故a<c<b.

故選：D.

【變式4-2]（25-26高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知OVQClVb,則（）

A.ba<ab<aa<bbB.ab<aa<ba<bb

C.bh<ah<aa<baD.ah<ba<aa<bh

【答案】B

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)镺VaVIVb,

函數(shù)y=ax（0<a<1）是減函數(shù)，

所以0<<aa<1,

同理，函數(shù)y=〃（b>1）是增函數(shù)，所以lv/v/A

綜上，可得<aa<ba<bb.

故選：B.

【變式4-3]（25-26高一上?全國(guó)?單元測(cè)試）若a=0.5°2,b=0.25T,c=0.5—%則（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.h>c>aD.c>a>b

【答案】C

（解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【解答過(guò)程】由匕=0.25-1=（0.52）-1=0.5—2,

因?yàn)閥=0.5、在R上單調(diào)遞減，且-2<-0.5<0.2,

所以b>c>a.

故選；C.

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【題型5解指數(shù)不等式】

/i\2a+l

【例5】(24-25高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí))若G)V23-2。，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,+8)B.RC.(-oo,0)D.全不對(duì)

【答案】B

【解題思路】應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算求解.

【解答過(guò)程】函數(shù)丫=6)”在R上為減函數(shù)，

因?yàn)?3<2=G)，所以2a+l>2a-3,

即1>一3恒成立，.?.a6R.

故選：B.

【變式5-1](25-26高一上?全國(guó)?課后作業(yè))若2>+14@)尸1則%的取值范圍為()

A.(—co,-3]B.[—3,1]C.(-8,-3]u[l,+8)D.[1,+8)

【答案】B

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得出結(jié)果.

【解答過(guò)程】因2，+1<(3*2=24-2》，則％2+1<4-2x,

即/+2X-3<0,解得一3<x<1,

所以》的取值范圍為[-3,1].

故選：B.

【變式5-2](24-25高一上?河北?期末)已知函數(shù)f(%)=ax2+bx+l(a>0,且a工1)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,3),(1,1).

(1)求a,b的值；

(2)求不等式3</(X)<81的解集.

【答案】⑴氏立3g

(2)(-1,0)U(2,3)

【解題思路】(1)將點(diǎn)(0,3),(1,1)代入函數(shù)解析式，解方程組即可求解；

(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式組求解即可.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=/+以+1的圖象過(guò)點(diǎn)(0,3),(U),

所以解得｛廠3

1/(1)=a"。=15=-2

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（2）由（1）得/0）=3,0+1,

由3V/（x）<81,得3]<3'2-2'+1<34,所以1V%2一2%+1=（舅一i）2v%

所以1VX-1V2或一2V%—1V-1,

解得一l<x<0或2Vx<3,

即不等式3<fW<81的解集為（一<0）U（2,3）.

【變式5-3]（24-25高一上?全國(guó)?周測(cè)）已知指數(shù)函數(shù)f（X）=QX（Q>0且QH1）的圖象過(guò)點(diǎn)（一2,9）.

（I）求a的值；

（2）若/（m）=2,/（n）=求m+n的值；

（3）求不等式/'（%2-5%-6）>1的解集.

【答案】（l）a=；

（2）m+n=-2

⑶任|-1<x<6]

【解題思路】（1）將點(diǎn)（-2,9）代入解析式中即可得解；

（2）利用（1）中的解析式以及指數(shù)幕的運(yùn)算即可求解；

（3）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求解.

【解答過(guò)程】（1）?.?指數(shù)函數(shù)/（乃二謨的圖象過(guò)點(diǎn)（一2,9）,

/（—2）=u-2=9?/.a=±a>0?1a=g；

（2）由（I）知，/（X）=（1）\

???/⑺=2,/（n）=pQ）m=2,?'=p

...削?=（曠上W=9=（『，，.m+-2：

（3）不等式/（%2-5x-6）>1,即-6>G）°，

/（X）=G）”在R上單調(diào)遞減，

x2—5%—6<0,即（％-6）（%+1）V0,解得-1VXV6,

???不等式的解集為{川一1V%<6}.

【題型6指數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別與應(yīng)用】

【例6】（24-25高一」二?山西呂梁?期末）已知a>0且aH1,則在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax+1和y=（：）

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【解題思路】易得兩個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,1),即可排除B；再分ovaVI和a>1兩種情況討論即

可得解.

【解答過(guò)程】題目所給的兩個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,1),故B錯(cuò)誤；

因?yàn)閍>0且aHl,所以y=ax+l為增函數(shù)，

當(dāng)OVaVl時(shí)，y=Q)為增函數(shù)，此時(shí)y=ax+1的零點(diǎn)一^<-1,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)a>l時(shí)，y=Q為減函數(shù)，此時(shí)y=ax+1的零點(diǎn)一3￡(-1，。)，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式6-1](25-26高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí))已知函數(shù)丁=。"(a>0,且QW1)與函數(shù)y=g)(b>0,

A.a>b>1B.a>l>b>0C.b>l>a>0D.b>a>1

【答案】A

【解題思路】由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得Q>1,b>1.再根據(jù)函數(shù)y=(J'(b>0,且bH1)與函數(shù)y=bx

(b>0,且bwl)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【解答過(guò)程】由圖得a>l,0<i<1,所以b>1.

D

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因?yàn)楹瘮?shù)丫=@了（b>0,且力Hl）的圖象與函數(shù)y=〃">0,且b。1）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖所

由圖可知：a1>b1,則

故選：A.

【變式6-2］（24-25高一上?浙江?期中）函數(shù)/（幻圖象的一部分如圖所示，則函數(shù)“X）的解析式有可能是（）

A.y=2X-1B.y=2X_1C.y=2~x—1D.y=2-x-1

【答案】A

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除C、D,再由函數(shù)過(guò)點(diǎn)（0,0）.即可判斷口

【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域R上單調(diào)遞增，

因?yàn)閥=2T—l=G）'—l,丫=2-'-1=Gy”在定義域R上單調(diào)遞減，故排除C、D；

又當(dāng)％=0時(shí)y=0,顯然y=2"：不過(guò)點(diǎn)（0,0）,故B錯(cuò)誤；

、=2"-1在定義域區(qū)上單調(diào)遞增，且尸>0,所以、=2*-1>一1,符合題意.

故選:A.

【變式6-3］（24-25高一上?安徽六安?階段練習(xí)）設(shè)指數(shù)函數(shù)g：y=Q>,C2：y=b\C3：y=/的圖象如

圖，則（）

11/20

A.0<c<l<b<aB.0<tz<l<b<c

C.c<b<aD.0<c<l<a<b

【答案】A

【解題思路】做直線％=1，數(shù)形結(jié)合，可得①瓦c的大小關(guān)系.

【解答過(guò)程】如圖：

做直線%=1，得到直線與三個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別為(La),(l,b),(l,c),由圖可知：0<c<l<b<a.

故選：A.

【題型7指數(shù)(型)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題】

【例7】(24-25高二卜.?天津?yàn)I海新?階段練習(xí))函數(shù)/a)=0.3--2x的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(一8,1)B.(l,+oo)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】A

【解題思路】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.

【解答過(guò)程】函數(shù)/(%)=0.3,-2x中，令t=/一2x,則函數(shù)t二萬(wàn)2-2x在(一8,1)上單調(diào)遞減，(1,+8)上

單調(diào)遞增，

而函數(shù)y=03為減函數(shù)，因此函數(shù)/?(%)在(-8,1)上單調(diào)遞增，(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(%)=0.3，-2x的單調(diào)遞增區(qū)間是(一00,1).

故選；A.

12/20

【變式7-1](2()25山東濟(jì)寧?二模)若函數(shù)/(幻二6)在[1，+8)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.a<2B.a>2C.a<1D.a>1

【答案】A

【解題思路】f(x)=(<)/-ax是由？=(；)"與〃=%2-ax復(fù)合而成，先分析外層函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)復(fù)合函

數(shù)單調(diào)性確定內(nèi)層函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出Q的取值范圍.

【解答過(guò)程】f(x)=6)--以是由？=6)”與〃=x2-ax復(fù)合而成，

在『=6尸中,b=,所以y=6)"在R上單調(diào)遞減.

因?yàn)?(乃=6),-ax在”,+8)上單調(diào)遞減，且外層函數(shù)y=6尸在R上單調(diào)遞減，

根據(jù)第合函數(shù)“同增異減''的原則，可知內(nèi)層函數(shù)〃=X2-QX在[1,+8)上單調(diào)遞增.

對(duì)于二次函數(shù)a=%2一。刈其圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為％=-/=*

二次函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)單調(diào)遞增，要使〃=x2-a叉在[1,+8)上單調(diào)遞增，

則對(duì)稱(chēng)軸需滿足]<1,解得Q<2.

故選:A.

【變式7-2](24-25高一上?重慶匚北?期末)函數(shù)/(%)=2、2-2*-3的減區(qū)間為()

A.(-8,—DB.(-8,1)C.(1,+8)D.(3,+8)

【答案】B

【解題思路】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則可確定選項(xiàng).

【解答過(guò)程】令g(x)=2，/i(x)=x2-2x-3,貝ijg(/i(x))=f(x)=2X2~2X~3,

:0(%)在R上為增函數(shù)，h(x)在(-8,1)上為減函數(shù)，

???/(%)=2/-2廠3的減區(qū)間為(_8,1).

故選:B.

【變式7-31(24?25高一上?山東E照期末)若函數(shù)f(%)=2，F(xiàn)+3在區(qū)間(2a)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是()

A.(-co,4]B.(-co,6]C.[6,+co)D.[4,+co)

【答案】A

【解題思路】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解判斷.

【解答過(guò)程】令〃=爐一3十3,對(duì)稱(chēng)軸為％=會(huì)又y=2”是R上增函數(shù)，

13/20

因?yàn)?(X)=2星一”+3是(2,3)上的增函數(shù)，

所以即aW4,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一8,4］.

故選：A.

【題型8指數(shù)型復(fù)合函數(shù)及其應(yīng)用】

【例8】(24-25高一上?黑龍江大慶?期末)已知函數(shù)/?(無(wú))=4*-6-1)2丫+2(0式工42).

(1)若/(X)在［0,2］上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍；

(2)若/(%)在［0,2］上最小值為4,求實(shí)數(shù)a的值；

【答案】(l)aW3

(2)a=0

【解題思路】(1)由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)得、=12-(°-1"+2在口,4］上是增函數(shù)，由此可得。的范圍;

(2)換元后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系分類(lèi)討論.

【解答過(guò)程】(1)令2*=￡￡［1,4］,由于t=2%是增函數(shù),若“外在［0,2］為增函數(shù),

則),=產(chǎn)一(Q-1)亡+2在［1,4］上是增函數(shù),

則??W1,所以QW3

(2)令2'=￡￡［1,4］

即/(%)=9(。=/一(a-l)t+2(1<t<4)最小值為4

若書(shū)■<1則t=1時(shí)最小，得4-Q=4=Q=0.

若1V?<4則亡=?時(shí)最小，得(等)2-任+2=4無(wú)解.

若學(xué)N4時(shí)則t=4時(shí)最小，得a=］舍去.

:*a=0.

【變式8-1］(24-25高一上?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)/W=e9-3*+1-m,x>0.

(1)當(dāng)m=|時(shí)，求/(x)的值域：

(2)若/(%)單調(diào)遞增，求m的取值范圍.

【答案】(1)(-3,+8)

⑵5+8)

14/20

【解題思路】(1)當(dāng)m=?弋入/(x),令t=化簡(jiǎn)，通過(guò)一元二次函數(shù)計(jì)算值域即可；

(2)通過(guò)(1)可知只需y=mt2-3t-m在(1,+8)上單調(diào)遞增，分別討論m=0,m<0和n>0即可.

【解答過(guò)程】(1)當(dāng)m=|時(shí)，/(x)=1x9^-3X+1-|,

令￡=33則￡>1,故丫=12-31一日=久￡一1)2-3>—3,

所以f(幻的值域?yàn)?一3,+co).

(2)由(1)可得/(x)=y=in/-3t-m,t>1,

因?yàn)閠=3、在(0,+8)上單調(diào)遞增，

要使/'(>)在(0,+8)上單調(diào)遞增，只需y=mt2-3t-m在(1,+oo)上單調(diào)遞增即可，

①當(dāng)血=0時(shí)，、=一3￡在(1,+8)上單調(diào)遞減，不符合題意；

②當(dāng)m<0時(shí)，y=mF-3￡-m的圖象開(kāi)口向下，不符合題意；

③當(dāng)機(jī)>0時(shí)，則需在?41,解得：

2m2

所以加的取值范圍是惇,+8).

【變式8-2](25-26高一上?新疆?期中)己知函數(shù)/0)=馬獸,9。)=1一/(一”)，且g(x)是R上的奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)a的值;

(2)①判斷函數(shù)g(%)的單調(diào)性并用定義證明；

②求不等式g(2x-1)+g(x)>0的解集：

(3)若[0,3],不等式/(jOAbzoa)恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【答案】(1)0

(2)①單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；②&+8)

(3)(-co,7)

【解題思路】(1)利用函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合其定義，即可求得答案；

(2)①結(jié)合(1)得出g(x)的解析式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷并進(jìn)行證明；②利用函數(shù)單調(diào)性的定義

求解，即得答案；

(3)由已知可分離參數(shù)，得bv念?對(duì)％W(0,3]恒成立，即可構(gòu)造函數(shù)，求出新函數(shù)的最值，即可求得答案.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)間(乃是R上的奇函數(shù)，所以g(—x)+ga)=o，

所以1-7(x)+1-/(-x)=0,所以/■(%)+/(一盼=2,

15/20

即告+去=2,化簡(jiǎn)得普產(chǎn)=2，

即(。+2)?(2X+1)=2(2"+1),所以a+2=2,解得a=0；

(2)①由(I)得/(%)='，

.2

,1-XF7

所以g(x)=i-f(-x')=i-=1-=1-77??

2X

所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下：

由于g(x)的定義域?yàn)镽，任取工1<%2，

則0QD—g(&)=1一篇一(1一焉)=晟一占=(2黑索？了

因?yàn)椋?<%2，所以2處〈2乂2,2力+1>0,2戈2+1>0,所以g"D-9(%2)<0，

所以g(xDVg(&)，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增；

②因?yàn)間(x)是R上的奇函數(shù)，所以不等式g(2x-1)+g(x)>0等價(jià)于g(2x-1)>-g(x),即g(2x-1)>

。(一%)，

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，所以2%-1>一心解得%

所以不等式g(2x-1)+g(x)>0的解集為(g+oo)；

(3)因?yàn)??(x)>b-ga),所以蕓[>匕(1一島)，即2計(jì)1>人(2》一1),

因?yàn)閂%e[0,3],不等式/(%)>bg(x)恒成立，

所以當(dāng)％=0時(shí)，2>5(2°—1)恒成立，則b￡R；

當(dāng)人￡(0,3]時(shí)，恒成立，

A?X+1

令人(無(wú))=汨TXG(0,3],

則/!(%)=四沿龍=2+含，該函數(shù)在(0,3]為減函數(shù)，

所以九⑴二九(3)一爭(zhēng)所以bv印

所以實(shí)數(shù)力的取值范圍為(-8竽.

【變式8-3](24-25高一上?江蘇連云港?階段練習(xí))已知函數(shù)/。)=芾.

(1)試確定/(%)的奇偶性；

(2)求證：函數(shù)/(%)在R上是減函數(shù)；

(3)若對(duì)任意的CUR,不等式八M2t)I/(2t2A)VO恒成立，求A的取值范圍.

16/20

【答案】（1）奇函數(shù)

（2）證明見(jiàn)解析

⑶（-8,-1）

【解題思路】（1）由于函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且化簡(jiǎn)求得/（-幻=-/'（%）,可得函數(shù)/"（%）為奇

函數(shù)；

（2）化簡(jiǎn)函數(shù)/（%）的解析式為島一1,設(shè)％1<%2,化簡(jiǎn)f（%i）一/3）=（2；：；慈，）>°，可得函數(shù)/（%）

在R上是減函數(shù)：

（3）由于/（%）為奇函數(shù)，不等式即/儼一2。Vf（k-2/）恒成立，再由函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)可得好一

2t〉k-2t2恒成立，即3t2-2￡-1>0恒成立.由判別式AV。，解得k的取值范圍.

【解答過(guò)程】（1）函數(shù)/（外=3的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

2、一11-2X

且有/（T）=%二二一/（幻，

2X+12*4-1

故函數(shù)義%）為奇函數(shù).

（2）證明：?."（￡）==詈2=島-1,

設(shè)勺<%2?再由f（%l）-/（%2）=［赤7-1）一（拓7-1）=屋+1）（2上）>"

可得/（巧）>/（必），

故函數(shù)/（%）在R上是減函數(shù).

（3）?.?對(duì)任意的tER,不等式/（￡2-2。+/（2￡2一幻<0恒成立，/（X）為奇函數(shù),

???/（t2—2t）<-f（2t2-k）=f（k—2產(chǎn)）恒成立,

由函數(shù)/（X）在R上是減函數(shù)，

可得t2-2t>k-2t2恒成立，

即3t2-2￡-k>0恒成立，

???A=4+12/<<0,解得：k<-p

故A的取值范圍為(—％~4).

【題型9指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】

【例9】（25-26高三上?重慶?開(kāi)學(xué)考試）某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：℃）滿足

函數(shù)關(guān)系y=192型3其中k為常數(shù).若該食品在20年的保鮮時(shí)間為48小時(shí)，則在3（）。（2的保鮮時(shí)間是（）

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A.2()小時(shí)B.24小時(shí)C.28小時(shí)D.32小時(shí)

【答案】B

【解題思路】根據(jù)題意得到方程，求出當(dāng)x=30時(shí)，y=192xQ)3=24,得到答案.

【解答過(guò)程】由題意得192e20k=48,即e2"=L其中＞0,所以eiok=±

42

30/c

當(dāng)％=30時(shí)，y=192e=192x6丫=24

故選：B.

【變式9-1](25-26高一上?全國(guó)?單元測(cè)試)某學(xué)校一個(gè)課外實(shí)驗(yàn)小組研究某種植物在一定條件下的生長(zhǎng)規(guī)

律，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，在相同條件卜，這種植物每天以a%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，8天后，該植物的長(zhǎng)度是原來(lái)

的g倍，則24天后該植物的長(zhǎng)度是原來(lái)的()

A.得倍B.能C.*D..倍

【答案】C

【解題思路】設(shè)植物原來(lái)長(zhǎng)度為機(jī)，根據(jù)8天后，該植物的長(zhǎng)度是原來(lái)的5倍，求出1+a%,再結(jié)合指數(shù)轅

的運(yùn)算即可求得24天后該植物的長(zhǎng)度是原來(lái)的多少倍.

【解答過(guò)程】方法I設(shè)植物原來(lái)長(zhǎng)度為〃?，8天后,該植物的長(zhǎng)度是原來(lái)的|倍，

1

故?n(l+a%)8=|m,即(14-a%)8=|.即1+a%=

24天后該植物的長(zhǎng)度是771(1+a%)24,即為原來(lái)的(1+a%)24倍，

又。+。％產(chǎn)=(系”=以號(hào)，

所以24天后該植物的長(zhǎng)度是原來(lái)的日倍.

O

方法2設(shè)植物原來(lái)長(zhǎng)度為1,8天后，該植物的長(zhǎng)度是(1+。％)8=看

24天后，該植物的長(zhǎng)度是(1+a%)24=[(1+a%)8]3=(|)'=p

即24天后該植物的長(zhǎng)度是原來(lái)的]倍.

O

故選：C.

【變式9-2](24-25高一上?四川瀘州?期末)把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度為61。(2,空氣的

溫度為。0℃,那么tmin后物體的溫度8(單位：。(2)可由公式8=60+(%-拆旄一〃'求得，其中2是一個(gè)隨

著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).已知空氣的溫度為20℃.把水放在空氣中冷卻，水的溫度從lOOK

18/20

冷卻到6(TC需要3()min.

⑴求eW

(2)小王想喝4(TC的溫水，發(fā)現(xiàn)水的溫度為10(TC,如果他等待7K溫自然冷卻，至少需要等待多少min?

(3)某電熱水壺會(huì)自動(dòng)檢測(cè)壺中水溫，如果水的溫度高于35汽，電熱水壺不加熱，水的溫度冷卻到35。。電

熱水壺開(kāi)始加熱，直至水的溫度達(dá)到80久才停止加熱，且水的溫度從35K加熱到80。(：需要8min.現(xiàn)該電熱

水壺中水的溫度為80國(guó)，經(jīng)過(guò)98min后，此時(shí)壺中水的溫度是多少？

1

【答案](l)ef=

(2)至少需要等待60min

(3)50℃

【解題思路】(1)