2025年昆明理工大學(xué)數(shù)值分析各年考試題及答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.已知函數(shù)f(x)在節(jié)點x?,x?處的函數(shù)值為f(x?),f(x?)，則拉格朗日一次插值多項式L?(x)在x=x?處的基函數(shù)l?(x?)的值為（）A.0B.1C.f(x?)D.(x?-x)/(x?-x?)答案：B2.牛頓前向差分公式適用于節(jié)點（）A.等距且按x遞增排列B.等距且按x遞減排列C.非等距D.任意排列答案：A3.復(fù)合梯形公式的誤差階為（）A.O(h)B.O(h2)C.O(h3)D.O(h?)答案：B4.用高斯消元法解線性方程組Ax=b時，若A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則（）A.消元過程中可能出現(xiàn)零主元B.消元過程無需選主元即可保證計算穩(wěn)定C.方程組無解D.迭代法收斂答案：B5.歐拉法求解常微分方程初值問題y’=f(x,y),y(x?)=y?的局部截斷誤差為（）A.O(h)B.O(h2)C.O(h3)D.O(h?)答案：B二、填空題（每題4分，共20分）1.已知f(1)=2,f(2)=5,f(3)=10，則二階差商f[1,2,3]=________。答案：1（計算過程：一階差商f[1,2]=(5-2)/(2-1)=3，f[2,3]=(10-5)/(3-2)=5；二階差商f[1,2,3]=(5-3)/(3-1)=1）2.三點高斯-勒讓德求積公式的代數(shù)精度為________。答案：53.用列主元高斯消元法解方程組：2x?+x?=5x?+3x?=8第一步選主元后，第一個方程變?yōu)開_______。答案：2x?+x?=5（主元為2，無需交換行）4.設(shè)f(x)=x3，則其在區(qū)間[0,2]上的三次牛頓插值多項式N?(x)=________。答案：x3（因三次多項式插值無誤差）5.用改進(jìn)歐拉法求解y’=y+x,y(0)=1，步長h=0.1，計算y(0.1)的近似值為________。答案：1.11（計算過程：預(yù)測值y?=y?+h(y?+x?)=1+0.1(1+0)=1.1；校正值y?=y?+h/2[(y?+x?)+(y?+x?)]=1+0.05(1+1.2)=1.11）三、計算題（每題15分，共45分）1.已知函數(shù)f(x)在x=0,1,2處的函數(shù)值分別為1,2,5，構(gòu)造二次拉格朗日插值多項式L?(x)，并計算f(0.5)的近似值。解：拉格朗日基函數(shù)：l?(x)=(x-1)(x-2)/((0-1)(0-2))=(x2-3x+2)/2l?(x)=(x-0)(x-2)/((1-0)(1-2))=-(x2-2x)/1=-x2+2xl?(x)=(x-0)(x-1)/((2-0)(2-1))=(x2-x)/2L?(x)=1l?(x)+2l?(x)+5l?(x)=(x2-3x+2)/2+2(-x2+2x)+5(x2-x)/2化簡得：L?(x)=x2+1f(0.5)≈L?(0.5)=0.25+1=1.252.用高斯-賽德爾迭代法解方程組（取初始值x???=(0,0)?，迭代兩次）：4x?+x?=5x?+5x?=11解：迭代公式：x????1?=(5x????)/4x????1?=(11x????1?)/5第一次迭代：x??1?=(5-0)/4=1.25，x??1?=(11-1.25)/5=9.75/5=1.95第二次迭代：x??2?=(5-1.95)/4=3.05/4=0.7625，x??2?=(11-0.7625)/5=10.2375/5=2.04753.用復(fù)合辛普森公式計算積分∫?2e?dx（取n=2，即步長h=0.5），并估計誤差。解：n=2，h=(2-0)/2=1，節(jié)點x?=0,x?=1,x?=2f(x?)=1,f(x?)=e,f(x?)=e2復(fù)合辛普森公式：S?=h/6[f(x?)+4f(x?)+f(x?)]=1/6[1+4e+e2]≈(1+10.873+7.389)/6≈19.262/6≈3.210誤差估計：f???(x)=e?，誤差R=-(b-a)h?f???(ξ)/180=-(2)(1)?e^ξ/180≈-2e2/180≈-0.082四、證明題（20分）證明：n次拉格朗日插值多項式L?(x)在節(jié)點x?處滿足L?(x?)=f(x?)（i=0,1,…,n）。證明：由拉格朗日基函數(shù)定義，l?(x?)=δ??（當(dāng)i=j時為1，否則為0），因此L?(x?)=Σ????f(x?)l?(x?)=f(x?)l?(x?)=f(x?)1=f(x?)，證畢。2021年數(shù)值分析試題一、選擇題（每題3分，共15分）1.三次樣條插值函數(shù)S(x)在區(qū)間[a,b]上滿足（）A.二階連續(xù)可導(dǎo)B.一階連續(xù)可導(dǎo)C.僅連續(xù)D.三階連續(xù)可導(dǎo)答案：A2.數(shù)值積分中，代數(shù)精度最高的是（）A.梯形公式B.辛普森公式C.柯特斯公式D.高斯公式答案：D3.用雅可比迭代法解Ax=b收斂的充分條件是A（）A.嚴(yán)格對角占優(yōu)B.對稱正定C.奇異D.任意矩陣答案：A4.牛頓迭代法求方程f(x)=0的根時，若f(x)=0,f’(x)≠0，則迭代法（）A.局部收斂B.發(fā)散C.線性收斂D.不收斂答案：A5.常微分方程數(shù)值解中，四階龍格-庫塔法的局部截斷誤差為（）A.O(h?)B.O(h?)C.O(h3)D.O(h2)答案：B二、填空題（每題4分，共20分）1.已知f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7，則一階差商f[0,1]=________，二階差商f[0,1,2]=________。答案：2；1（f[0,1]=(3-1)/(1-0)=2；f[1,2]=(7-3)/(2-1)=4；f[0,1,2]=(4-2)/(2-0)=1）2.用復(fù)合梯形公式計算∫?1x2dx（n=2），結(jié)果為________。答案：(1/4)[f(0)+2f(0.5)+f(1)]=(1/4)[0+2(0.25)+1]=(1/4)(1.5)=0.3753.方程組2x?x?=1-x?+3x?=4的系數(shù)矩陣的譜半徑ρ(B)（雅可比迭代矩陣）為________。答案：√(1/6)≈0.408（雅可比迭代矩陣B=D?1(L+U)=[01/2;1/30]，特征值λ滿足λ2=1/6，ρ(B)=√(1/6)）4.用牛頓迭代法求√2的近似值（取初始值x?=1.5），第一次迭代值x?=________。答案：1.4167（f(x)=x2-2,f’(x)=2x；x?=x?f(x?)/f’(x?)=1.5(2.25-2)/3=1.50.25/3≈1.4167）5.三點高斯-勒讓德求積公式的節(jié)點為________。答案：±√(3/5),0三、計算題（每題15分，共45分）1.構(gòu)造f(x)=sinx在x=0,π/2,π處的二次牛頓插值多項式，并計算sin(π/4)的近似值。解：差商表：x?=0,f(x?)=0x?=π/2,f(x?)=1，一階差商f[x?,x?]=(1-0)/(π/2-0)=2/πx?=π,f(x?)=0，一階差商f[x?,x?]=(0-1)/(π-π/2)=-2/π，二階差商f[x?,x?,x?]=(-2/π2/π)/(π-0)=-4/(π2)牛頓插值多項式：N?(x)=0+(2/π)(x-0)+(-4/π2)(x-0)(x-π/2)計算sin(π/4)≈N?(π/4)=(2/π)(π/4)+(-4/π2)(π/4)(π/4π/2)=0.5+(-4/π2)(π/4)(-π/4)=0.5+(4/π2)(π2/16)=0.5+0.25=0.75（實際值≈0.7071，誤差來自插值次數(shù)）2.用列主元高斯消元法解方程組：x?+2x?+3x?=62x?+5x?+2x?=103x?+x?+x?=5解：增廣矩陣：[123|6][252|10][311|5]第一步選主元（第三行第一列3），交換第一行和第三行：[311|5][252|10][123|6]消元第一列：第二行減(2/3)第一行，第三行減(1/3)第一行：[311|5][013/34/3|20/3][05/38/3|13/3]第二步選主元（第二行第二列13/3），消元第二列：第三行減(5/13)第二行：[311|5][013/34/3|20/3][0084/39|84/39]回代得x?=1，x?=(20/34/31)/(13/3)=16/13≈1.2308，x?=(5-1-1)/3=1，解為(1,16/13,1)3.用四階龍格-庫塔法求解y’=x+y,y(0)=1，步長h=0.1，計算y(0.1)的近似值。解：四階龍格-庫塔公式：k?=hf(x?,y?)=0.1(0+1)=0.1k?=hf(x?+h/2,y?+k?/2)=0.1(0.05+1+0.05)=0.11.1=0.11k?=hf(x?+h/2,y?+k?/2)=0.1(0.05+1+0.055)=0.11.105=0.1105k?=hf(x?+h,y?+k?)=0.1(0.1+1+0.1105)=0.11.2105=0.12105y?=y?+(k?+2k?+2k?+k?)/6=1+(0.1+0.22+0.221+0.12105)/6=1+0.66205/6≈1.1103四、證明題（20分）證明：若A為對稱正定矩陣，則高斯-賽德爾迭代法解Ax=b收斂。證明：對稱正定矩陣A可分解為A=D-L-L?（D對角，L下三角），高斯-賽德爾迭代矩陣G=(D-L)?1L?。對任意非零向量x，考慮x?(I-G)x=x?(D-L)?1(D-L-L?)x=x?(D-L)?1Ax。因A正定，(D-L)?1正定（D對角元全正，D-L非奇異），故x?(I-G)x>0，即I-G正定，其特征值全為正。又高斯-賽德爾迭代收斂的充要條件是ρ(G)<1，對于對稱正定矩陣，ρ(G)<1，故收斂。2022年數(shù)值分析試題一、選擇題（每題3分，共15分）1.線性插值的幾何意義是（）A.用直線近似曲線B.用拋物線近似曲線C.用三次曲線近似D.用折線近似答案：A2.數(shù)值積分中，辛普森公式的代數(shù)精度為（）A.1B.2C.3D.4答案：33.解線性方程組的直接法與迭代法的主要區(qū)別是（）A.直接法有限步內(nèi)精確解，迭代法無限步逼近B.直接法誤差小，迭代法誤差大C.直接法適用于大型方程組D.迭代法適用于小型方程組答案：A4.牛頓插值多項式與拉格朗日插值多項式的關(guān)系是（）A.形式不同但等價B.形式相同C.牛頓插值次數(shù)更高D.拉格朗日插值更穩(wěn)定答案：A5.改進(jìn)歐拉法的局部截斷誤差為（）A.O(h2)B.O(h3)C.O(h?)D.O(h?)答案：B二、填空題（每題4分，共20分）1.已知f(1)=2,f(3)=6,f(5)=12，則一階差商f[1,3]=________，二階差商f[1,3,5]=________。答案：2；0.5（f[1,3]=(6-2)/(3-1)=2；f[3,5]=(12-6)/(5-3)=3；f[1,3,5]=(3-2)/(5-1)=1/4=0.25？修正：(3-2)/(5-1)=1/4=0.25，原計算錯誤，正確為0.25）2.用復(fù)合辛普森公式計算∫?2x3dx（n=2），結(jié)果為________。答案：(2-0)/(62)[f(0)+4f(1)+2f(2)+4f(3)+f(4)]？不，n=2時步長h=(2-0)/2=1，節(jié)點x?=0,x?=1,x?=2，辛普森公式為h/3[f(x?)+4f(x?)+f(x?)]=1/3[0+41+8]=12/3=4（實際值∫?2x3dx=16/4=4，精確）3.方程組3x?+x?=4x?+2x?=5的雅可比迭代矩陣B=________。答案：[0-1/3;-1/20]（雅可比迭代公式：x?=(4-x?)/3，x?=(5-x?)/2，故B=[0-1/3;-1/20]）4.用牛頓迭代法求方程x3-2x-5=0的根（取x?=2），第一次迭代值x?=________。答案：2.1（f(2)=8-4-5=-1，f’(2)=12-2=10；x?=2(-1)/10=2.1）5.常微分方程y’=y,y(0)=1的歐拉法解為y?=________（步長h）。答案：(1+h)?（遞推y???=y?+hy?=y?(1+h)，故y?=(1+h)?y?=(1+h)?）三、計算題（每題15分，共45分）1.構(gòu)造f(x)=lnx在x=1,2,4處的二次拉格朗日插值多項式，并計算ln3的近似值（保留4位小數(shù)）。解：l?(x)=(x-2)(x-4)/((1-2)(1-4))=(x2-6x+8)/3l?(x)=(x-1)(x-4)/((2-1)(2-4))=(x2-5x+4)/(-2)l?(x)=(x-1)(x-2)/((4-1)(4-2))=(x2-3x+2)/6L?(x)=ln1l?(x)+ln2l?(x)+ln4l?(x)=0+(0.6931)(-x2+5x-4)/2+(1.3863)(x2-3x+2)/6化簡：L?(x)=(-0.6931/2+1.3863/6)x2+(0.69315/21.38633/6)x+(-0.69314/2+1.38632/6)計算系數(shù)：二次項：(-0.34655+0.23105)=-0.1155一次項：(1.732750.69315)=1.0396常數(shù)項：(-1.3862+0.4621)=-0.9241故L?(x)=-0.1155x2+1.0396x-0.9241ln3≈L?(3)=-0.11559+1.03963-0.9241≈-1.0395+3.1188-0.9241≈1.1552（實際值≈1.0986，誤差因插值節(jié)點遠(yuǎn)離3）2.用高斯消元法解方程組（列主元）：4x?+2x?x?=12x?+3x?+x?=4x?+x?+2x?=5解：增廣矩陣：[42-1|1][231|4][112|5]第一步主元4，消元第二行：第二行-0.5第一行→[021.5|3.5]；第三行-0.25第一行→[00.52.25|4.75]增廣矩陣變?yōu)椋篬42-1|1][021.5|3.5][00.52.25|4.75]第二步主元2，消元第三行：第三行-0.25第二行→[001.875|3.9375]回代：x?=3.9375/1.875=2.1；x?=(3.5-1.52.1)/2=(3.5-3.15)/2=0.175；x?=(1-20.175+2.1)/4=(1-0.35+2.1)/4=2.75/4=0.6875驗證：40.6875+20.175-2.1=2.75+0.35-2.1=1，正確。3.用復(fù)合梯形公式計算∫?31/xdx（n=4，即h=0.5），并與實際值比較誤差。解：節(jié)點x?=1,x?=1.5,x?=2,x?=2.5,x?=3f(x)=1/x，f(x?)=1,f(x?)=2/3≈0.6667,f(x?)=0.5,f(x?)=0.4,f(x?)=1/3≈0.3333復(fù)合梯形公式：T?=h/2[f(x?)+2(f(x?)+f(x?)+f(x?))+f(x?)]=0.5/2[1+2(0.6667+0.5+0.4)+0.3333]=0.25[1+21.5667+0.3333]=0.25[1+3.1334+0.3333]=0.254.4667≈1.1167實際值∫?31/xdx=ln3≈1.0986，誤差≈1.1167-1.0986=0.0181四、證明題（20分）證明：n+1個節(jié)點的牛頓插值多項式N?(x)與拉格朗日插值多項式L?(x)相等。證明：兩者均為次數(shù)不超過n的多項式，且在n+1個節(jié)點上取值相同，根據(jù)多項式唯一性定理，N?(x)=L?(x)，證畢。2023年數(shù)值分析試題一、選擇題（每題3分，共15分）1.樣條插值與多項式插值相比，優(yōu)點是（）A.次數(shù)低且光滑性好B.次數(shù)高C.計算簡單D.無誤差答案：A2.高斯消元法的時間復(fù)雜度為（）A.O(n)B.O(n2)C.O(n3)D.O(n?)答案：C3.迭代法收斂的必要條件是迭代矩陣的譜半徑（）A.大于1B.等于1C.小于1D.任意答案：C4.數(shù)值積分中，梯形公式的代數(shù)精度為（）A.1B.2C.3D.4答案：A5.常微分方程數(shù)值解中，局部截斷誤差是指（）A.單步誤差B.累積誤差C.全局誤差D.舍入誤差答案：A二、填空題（每題4分，共20分）1.已知f(0)=0,f(1)=1,f(2)=8，則牛頓插值多項式的一次項系數(shù)為________。答案：1（一階差商f[0,1]=(1-0)/(1-0)=1，一次項系數(shù)即一階差商）2.用辛普森公式計算∫?2x2dx的結(jié)果為________（實際值為8/3≈2.6667）。答案：(2-0)/6[f(0)+4f(1)+f(2)]=2/6[0+41+4]=2/68=8/3（精確，因二次多項式代數(shù)精度≥2）3.方程組5x?+x?=6x?+4x?=5的高斯-賽德爾迭代公式為x????1?=________，x????1?=________。答案：(6-x????)/5；(5-x????1?)/44.用牛頓迭代法求方程x2-3=0的根（取x?=1.7），第一次迭代值x?=________。答案：(1.7+3/1.7)/2≈(1.7+1.7647)/2≈1.7323（牛頓迭代公式x???=(x?+3/x?)/2）5.復(fù)合梯形公式的誤差表達(dá)式為________（f∈C2[a,b]）。答案：-(b-a)h2f''(ξ)/12（ξ∈(a,b)）三、計算題（每題15分，共45分）1.構(gòu)造f(x)=e?在x=0,1,2處的二次牛頓插值多項式，并計算e^0.5的近似值（保留4位小數(shù)）。解：差商表：x?=0,f(x?)=1x?=1,f(x?)=e≈2.7183，一階差商f[x?,x?]=(2.7183-1)/(1-0)=1.7183x?=2,f(x?)=e2≈7.3891，一階差商f[x?,x?]=(7.3891-2.7183)/(2-1)=4.6708，二階差商f[x?,x?,x?]=(4.6708-1.7183)/(2-0)=2.9525/2≈1.4763牛頓插值多項式：N?(x)=1+1.7183x+1.4763x(x-1)計算e^0.5≈N?(0.5)=1+1.71830.5+1.47630.5(-0.5)=1+0.859150.3691≈1.4900（實際值≈1.6487，誤差因插值節(jié)點遠(yuǎn)離0.5）2.用列主元高斯消元法解方程組：x?x?+2x?=32x?+x?x?=0-x?+2x?+x?=3解：增廣矩陣：[1-12|3][21-1|0][-121|3]第一步選主元（第二行第一列2），交換第一行和第二行：[21-1|0][1-12|3][-121|3]消元第一列：第二行-0.5第一行→[0-1.52.5|3]；第三行+0.5第一行→[02.50.5|3]增廣矩陣變?yōu)椋篬21-1|0][0-1.52.5|3][02.50.5|3]第二步選主元（第三行第二列2.5），交換第二行和第三行：[21-1|0][02.50.5|3][0-1.52.5|3]消元第二列：第三行+0.6第二行→[002.8|4.8]回代：x?=4.8/2.8≈1.7143；x?=(3-0.51.7143)/2.5≈(3-0.8571)/2.5≈0.8571；x?=(0-10.8571+11.7143)/2≈(0.8572)/2≈0.4286驗證：0.4286-0.8571+21.7143≈0.4286-0.8571+3.4286≈3，正確。3.用四階龍格-庫塔法求解y’=x-y,y(0)=1，步長h=0.2，計算y(0.2)的近似值。解：k?=hf(0,1)=0.2(0-1)=-0.2k?=hf(0+0.1,1-0.1)=0.2(0.1-0.9)=0.2(-0.8)=-0.16k?=hf(0+0.1,1-0.08)=0.2(0.1-0.92)=0.2(-0.82)=-0.164k?=hf(0+0.2,1-0.164)=0.2(0.2-0.836)=0.2(-0.636)=-0.1272y?=1+(-0.2-0.32-0.328-0.1272)/6=1+(-0.9752)/6≈1-0.1625≈0.8375（實際解y=1-x+e??，y(0.2)=1-0.2+e??·2≈0.8+0.8187≈1.6187？錯誤，實際解應(yīng)為y’=x-y的通解為y=x-1+Ce??，代入y(0)=1得C=2，故y=x-1+2e??，y(0.2)=0.2-1+2e??·2≈-0.8+20.8187≈0.8374，與計算值一致）四、證明題（20分）證明：若f(x)在[a,b]上有n+2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則n次拉格朗日插值多項式的余項為R?(x)=f???1?(ξ)/(n+1)!ω???(x)，其中ξ∈(a,b)，ω???(x)=Π????(x-x?)。證明：構(gòu)造輔助函數(shù)φ(t)=f(t)-L?(t)-Kω???(t)，其中K為常數(shù)。由L?(x?)=f(x?)知φ(x?)=0（i=0,1,…,n），且φ(x)=0（因R?(x)=f(x)-L?(x)=Kω???(x)），故φ(t)在[a,b]上有n+2個零點。由羅爾定理，存在ξ∈(a,b)使φ???1?(ξ)=0。計算φ???1?(t)=f???1?(t)-(n+1)!K，故f???1?(ξ)-(n+1)!K=0，即K=f???1?(ξ)/(n+1)!，因此R?(x)=Kω???(x)=f???1?(ξ)/(n+1)!ω???(x)，證畢。2024年數(shù)值分析試題（預(yù)測）一、選擇題（每題3分，共15分）1.三次樣條插值的二階導(dǎo)數(shù)在節(jié)點處（）A.連續(xù)B.不連續(xù)C.等于0D.任意答案：A2.數(shù)值積分中，柯特斯公式的代數(shù)精度為（）A.3B.4C.5D.6答案：53.解線性方程組的追趕法適用于（）A.三對角矩陣B.對稱矩陣C.稀疏矩陣D.任意矩陣答案：A4.牛頓迭代法的收斂速度是（）A.線性B.超線性C.二次D.三次答案：C5.常微分方程數(shù)值解中，全局截斷誤差與局部截斷誤差的關(guān)系是（）A.全局誤差=局部誤差×步數(shù)B.全局誤差=局部誤差C.全局誤差=局部誤差×hD.無直接關(guān)系答案：A二、填空題（每題4分，共20分）1.已知f(2)=4,f(3)=9,f(4)=16，則一階差商f[2,3]=________，二階差商f[2,3,4]=________。答案：5；1（f[2,3]=(9-4)/(3-2)=5；f[3,4]=(16-9)/(4-3)=7；f[