第1頁/共1頁深圳大學(xué)附屬實驗中學(xué)2025級高一上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)學(xué)科本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.并在答題卡相應(yīng)位置上填涂考生號.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，上交答題卡.一、單選題1.已知全集，集合，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，再利用交集運算求解.【詳解】解：由已知得，所以．故選：B2.已知，則的大小關(guān)系為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：由題意結(jié)合對數(shù)性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，，即，，即，綜上可得：.本題選擇D選項.點睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)時函數(shù)值的特征利用排除法判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，又，所以為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，故排除B、D；當(dāng)時，，，所以，故排除C.故選：A4.已知函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，且，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)，再由函數(shù)零點存在定理即可求解．【詳解】因為的圖象是一條連續(xù)的曲線，且和都為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，由函數(shù)零點存在定理可知，的零點在區(qū)間內(nèi)，所以．故選：B．5.“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義和性質(zhì)可求參數(shù)的值，從而可判斷兩者之間的關(guān)系【詳解】因為是冪函數(shù)且在上是減函數(shù)，故，故，故“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B.6.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由題意知1和3為方程的兩個根，由韋達(dá)定理可得，，且，則不等式等價于，即，由此即可寫出答案.【詳解】因為關(guān)于的一元二次不等式的解集為，所以1和3為方程的兩個根，由韋達(dá)定理有：，所以，，且，則，等價于，即，故不等式的解集為.故選：C.7.已知命題“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知命題“，”為真命題，可得出，可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為命題“，使”是假命題，則命題“，”為真命題，則，解得，故實數(shù)的取值范圍是.故選：D.8.已知函數(shù)則方程的解的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式以及分段函數(shù)的性質(zhì)，畫圖，利用換元法，整理化簡方程，再利用方程與函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合圖象，可得答案.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：設(shè)，則方程即，由圖象可知，與有三個交點，橫坐標(biāo)分別為，其中，，，方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，，解的個數(shù)之和，由圖象可知，與有一個交點，與有三個交點，與沒有交點，所以方程解的個數(shù)為.故選：B.二、多選題9.（多選）下列選項正確的是（）A.B.若一扇形的弧長為2，圓心角為，則該扇形的面積為C.函數(shù)的圖象必過定點D.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)角度與弧度概念判斷選項，根據(jù)扇形的面積判斷選項，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷選項，根據(jù)二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷選項.【詳解】對于，，，選項正確.對于，，由弧長公式得：扇形面積，選項正確.對于，令，此時，過而非，選項錯誤.對于，定義域為，外層函數(shù)遞減，內(nèi)層的減區(qū)間為，故原函數(shù)增區(qū)間為，選項錯誤.故選：10.若正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A.有最大值為 B.有最小值為C.有最小值為 D.有最大值為【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式和基本不等式等號成立的條件判斷ACD，利用乘“1”法判斷B.【詳解】選項A：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以有最大值為，A說法正確；選項B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以有最小值為，B說法正確；選項C：因為，所以，結(jié)合A中結(jié)論可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，所以有最小值為，C說法正確；選項D：因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，與是正實數(shù)矛盾，D說法錯誤；故選：ABC11.已知函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，，，且，有，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，由此檢驗各個選項，可得答案.【詳解】因為，且，有，所以在上單調(diào)遞減，又是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對稱，故的圖象關(guān)于直線對稱，則，故A正確；，故B不正確；，故C正確；，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.已知，則__________【答案】【解析】【分析】將原式中的分子、分母同除以，再將代入即可.【詳解】.故答案為：13.已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為______【答案】【解析】【分析】由題設(shè)結(jié)合抽象函數(shù)，根式與分式的意義列出關(guān)于x的不等式計算即可得解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以要使函數(shù)有意義，則，所以，所以函數(shù)定義域為.故答案為：.14.已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)的值域是各段值域的并集，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時，若，可得；若，，函數(shù)的值域不可能為；②當(dāng)時，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，若函數(shù)的值域為，只需，可得．由上知，實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：四、解答題15.已知，，全集．（1）若，求，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），=；（2）【解析】【分析】（1）將代入集合中，然后利用集合的基本運算法則運算即可；（2）由可得，對集合是否為空集進(jìn)行討論即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，由，所以，又因為或，所以=.【小問2詳解】由可得，所以當(dāng)時，有，解得，當(dāng)時，有，解得．綜上，所以的取值范圍為．16.函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，且．（1）確定的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）解關(guān)于的不等式．【答案】（1）（2）增函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，得到的方程，解之即可求得；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)單調(diào)性先去，再解不等式組即可，注意化簡不等式時要補定義域．【小問1詳解】解：是定義在上的奇函數(shù)，，，又由，∴．，∴奇函數(shù)，故符合題意，為所求解．【小問2詳解】解：在區(qū)間上為增函數(shù)．證明：設(shè)．而，由，得，，即，．故函數(shù)在上為增函數(shù)．【小問3詳解】解：由函數(shù)為奇函數(shù)且在上為增函數(shù)知：，，解得：．故不等式的解集為．【點睛】本題的難點在（2）中判斷與的大小，通分后要對分子進(jìn)行因式分解；易錯點為在（3）中化簡不等式時不補定義域．17.已知函數(shù)（1）化簡；（2）若，求?的值；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡即可得出答案；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案；（3）由已知求出，結(jié)合的范圍，由誘導(dǎo)公式即可求出的值.【小問1詳解】【小問2詳解】因為，所以為第三象限角或第四象限角.當(dāng)為第三象限角時，；當(dāng)為第四象限角時，.【小問3詳解】因為，所以.因為，所以.故.因此.18.某工廠的廢氣處理系統(tǒng)正常運行時，廢氣中的污染物含量（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系式為，其中表示污染物含量的初始值，表示除污率，其大小可在廢氣處理系統(tǒng)中設(shè)置.（1）正常情況下，若將除污率設(shè)置為，污染物含量降低到初始值的一半大約需要多長時間？（2）某天污染物含量的初始值為，廢氣處理系統(tǒng)先將除污率設(shè)置為運行，再將除污率設(shè)置為運行，若此時測得污染物含量為，試判斷當(dāng)天廢氣處理系統(tǒng)的運行是否正常.附：，.【答案】（1）（2）不正?！窘馕觥糠治觥浚?）根據(jù)題意得到，代入，整理結(jié)果并取自然對數(shù)得，再代入值求解即可.（2）求出兩個階段后的污染物含量的正常值，再跟污染物含量為對比即可.【小問1詳解】令并代入，得，等式兩邊同取自然對數(shù)得，整理得∵，∴，所以污染物含量降低到初始值的一半大約需要.【小問2詳解】由題知，先將除污率設(shè)置為運行，再將除污率設(shè)置為運行，正常情況下，此時污染物含量應(yīng)該為，∵，∴，所以；因為，故當(dāng)天廢氣處理系統(tǒng)的運行不正常.19.對于函數(shù)，若，則稱實數(shù)為函數(shù)的不動點．設(shè)函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)的不動點；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在兩個不動點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）0和1；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）直接根據(jù)定義解方程即可；（2）將方程分離參數(shù)化為，利用換元法結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性計算即可；（3）不等式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，，再分離參數(shù)并換元結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計算即可.【小問1詳解】當(dāng)時，方程可化為，解得或；所以，函數(shù)的不動點為0和1．【小問2詳解】方程，即，可化為．令，則當(dāng)時，關(guān)于單調(diào)遞增，且．由題意，關(guān)于的方程在上有兩個不等實根．由于對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．所以，．綜上，實數(shù)的取值范圍為．【小問3詳解】不等式可化為．易知，函數(shù)在上最大