2026年實變函數(shù)論測試題及答案

一、填空題（每題2分，共20分）1._______是實變函數(shù)論中研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具。2.設(shè)A為集合，則A的勒貝格測度定義為_______。3.若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上可積，則其勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系為_______。4.設(shè)E為可測集，若對任意ε>0，存在開集G包含E，使得m(G\E)<ε，則稱E為_______。5._______是勒貝格積分的一種推廣，適用于更廣泛的函數(shù)類。6.設(shè)f為非負可測函數(shù)，若∫fdμ=0，則f幾乎處處為_______。7._______是實變函數(shù)論中研究函數(shù)極限的重要定理。8.設(shè)f為可測函數(shù)，則其簡單函數(shù)逼近f的原理是_______。9._______是勒貝格積分的基本性質(zhì)之一，表示積分的線性性。10.設(shè)E為可測集，若m(E)=0，則E稱為_______。二、判斷題（每題2分，共20分）1.任何有界函數(shù)在有限區(qū)間上都是勒貝格可積的。（）2.若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上黎曼可積，則它在[a,b]上勒貝格可積。（）3.設(shè)E為可測集，則其補集E^c也是可測集。（）4.若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上勒貝格可積，則其絕對值函數(shù)|f|也在[a,b]上勒貝格可積。（）5.勒貝格積分具有絕對連續(xù)性。（）6.設(shè)f為非負可測函數(shù)，若∫fdμ=∫gdμ，則f=g幾乎處處成立。（）7.任何單調(diào)函數(shù)都是勒貝格可積的。（）8.設(shè)E為可測集，則其勒貝格測度為0的補集E^c的勒貝格測度為無窮大。（）9.勒貝格積分的線性性是指對任意兩個可測函數(shù)f和g以及任意實數(shù)α和β，有∫(αf+βg)dμ=α∫fdμ+β∫gdμ。（）10.設(shè)f為非負可測函數(shù)，若f在幾乎處處點處為0，則∫fdμ=0。（）三、選擇題（每題2分，共20分）1.下列哪個不是實變函數(shù)論的研究對象？（）A.可測函數(shù)B.勒貝格積分C.黎曼積分D.級數(shù)收斂2.設(shè)A為集合，若A的勒貝格測度為0，則稱A為（）A.可數(shù)集B.不可數(shù)集C.測度為0的集D.完備集3.下列哪個定理是勒貝格積分理論的基礎(chǔ)？（）A.柯西收斂定理B.勒貝格控制收斂定理C.黎曼收斂定理D.狄利克雷定理4.設(shè)f為非負可測函數(shù)，若∫fdμ=0，則f幾乎處處為（）A.0B.1C.-1D.任意值5.下列哪個性質(zhì)不是勒貝格積分的？（）A.線性性B.絕對連續(xù)性C.乘法性D.單調(diào)性6.設(shè)E為可測集，若m(E)=0，則E稱為（）A.可數(shù)集B.不可數(shù)集C.測度為0的集D.完備集7.下列哪個不是可測函數(shù)的定義？（）A.對任意實數(shù)α，集合{x|f(x)>α}是可測集B.對任意實數(shù)α，集合{f(x)>α}是可測集C.對任意實數(shù)α，集合{f(x)<α}是可測集D.對任意實數(shù)α，集合{f(x)=α}是可測集8.設(shè)f為可測函數(shù)，則其簡單函數(shù)逼近f的原理是（）A.上下確界逼近B.上下極限逼近C.上下和逼近D.上下積逼近9.下列哪個不是勒貝格積分的基本性質(zhì)？（）A.線性性B.絕對連續(xù)性C.單調(diào)性D.乘法性10.設(shè)f為非負可測函數(shù)，若f在幾乎處處點處為0，則∫fdμ=（）A.0B.1C.-1D.任意值四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述勒貝格可積的定義及其與黎曼可積的關(guān)系。2.解釋什么是可測集，并舉例說明。3.簡述勒貝格積分的基本性質(zhì)。4.解釋什么是勒貝格控制收斂定理，并說明其應(yīng)用。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論勒貝格積分與黎曼積分的異同。2.討論可測函數(shù)的定義及其在實變函數(shù)論中的重要性。3.討論勒貝格測度的基本性質(zhì)及其應(yīng)用。4.討論勒貝格控制收斂定理在實變函數(shù)論中的作用。答案和解析一、填空題1.勒貝格測度2.m(A)=sup{m(G)|G是A的開覆蓋且m(G)有界}3.相等4.開集的內(nèi)部5.勒貝格積分6.07.柯西收斂定理8.簡單函數(shù)逼近9.線性性10.測度為0的集二、判斷題1.錯2.對3.對4.對5.錯6.對7.對8.錯9.對10.對三、選擇題1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.D8.A9.D10.A四、簡答題1.勒貝格可積的定義是指一個函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的勒貝格積分存在且有限。與黎曼可積的關(guān)系是：若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上黎曼可積，則它在[a,b]上勒貝格可積；但反之不一定成立，即勒貝格可積的函數(shù)不一定黎曼可積。2.可測集是指對于任意實數(shù)α，集合{f(x)>α}是可測集。例如，開集、閉集、區(qū)間都是可測集。3.勒貝格積分的基本性質(zhì)包括線性性、絕對連續(xù)性、單調(diào)性等。線性性是指對任意兩個可測函數(shù)f和g以及任意實數(shù)α和β，有∫(αf+βg)dμ=α∫fdμ+β∫gdμ；絕對連續(xù)性是指若對任意ε>0，存在δ>0，使得對任意可測集E，若m(E)<δ，則∫_Efdμ<ε；單調(diào)性是指若f≤g，則∫fdμ≤∫gdμ。4.勒貝格控制收斂定理是指若有一列非負可測函數(shù)f_n收斂于f幾乎處處，且存在一個可積函數(shù)g，使得對任意n，有|f_n|≤g，則∫f_ndμ收斂且∫fdμ=lim_n∫f_ndμ。其應(yīng)用廣泛，特別是在研究函數(shù)列的極限性質(zhì)時。五、討論題1.勒貝格積分與黎曼積分的異同：相同點是都是積分的概念，用于計算函數(shù)下的面積。不同點是勒貝格積分適用于更廣泛的函數(shù)類，包括不連續(xù)和不可積的函數(shù)；而黎曼積分只適用于連續(xù)和可積的函數(shù)。勒貝格積分的定義基于測度論，而黎曼積分的定義基于分割和極限。2.可測函數(shù)的定義及其在實變函數(shù)論中的重要性：可測函數(shù)的定義是對于任意實數(shù)α，集合{f(x)>α}是可測集。它在實變函數(shù)論中的重要性在于它是勒貝格積分的理論基礎(chǔ)，使得我們可以對更廣泛的函數(shù)進行積分運算，并研究函數(shù)的極限性質(zhì)。3.勒貝格測度的基本性質(zhì)及其應(yīng)用