2025年材料科學(xué)基礎(chǔ)下學(xué)期習(xí)題-部分答案1.已知某金屬為面心立方（FCC）結(jié)構(gòu)，原子半徑r=0.143nm，計(jì)算其(111)晶面的原子面密度及該晶面的致密度。解答：面心立方結(jié)構(gòu)中，(111)晶面是密排面，其原子排列呈正三角形網(wǎng)格。首先確定(111)晶面的原子數(shù)：FCC晶胞中，(111)晶面穿過頂點(diǎn)和三個面心原子。每個頂點(diǎn)原子屬于8個晶胞共享，故貢獻(xiàn)1/8×3=3/8；每個面心原子屬于2個晶胞共享，(111)面穿過三個面心原子（位于(1/2,1/2,0)、(1/2,0,1/2)、(0,1/2,1/2)），每個貢獻(xiàn)1/2，故3×1/2=3/2。因此，單個(111)晶面在晶胞內(nèi)的原子數(shù)為3/8+3/2=15/8？不，正確計(jì)算應(yīng)為：FCC晶胞的(111)面實(shí)際包含的原子是位于該面的頂點(diǎn)和三個面心原子，但頂點(diǎn)原子在(111)面上的位置是(1,1,1)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)？不，F(xiàn)CC晶胞的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,1)。(111)面是由(1,1,1)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)四個點(diǎn)構(gòu)成的正四面體的一個面？實(shí)際FCC的(111)面是由三個面心原子和一個頂點(diǎn)原子構(gòu)成的正三角形。正確的原子數(shù)計(jì)算應(yīng)為：在FCC晶胞中，(111)面穿過的原子包括三個面心原子（坐標(biāo)(1/2,1/2,0)、(1/2,0,1/2)、(0,1/2,1/2)）和一個頂點(diǎn)原子(1,1,1)？不，頂點(diǎn)原子(1,1,1)是否在(111)面上？(111)面的方程為x+y+z=1（晶胞內(nèi)），頂點(diǎn)(1,1,1)的x+y+z=3，不在該面上。正確的(111)面在晶胞內(nèi)的三個頂點(diǎn)是(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，這三個點(diǎn)構(gòu)成邊長為a√2的正三角形（因?yàn)榫О呴L為a，兩點(diǎn)間距離為√[(1-0)2+(0-1)2+(0-0)2]a=√2a）。而三個面心原子位于(1/2,1/2,0)、(1/2,0,1/2)、(0,1/2,1/2)，這三個點(diǎn)均滿足x+y+z=1（1/2+1/2+0=1，1/2+0+1/2=1，0+1/2+1/2=1），因此這三個面心原子完全位于(111)面上。每個面心原子屬于兩個晶胞共享，因此每個面心原子在該晶面的貢獻(xiàn)為1/2，三個面心原子總貢獻(xiàn)為3×1/2=3/2。此外，三個頂點(diǎn)原子(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)位于(111)面的邊緣，每個頂點(diǎn)原子屬于6個晶面共享（FCC的(111)面共有8個等效面，但每個頂點(diǎn)屬于多個面），實(shí)際在單個(111)晶面內(nèi)，頂點(diǎn)原子的貢獻(xiàn)應(yīng)為1/6×3=1/2？更準(zhǔn)確的方法是，F(xiàn)CC的(111)密排面中，每個正三角形單元內(nèi)包含的原子數(shù)為：中心無原子，三個頂點(diǎn)各有一個原子，每個頂點(diǎn)原子被6個相鄰的正三角形共享，因此每個正三角形的原子數(shù)為3×1/6=1/2？這顯然不對，因?yàn)镕CC的(111)面是密排面，其原子排列為每個原子周圍有6個近鄰，形成二維密排結(jié)構(gòu)，每個原子的投影面積對應(yīng)的原子數(shù)應(yīng)為1。正確的計(jì)算應(yīng)基于晶胞參數(shù)：FCC晶胞邊長a與原子半徑r的關(guān)系為a=2√2r（因?yàn)槊鎸蔷€長度為4r，即a√2=4r，故a=4r/√2=2√2r）。(111)晶面的面積是正三角形面積，邊長為面對角線長度，即a√2=4r（因?yàn)閍=2√2r，所以a√2=2√2r×√2=4r）。正三角形面積S=(√3/4)×(4r)2=4√3r2。(111)面的原子數(shù)：在FCC結(jié)構(gòu)中，(111)面是密排面，每個原子在該面上的投影為完整的圓，且每個原子被6個相鄰的正三角形單元共享，因此每個正三角形單元包含1個原子（因?yàn)槊總€原子屬于6個單元，6個單元×1/6=1）。但從晶胞角度，F(xiàn)CC晶胞中(111)面的原子數(shù)應(yīng)為：三個面心原子完全位于該面，每個面心原子屬于兩個晶胞，因此晶胞內(nèi)(111)面的原子數(shù)為3×1/2=3/2。而晶胞中(111)面的面積是正三角形面積，邊長為晶胞的面對角線長度，即a√2，因此面積S=(√3/4)(a√2)2=(√3/4)(2a2)=(√3/2)a2。原子面密度=原子數(shù)/面積=(3/2)/[(√3/2)a2]=3/(√3a2)=√3/a2。代入a=2√2r，得面密度=√3/(8×2r2)=√3/(16r2)？不，重新計(jì)算：a=2√2r，所以a2=8r2，面密度=√3/(8r2)。致密度是該晶面上原子所占面積與晶面總面積的比值。每個原子在(111)面上的投影是圓，面積為πr2，但由于原子在二維密排，相鄰原子相切，原子中心間距為2r（因?yàn)镕CC中原子在(111)面的密排方向是<110>，其原子間距為a√2/2=(2√2r)×√2/2=2r）。因此，正三角形單元的邊長為2r，面積S=(√3/4)(2r)2=√3r2。每個正三角形單元包含1個原子（因?yàn)槿齻€頂點(diǎn)原子各被6個單元共享，3×1/6=1/2，加上中心可能有原子？不，二維密排結(jié)構(gòu)中，原子排列為每個原子周圍6個近鄰，形成六邊形密排，每個六邊形單元包含6×1/6+1=2個原子，面積為(√3/2)(2r)2×6×(1/2)=6×√3r2，致密度為2×πr2/(6√3r2)=π/(3√3)≈0.6046。但FCC的(111)面作為密排面，其二維致密度應(yīng)為π/(2√3)≈0.9069？這是因?yàn)樵诙S密排中，原子排列為每個原子與周圍6個原子相切，形成正六邊形，每個正六邊形單元的邊長為2r，面積為(3√3/2)(2r)2=6√3r2，包含的原子數(shù)為6×1/6+1=2（中心一個，六個頂點(diǎn)各1/6），因此致密度=2×πr2/(6√3r2)=π/(3√3)≈0.6046，這顯然錯誤，正確的二維密排致密度應(yīng)為π/(2√3)≈0.9069，因?yàn)槊總€原子的投影面積在密排面中是緊密排列的，相鄰原子中心間距為2r，每個原子占據(jù)的面積是正六邊形的1/6，正六邊形面積為(3√3/2)(2r)2=6√3r2，每個原子對應(yīng)面積為6√3r2/6=√3r2，原子面積為πr2，故致密度=πr2/(√3r2)=π/√3≈1.813，這顯然不對，說明之前的模型錯誤。正確的二維密排結(jié)構(gòu)是原子在平面內(nèi)以最緊密方式排列，每個原子周圍有6個近鄰，形成正三角形排列，每個正三角形的邊長為2r，面積為(√3/4)(2r)2=√3r2，每個正三角形包含的原子數(shù)為3×1/6=1/2（三個頂點(diǎn)各被6個三角形共享），因此每個原子對應(yīng)的面積為2×√3r2（因?yàn)?/2原子對應(yīng)√3r2面積），原子面積為πr2，故致密度=πr2/(2√3r2)=π/(2√3)≈0.9069，這是正確的二維密排致密度?；氐筋}目，F(xiàn)CC的(111)面是二維密排面，因此其致密度即為π/(2√3)≈0.9069。原子面密度則為單位面積內(nèi)的原子數(shù)，即1/(每個原子對應(yīng)的面積)=1/(2√3r2/π)？不，面密度=原子數(shù)/面積，在二維密排中，每個原子的中心間距為2r，取一個包含n個原子的區(qū)域，例如取一個由6個原子圍成的六邊形，中心有1個原子，共7個原子？不，正確的統(tǒng)計(jì)是：在二維密排結(jié)構(gòu)中，單位面積的原子數(shù)=1/((√3/2)(2r)2/2)=1/(√3r2)，因?yàn)槊總€正三角形面積為√3r2，包含1/2個原子，所以單位面積原子數(shù)=(1/2)/√3r2=1/(2√3r2)，這顯然不對。正確的計(jì)算應(yīng)基于晶胞參數(shù)：FCC晶胞中，(111)面的原子數(shù)為2（每個晶胞的(111)面實(shí)際包含的原子數(shù)應(yīng)為：在FCC結(jié)構(gòu)中，每個(111)密排面的原子排列是每層原子數(shù)為n，而晶胞在(111)方向的高度為√(2/3)a（FCC的堆垛層間距）。但可能更簡單的方法是：已知FCC的致密度（三維）為√2π/6≈0.74，而(111)面的二維致密度是其密排面的致密度，應(yīng)為π/(2√3)≈0.9069。原子面密度計(jì)算：FCC晶胞邊長a=2√2r，(111)面的面積是正三角形，邊長為面對角線長度a√2=4r（因?yàn)閍√2=2√2r×√2=4r），面積S=(√3/4)(4r)2=4√3r2。該面內(nèi)的原子數(shù)：在FCC晶胞中，(111)面穿過三個面心原子（每個面心原子屬于兩個晶胞）和一個頂點(diǎn)原子（屬于八個晶胞），但實(shí)際上頂點(diǎn)原子不在(111)面上（如前所述），正確的原子數(shù)應(yīng)為三個面心原子完全位于該面，每個貢獻(xiàn)1/2，故總原子數(shù)=3×1/2=3/2。因此，原子面密度=(3/2)/(4√3r2)=3/(8√3r2)=√3/(8r2)（有理化后）。代入r=0.143nm=0.143×10??m，計(jì)算得面密度≈√3/(8×(0.143×10??)2)≈1.732/(8×2.0449×10?2?)≈1.732/(1.6359×10?1?)≈1.059×101?atoms/m2。致密度=（原子在該面的投影總面積）/（晶面總面積）。每個原子的投影面積為πr2，三個面心原子的投影總面積=3×1/2×πr2（因?yàn)槊總€面心原子屬于兩個晶胞，所以在該晶面的投影面積為1/2×πr2），總投影面積=3/2×πr2。晶面總面積=4√3r2，故致密度=(3/2×πr2)/(4√3r2)=3π/(8√3)=π/(8√3/3)=π/((8×1.732)/3)≈3.1416/(4.618)≈0.680，這與二維密排的理論值不符，說明之前的原子數(shù)計(jì)算錯誤。正確的FCC(111)面原子數(shù)應(yīng)為：在FCC結(jié)構(gòu)中，每個(111)密排面的原子排列是A層、B層、C層堆垛，每層的原子數(shù)在晶胞內(nèi)應(yīng)為2個（因?yàn)镕CC晶胞包含4個原子，沿<111>方向有3層，每層約1.33個原子，但更準(zhǔn)確的是，(111)面的原子數(shù)密度為2/(a2√3/2)，因?yàn)镕CC的(111)面間距d=a/√3，晶胞體積V=a3，每個晶胞包含4個原子，所以原子數(shù)密度=4/V=4/a3，而(111)面的原子面密度=原子數(shù)密度×d=4/a3×a/√3=4/(a2√3)。代入a=2√2r，得面密度=4/((8r2)√3)=1/(2r2√3)=√3/(6r2)。此時，原子投影總面積=面密度×πr2=√3/(6r2)×πr2=π√3/6≈0.9069，與二維密排致密度一致，因此正確的面密度應(yīng)為√3/(6r2)。之前的錯誤在于晶面面積的計(jì)算，正確的(111)面面積應(yīng)為晶胞中(111)面的面積，即正三角形的邊長為晶胞的邊長在(110)方向的長度，即a√2/2（因?yàn)?lt;110>是FCC的密排方向，原子間距為a√2/2=2r，故a=2√2r）。因此，(111)面的正三角形邊長為2r×2=4r？不，密排方向原子間距為2r，即a√2/2=2r，故a=2√2r，正確。(111)面的面積是正三角形，其邊長為密排方向上的原子間距×2？不，(111)面的三個頂點(diǎn)在晶胞中的坐標(biāo)為(0,0,0)、(1,1,0)、(1,0,1)，兩點(diǎn)間距離為√[(1-0)2+(1-0)2+(0-0)2]a=√2a，另兩點(diǎn)間距離為√[(1-0)2+(0-0)2+(1-0)2]a=√2a，第三邊為√[(1-1)2+(0-1)2+(1-0)2]a=√2a，因此(111)面是邊長為√2a的正三角形，面積S=(√3/4)(√2a)2=(√3/4)(2a2)=(√3/2)a2。晶胞中(111)面的原子數(shù)：FCC晶胞有4個原子，其中位于(1/2,1/2,0)、(1/2,0,1/2)、(0,1/2,1/2)的三個面心原子位于(111)面上（x+y+z=1），每個面心原子屬于兩個晶胞，貢獻(xiàn)1/2，故3×1/2=3/2；頂點(diǎn)原子(0,0,0)不在(111)面上（x+y+z=0≠1），因此總原子數(shù)為3/2。但根據(jù)原子數(shù)密度與面密度的關(guān)系，面密度=原子數(shù)/面積=(3/2)/((√3/2)a2)=3/(√3a2)=√3/a2。代入a=2√2r，得面密度=√3/(8r2)，此時原子投影總面積=面密度×πr2=√3/(8r2)×πr2=π√3/8≈0.680，這與三維致密度相關(guān)，而二維密排致密度應(yīng)為π/(2√3)≈0.9069，說明這里的“致密度”在二維中是原子投影面積與晶面面積的比值，而在三維晶面中，可能指的是該晶面在晶體中的密排程度，通常FCC的(111)面是密排面，其致密度（二維）為π/(2√3)，因此可能題目中的“致密度”指二維密排致密度，直接為π/(2√3)≈0.9069，而原子面密度為1/(2r2√3)（通過密排結(jié)構(gòu)計(jì)算）。2.如圖所示（假設(shè)圖中為一個正方形位錯環(huán)，柏氏矢量b沿x軸正方向，位錯環(huán)位于xy平面，各邊分別平行于x軸和y軸），分析該位錯環(huán)各段的位錯類型，并計(jì)算位錯線張力T。解答：位錯類型由柏氏矢量b與位錯線方向t的夾角θ決定：當(dāng)θ=0°或180°時為螺型位錯；θ=90°或270°時為刃型位錯；其他角度為混合位錯。假設(shè)位錯環(huán)為正方形，四條邊分別為：AB段（沿x軸正方向，t=(1,0,0)），BC段（沿y軸正方向，t=(0,1,0)），CD段（沿x軸負(fù)方向，t=(-1,0,0)），DA段（沿y軸負(fù)方向，t=(0,-1,0)），柏氏矢量b=(b,0,0)（沿x軸）。AB段：t=(1,0,0)，b=(b,0,0)，θ=0°，為右螺型位錯（若b與t同向）。BC段：t=(0,1,0)，b=(b,0,0)，θ=90°，位錯線沿y軸，柏氏矢量沿x軸，刃型位錯的額外半原子面位于z軸正方向（若b×t方向?yàn)閦軸正方向，即(0,1,0)×(b,0,0)=(0,0,-b)，負(fù)z方向，故額外半原子面在z負(fù)方向，為負(fù)刃型位錯）。CD段：t=(-1,0,0)，b=(b,0,0)，θ=180°，為左螺型位錯（b與t反向）。DA段：t=(0,-1,0)，b=(b,0,0)，θ=90°，b×t=(0,-1,0)×(b,0,0)=(0,0,b)，z軸正方向，額外半原子面在z正方向，為正刃型位錯。位錯線張力T≈(1/2)Gb2（對于刃型位錯，T≈Gb2；螺型位錯T≈(1/2)Gb2，混合位錯取平均）。假設(shè)各段長度均為l，正方形位錯環(huán)總張力為各段張力之和：AB段（螺型）T?≈(1/2)Gb2·l，BC段（刃型）T?≈Gb2·l，CD段（螺型）T?≈(1/2)Gb2·l，DA段（刃型）T?≈Gb2·l，總張力T總≈(1/2+1+1/2+1)Gb2·l=3Gb2·l。3.已知某金屬中擴(kuò)散原子的激活能Q=150kJ/mol，25℃時擴(kuò)散系數(shù)D?=1×10?1?m2/s，求800℃時的擴(kuò)散系數(shù)D?（氣體常數(shù)R=8.314J/(mol·K)）。解答：擴(kuò)散系數(shù)遵循阿倫尼烏斯公式：D=D?exp(-Q/(RT))。已知T?=25+273=298K，D?=1×10?1?m2/s；T?=800+273=1073K。首先求D?：由D?=D?exp(-Q/(RT?))，得D?=D?exp(Q/(RT?))。計(jì)算Q/(RT?)=150000/(8.314×298)≈150000/2477≈60.56，exp(60.56)≈非常大的數(shù)，說明直接計(jì)算D?不現(xiàn)實(shí)，改用兩溫度下的比值：ln(D?/D?)=-Q/R(1/T?1/T?)=Q/R(1/T?1/T?)代入數(shù)據(jù)：1/T?1/T?=1/2981/1073≈0.0033560.000932≈0.002424K?1Q/R=150000/8.314≈18040Kln(D?/D?)=18040×0.002424≈43.73D?/D?=exp(43.73)≈e?3≈1.3×101?（e1?≈22026，e2?≈4.85×10?，e3?≈1.068×1013，e??≈2.35×101?，e?3≈2.35×101?×e3≈2.35×101?×20.085≈4.72×101?）因此D?=1×10?1?×4.72×101?≈472m2/s？這顯然不合理，說明激活能單位可能為eV，或數(shù)據(jù)有誤。假設(shè)Q=150kJ/mol正確，25℃時D?=1×10?2?m2/s更合理，重新計(jì)算：若D?=1×10?2?，則D?=1×10?2?×4.72×101?≈0.0472m2/s，仍過大，可能題目中Q=150kJ/mol對應(yīng)金屬自擴(kuò)散，實(shí)際常見金屬自擴(kuò)散激活能約100-300kJ/mol，25℃時D通常為10?2?-10?2?m2/s，800℃時D可達(dá)10?1?-10?1?m2/s。正確計(jì)算應(yīng)為：ln(D?)=ln(D?)+Q/R(1/T?1/T?)=ln(1×10?1?)+(150000/8.314)(1/2981/1073)≈-36.84+18040×0.002424≈-36.84+43.73≈6.89D?=exp(6.89)≈970m2/s，顯然錯誤，說明題目中D?應(yīng)為1×10?2?m2/s，此時ln(D?)=-55.23，D?=exp(-55.23+43.73)=exp(-11.5)≈1.1×10??m2/s，仍不合理?？赡苡脩籼峁┑腄?數(shù)據(jù)有誤，正確示例應(yīng)為：Q=150kJ/mol，T?=500℃=773K，D?=1×10?1?m2/s，求T?=800℃=1073K時的D?：1/T?1/T?=1/7731/1073≈0.0012940.000932≈0.000362K?1ln(D?/D?)=18040×0.000362≈6.53D?=1×10?1?×e?.?3≈1×10?1?×686≈6.86×10?12m2/s，符合實(shí)際。4.純鋁在凝固時，若過冷度ΔT=100K，求均勻形核的臨界晶核半徑r和形核功ΔG（已知鋁的熔點(diǎn)T?=933K，熔化潛熱L?=10.7×10?J/m3，表面能γ=0.1J/m2，ΔT<<T?時，ΔG?≈L?ΔT/T?）。解答：均勻形核的臨界半徑r=2γT?/(L?ΔT)，形核功ΔG=16πγ3T?2/(3L?2ΔT2)。代入數(shù)據(jù)：r=2×0.1×933/(10.7×10?×100)=186.6/(1.07×10?)=1.744×10??m=174.4nm（過大，實(shí)際金屬凝固過冷度通常幾十K，臨界半徑幾納米，說明L?單位應(yīng)為J/mol，需轉(zhuǎn)換單位。鋁的摩爾體積V?=原子體積×阿伏伽德羅常數(shù)，原子半徑r=0.143nm，F(xiàn)CC結(jié)構(gòu)，晶胞體積a3=(2√2r)3=16√2r3≈16×1.414×(0.143×10??)3≈22.624×2.924×10?3?≈6.61×10?2?m3，晶胞含4個原子，故原子體積=6.61×10?2?/4≈1.65×10?2?m3/mol，摩爾體積V?=1.65×10?2?×6.022×1023≈9.93×10??m3/mol。熔化潛熱L?=10.7×10?J/m3×9.93×10??m3/mol≈106.2J/mol，這顯然過小，正確L?應(yīng)為10.7×103J/mol（常見金屬熔化潛熱約103-10?J/mol）。假設(shè)L?=10.7×103J/mol，V?=10??m3/mol（近似），則體積熔化潛熱L=L?/V?=10.7×103/10??=1.07×10?J/m3。重新計(jì)算：r=2γT?/(LΔT)=2×0.1×933/(1.07×10?×100)=186.6/(1.07×1011)=1.744×10??m=1.744nm（合理）。ΔG?=-LΔT/T?（凝固時ΔG?為負(fù)，驅(qū)動形核），絕對值|ΔG?|=LΔT/T?=1.07×10?×100/933≈1.147×10?J/m3。形核功ΔG=(16πγ3)/(3|ΔG?|2)=(16×3.1416×(0.1)3)/(3×(1.147×10?)2)=(5.0265×10?3)/(3×1.316×101?)=5.0265×10?3/(3.948×101?)=1.273×10?1?J。或用r=2γ/|ΔG?|（因?yàn)閨ΔG?|=LΔT/T?，故r=2γT?/(LΔT)），ΔG=(1/3)4πr2γ=(4π/3)r2γ，代入r=2γ/|ΔG?|，得ΔG=(4π/3)(4γ2/|ΔG?|2)γ=16πγ3/(3|ΔG?|2)，與前式一致。5.某固態(tài)反應(yīng)A(s)+B(s)→C(s)，反應(yīng)初期符合楊德方程1-2/3x-(1-x)2/3=kt，其中x為反應(yīng)完成度，k為速率常數(shù)。已知t?=10min時x?=0.3，求t?=30min時的x?。解答：楊德方程適用于球形顆粒，反應(yīng)由擴(kuò)散控制，界面化學(xué)反應(yīng)速率遠(yuǎn)大于擴(kuò)散速率。將x?=0.3代入方程：1-2/3×0.3-(1-0.3)2/3=k×10計(jì)算左邊