第第頁第01講導數(shù)的概念及運算第一部分：知識點必背1、平均變化率（1）變化率事物的變化率是相關(guān)的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值.（2）平均變化率一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：.（3）如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：①作差：求出和②作商：對所求得的差作商，即.2、導數(shù)的概念（1）定義：函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù),記作.（2）定義法求導數(shù)步驟：求函數(shù)的增量：；求平均變化率：；求極限，得導數(shù)：.3、導數(shù)的幾何意義函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即.4、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導數(shù)(為常數(shù))()()(，)5、導數(shù)的運算法則若，存在，則有（1）（2）（3）6、復合函數(shù)求導復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)，的導數(shù)間的關(guān)系為，即對的導數(shù)等于對的導數(shù)與對的導數(shù)的乘積．7、曲線的切線問題（1）在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計算切點的縱坐標（方法：把代入原函數(shù)中），切點.第二步：計算切線斜率.第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.（2）過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.高頻考點一：導數(shù)的概念典型例題例題1.設(shè)，則（

）A． B． C．3 D．12【答案】B【詳解】，.故選：B例題2．函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由圖知：，即.故選：A練透核心考點1．已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為函數(shù)，所以該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，故選：A2．設(shè)函數(shù)在處的導數(shù)為2，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【詳解】因為函數(shù)在處的導數(shù)為2，所以.故選：A高頻考點二：導數(shù)的運算例題1．已知函數(shù)，則（

）A．－1 B．0 C．－8 D．1【答案】C【詳解】解：因為函數(shù)，所以，則，解得，則，所以，故選：C例題2．已知函數(shù)，則__________．【答案】6【詳解】因為，所以，所以，，所以，故答案為：6.練透核心考點1．（多選）下列函數(shù)求導運算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【詳解】A：，故A錯誤；B：，故B正確；C：，故C正確；D：，故D錯誤.故選：BC.2．若函數(shù)滿足，則_____________【答案】1【詳解】因為，所以，則，解得：，則，則.故答案為：1.高頻考點三：導數(shù)的幾何意義角度1：求切線方程（在型）例題1．已知函數(shù)，那么在點處的切線方程為___________．【答案】【詳解】由，則，所以，又，所以在點處的切線方程為．故答案為：．例題2．函數(shù)在點處的切線方程為___________.【答案】【詳解】由得，所以，又，即為切點，所以切線方程為，即.故答案為：．練透核心考點1．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為______．【答案】【詳解】因為，所以．因為，，所以所求切線方程為，即.故答案為：2．函數(shù)的圖像在點處的切線方程為__________．【答案】【詳解】由題意，得，所以，又，則所求切線的方程為，故答案為：角度2：求切線方程（過型）例題1．已知直線l為函數(shù)的切線，且經(jīng)過原點，則直線的方程為__________.【答案】【詳解】解：設(shè)切點坐標為，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為又直線l過點，所以，整理得，解得，所以，直線l的斜率，所以直線l的方程為，故答案為：.例題2．已知曲線，過點作曲線的切線，則切線的方程為____________.【答案】【詳解】設(shè)切點坐標為，,則切線的斜率，故切線方程為，又因為點在切線上，所以，整理得到，解得，所以切線方程為．故答案為:.練透核心考點1．寫出曲線過點的一條切線方程__________．【答案】或（寫出其中的一個答案即可）【詳解】解：因為點在曲線上，所以曲線在點處的切線方程符合題意．因為，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即．因為當或時，；當時，，所以函數(shù)在處取得極大值，又極大值恰好等于點的縱坐標，所以直線也符合題意．故答案為：或（寫出其中的一個答案即可）2．已知函數(shù)，過點作曲線的切線，則其切線方程為______．【答案】或【詳解】設(shè)切點為，因為，所以，所以切線的斜率為，所以切線方程為，因為切線過，所以，解得或，所以切線方程為或.故答案為：或角度3：已知切線方程（或斜率）求參數(shù)例題1．函數(shù)有一條斜率為2的切線，則切點的坐標為_____________【答案】【詳解】設(shè)切點坐標為，由函數(shù)可得，因為函數(shù)有一條斜率為2的切線，所以，解得，所以切點坐標為，故答案為：.例題2．已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則實數(shù)_______.【答案】【詳解】因為，其中，則，所以，，易知直線的斜率存在，由題意可得，解得.故答案為：.練透核心考點1．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則__________.【答案】-1【詳解】因為，所以.又的圖象在處的切線方程為，所以，解得，則，所以，代入切線方程得，解得，所以,故答案為：-1.2．若直線是曲線的切線，則________．【答案】2【詳解】對函數(shù)求導得，設(shè)直線與曲線相切于點，則，由點在切線上得，即，所以，解得，．故答案為：2角度4：導數(shù)與函數(shù)圖象例題1．已知是的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由題中的圖象可以看出，在內(nèi)，，且在內(nèi)，單調(diào)遞增，在內(nèi)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，且其圖象在內(nèi)越來越陡峭，在內(nèi)越來越平緩．故選：D．例題2．如圖，直線是曲線在處的切線，則___________.【答案】【詳解】直線過點，，直線斜率，又直線是在處的切線，，又，.故答案為：.練透核心考點1．已知函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導函數(shù)，，，，則關(guān)于排序正確的是_____________．【答案】【詳解】由圖象知在上單調(diào)遞增，又過點和點的直線的斜率為，由導數(shù)的幾何意義，知為曲線在處的切線方程的斜率，為曲線在處的切線方程的斜率，如圖，得，即．故答案為：2．如圖，直線是曲線在點處的切線，則的值等于______．【答案】【詳解】由函數(shù)的圖像可得，直線過點和，則直線的斜率，又由直線是曲線在點處的切線，則，所以．故答案為：角度5：共切點的公切線問題例題1．已知點是曲線與曲線的公共切點，則兩曲線在點處的公共切線方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【詳解】設(shè)點的坐標為，對曲線求導得，對曲線求導得，得解得，得點坐標為，切線為．故答案為B.例題2．已知

的圖象在處的切線與與函數(shù)的圖象也相切，則該切線的斜率__________.【答案】【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線的切點為，因為，所以切線斜率為，切線方程為，即，設(shè)的圖象的切線的切點為，因為，所以切線斜率為，切線方程為，即，由題，解得，，斜率為.故答案為：.練透核心考點1．已知函數(shù)，，若曲線與曲線在公共點處的切線相同，則實數(shù)______.【答案】1【詳解】，，設(shè)公共點為，則，即，消得，令，∴在上單調(diào)遞增，又，∴，．故答案為：1.2．若曲線和曲線存在有公共切點的公切線，則該公切線的方程為__________.【答案】【詳解】，，則有，．設(shè)公共切點的坐標為，，則，，，．根據(jù)題意，有，解得．公切線的切點坐標為，切線斜率為2．公切線的方程為，即．故答案為：角度6：不同切點的公切線問題例題1．已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點坐標為______．【答案】【詳解】設(shè)直線與曲線和分別相切于，兩點，分別求導，得，，故，整理可得．同理得，整理可得．因為直線為兩曲線的公切線，所以，解得，所以直線的方程為，令，則．則直線與軸的交點坐標為．故答案為：.練透核心考點1．已知函數(shù)與函數(shù)存在一條過原點的公共切線，則__________.【答案】【詳解】設(shè)該公切線過函數(shù)、函數(shù)的切點分別為，.因為，所以該公切線的方程為同理可得，該公切線的方程也可以表示為因為該公切線過原點，所以，解得.故答案為：2．若曲線與曲線有一條過原點的公切線，則m的值為__________．【答案】8或【詳解】因為過原點斜率不存在的直線為，該直線與曲線不相切，所以設(shè)曲線的過原點的切線的方程為，切點為，則，，，所以，當時，，所以直線與曲線相切，設(shè)切點為，則，，，所以或，當時，，當時，，當時，，則，，，滿足方程的解不存在，故不存在.所以或，故答案為：8或.角度7：與切線有關(guān)的轉(zhuǎn)化問題例題1．若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小.設(shè)切點為，，所以，切線斜率為，由題知得或（舍），所以，，此時點到直線距離.故選：C練透核心考點1．在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線的距離的最小值是_____.【答案】【詳解】設(shè)直線與相切，則切線的斜率為，且，令，則，即切點的橫坐標為，將，代入，可得，即切點坐標為，所以點P到直線的距離的最小值即為到直線的距離，即，故答案為:第01講導數(shù)的概念及運算分層練習1．一個質(zhì)點運動的位移s（單位：米）與時間t（單位：秒）的關(guān)系可用表示，那么質(zhì)點在秒時的瞬時速度是（

）A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．4米/秒【答案】D【詳解】解：因為函數(shù)，所以，當時，，故物體在秒時的瞬時速度為4米/秒．故選：D2．已知函數(shù)可導，且，則曲線在點處的切線傾斜角為（

）A．45° B．60° C．120° D．135°【答案】A【詳解】由，可得，則曲線在處的切線斜率為1，由（為傾斜角），，可得.故選：A．3．設(shè)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，解得：.故選：A.4．下列導數(shù)運算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】對于A，，故A錯；對于B，，故B錯；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯．故選：C．5．已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【詳解】對求導得，由得，則，即，所以，當且僅當時取等號．故選：D．6．若曲線在點處的切線方程為，則，的值分別為（

）A．1，1 B．，1 C．1， D．，【答案】A【詳解】解：因為，所以，曲線在點處的切線的斜率為1，，又切點在切線上，．故選：A．7．設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，∵點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，∴．∵，∴．故選：C．8．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，令可得解得，所以，所以，故選:B.二、填空題9．已知函數(shù)，則________．【答案】【詳解】，則，所以.故答案為：.10．已知函數(shù)在點處的切線經(jīng)過點，則的最小值為___________.【答案】6【詳解】，則切點為，又，切線斜率為，切線方程為，又點在切線上，，則，當且僅當，即時等號成立.故答案為：6.三、解答題11．（1）已知函數(shù),求解集；（2）設(shè)曲線在點（0，e）處的切線與直線垂直，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由題可得，