第頁第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、函數(shù)的極值一般地，對(duì)于函數(shù)，（1）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值.（2）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．（3）極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)通稱極值點(diǎn)，極小值與極大值通稱極值.注：極大（?。┲迭c(diǎn)，不是一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).2、函數(shù)的最大（?。┲狄话愕兀绻趨^(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.3、函數(shù)的最值與極值的關(guān)系（1）極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（?。┲悼赡苡卸鄠€(gè)（或者沒有），但最大（小）值只有一個(gè)（或者沒有）；（3）函數(shù)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)；（4）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系例題1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)C．在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)D．在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)【答案】D【詳解】由圖可知，在區(qū)間為負(fù)，單調(diào)遞減，在區(qū)間為正，單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)附近左右兩邊的值一正一負(fù)，故有3個(gè)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；由選項(xiàng)B可知，只能判斷在區(qū)間上有3個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)?shù)?個(gè)極值都小于0時(shí)，至多只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)?shù)?個(gè)極值有正有負(fù)時(shí)，至少有1個(gè)零點(diǎn)，所以無法判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，故C錯(cuò)誤；在區(qū)間上為正，單調(diào)遞增，在區(qū)間上為負(fù)，單調(diào)遞減，則為極大值點(diǎn)，故D正確；故選：D.例題2．定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極大值【答案】A【詳解】在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，故D錯(cuò)誤，故選：A.練透核心考點(diǎn)1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．為函數(shù)的零點(diǎn)B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．為函數(shù)的極大值點(diǎn)D．是函數(shù)的最小值【答案】B【詳解】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的概念可判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷B；根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)以及最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C，D.由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為函數(shù)的極大值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，B正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為函數(shù)的極小值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為函數(shù)的極小值點(diǎn)，而也為函數(shù)的極小值點(diǎn)，與的大小不定，故不一定是函數(shù)的最小值，D錯(cuò)誤,故選：B2．如圖是的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①在區(qū)間上是增函數(shù)；②是的極小值點(diǎn)；③在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)；④是的極大值點(diǎn).A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【詳解】解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在和處取得極小值，處取得極大值，故②③正確，④錯(cuò)誤；故選：C．高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）例題1．已知函數(shù)，則的極小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)樗?，令，則，解得或（舍），x2－0＋單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此表可知，當(dāng)時(shí)，的取得極小值為.故選：D.例題2．已知函數(shù)，則的極大值為___________【答案】【詳解】由函數(shù)得函數(shù)，令，則或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為，故答案為：練透核心考點(diǎn)1．設(shè)函數(shù)，則（

）A．1為的極大值點(diǎn) B．1為的極小值點(diǎn)C．－1為的極大值點(diǎn) D．－1為的極小值點(diǎn)【答案】D【詳解】由，可得f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)>0可得x>－1，即函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)；令f′(x)<0可得x<－1，即函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上是減函數(shù)，所以x＝－1為f(x)的極小值點(diǎn)．故選：D2．函數(shù)（

）A．有最大（?。┲?，但無極值 B．有最大（小）值，也有極值C．既無最大（?。┲?，也無極值 D．無最大（?。┲?，但有極值【答案】C【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)無最大值和最小值，也無極值，故選：C高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)例題1．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，所以在上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，所以在有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知這兩根的兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，所以，解得.故選：C.例題2．已知在處取得極值，則的最小值為__________.【答案】8【詳解】解：由，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以有，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào).故答案為：8練透核心考點(diǎn)1．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值4，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【詳解】，，根據(jù)題意有，且，解得，，.此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.函數(shù)在處取極小值，滿足.故選：A2．若函數(shù)在處取得極大值10，則的值為___________.【答案】【詳解】由題意可知：,則有,解得或．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，或，則為極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在處取得極大值10，所以.故答案為：高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參）例題1．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，令或，又，所以?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有極大值，又，所以函數(shù)在上的最大值為：，故選：C.例題2．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在的最大值和最小值．【答案】(1)；(2)最大值為，最小值為【詳解】（1）易知，函數(shù)的定義域?yàn)?；所以，則切點(diǎn)為又，則在點(diǎn)處的切線斜率，所以，切線方程為，整理可得，即函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；或時(shí)，，在或上單調(diào)遞增；函數(shù)在上的單調(diào)性列表如下：13極大值極小值所以，的極大值為，極小值為；又，；綜上可得，函數(shù)在上的最大值為，最小值為練透核心考點(diǎn)1．在上的最大值是________.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值即最大值，所以.故答案為：2．已知的一個(gè)極值點(diǎn)為2.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】(1)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【詳解】（1）由題意可得：，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，令，解得或，則的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，可得為極小值點(diǎn)，即符合題意，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）∵，由（1）可得：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，又∵，即，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.高頻考點(diǎn)五：求函數(shù)的最值（含參）例題1．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)①當(dāng)時(shí)，在上的最小值為；當(dāng)時(shí)，在上的最小值為．【詳解】（1）因?yàn)?，所以．①?dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，或．①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上的最小值為；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在上的最小值為．例題2．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)．求函數(shù)的最大值．【答案】(1)a=1(2)答案見解析【詳解】（1）由題意可知，所以，即3-3a=0解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)a=1，符合題意．所以a=1．（2）由（1）知，令，，當(dāng)即時(shí)，f（x）和隨x的變化情況如下表：x－21＋0－0＋－7+6a單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)調(diào)增2－3a，由上可知，所以的最大值為．當(dāng)即時(shí)，f（x）和隨x的變化情況如下表：x－21＋0－－7+6a單調(diào)遞增單調(diào)遞減2－3a，由上可知，所以f（x）的最大值為．當(dāng)即時(shí)，恒成立，即f（x）在［－2，1]上單調(diào)遞減，所以f（x）的最大值為f（－2）=－7+6a，綜上所述，當(dāng)時(shí)，f（x）的最大值為；當(dāng)時(shí)，f（x）的最大值為－7+6a．練透核心考點(diǎn)1．已知.(1)若在處有極大值，求的值；(2)若，求在區(qū)間上的最小值.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題知，，由題意，，得或，當(dāng)時(shí)，在上，在上，此時(shí)，在處有極小值，不符題意；當(dāng)時(shí)，在上，在上，此時(shí)，在處有極大值，符合題意.綜上，.（2）令，得或，由，則在上，在上，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.由題意，，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，綜上，.高頻考點(diǎn)六：已知函數(shù)的最值求含參典型例題例題1．已知，函數(shù)在上的最小值為2，則實(shí)數(shù)__________.【答案】1【詳解】，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，在上的最小值為，解得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，在上的最小值為，舍去，綜上所述：，故答案為：1.例題2．設(shè)是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，曲線在處的切線斜率為9．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在閉區(qū)間上的最大值為20，求的值．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和(2)【詳解】（1），由已知得，得，解得，．經(jīng)驗(yàn)證可知符合題意，于是，由，得，由,得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和．（2）由（1）知，因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又所以其最大值為，解得．練透核心考點(diǎn)1．函數(shù)在上的最大值為4，則的值為（

）A．7 B． C．3 D．4【答案】D【詳解】解：∵，∴∴導(dǎo)數(shù)在時(shí)，，單調(diào)遞減；導(dǎo)數(shù)在時(shí)，，單調(diào)遞增；∵，，∴在處取得最大值為，即，故選：D.2．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，，若時(shí)，的最小值是3，求實(shí)數(shù)的值.（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）；（2）的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（3）.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，，所以在點(diǎn)處的切線方程，即.（2）定義域是，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是.（3）因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，，所以在上遞減，所以，解得（舍去），當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得.滿足條件，綜上：實(shí)數(shù)的值是.第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值分層精練1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的極小值點(diǎn)為（

）A．和 B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)楫?dāng)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值點(diǎn)為.故選：D.2．函數(shù)的最小值是（

）A． B．4 C． D．3【答案】C【詳解】由題意可得，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值是．故選:C.3．若函數(shù)在處有極值，則（

）A． B．C． D．a(chǎn)不存在【答案】B【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，故，又函數(shù)在處有極值，故，解得.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故選：B.4．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既存在最大值也存在最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得或，可以判斷在處取得極小值，在處取得極大值.令，得或，令，得或，由題意知函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最大、最小值只能在和處取得，結(jié)合函數(shù)的圖象可得：，解得，故的取值范圍是.故選：A5．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值-2，所以，即，，定義域?yàn)?，又因?yàn)樵谔幦〉米畲笾担栽谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，所以.故選：A.6．設(shè)直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，所以x為的極小值點(diǎn).故當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為．故選：B．7．函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______個(gè)．【答案】【詳解】因?yàn)楹愠闪?，所以在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)不存在極值點(diǎn)．故答案為：8．已知函數(shù)的最小值為0，則實(shí)數(shù)a的值為__________．【答案】1【詳解】的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，在區(qū)間上遞增，沒有最小值.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以在區(qū)間上的最小值為.故答案為：9．已知函數(shù)且在處取得極值.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)在的最大值與最小值.【答案】(1)；(2)【詳解】（1），依題意，解得.，所以在區(qū)間上遞增；在區(qū)間上遞減.所以在處取得極大值，在處取得極小值，符合題意.（2），，由（1）知，在區(qū)間上的最大值為，最小值