第第頁第04講冪函數(shù)與二次函數(shù)第一部分：知識點(diǎn)必背1、冪函數(shù)（1）冪函數(shù)定義一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．（2）五種常見冪函數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)（3）冪函數(shù)性質(zhì)（高頻考點(diǎn)）冪函數(shù)，在①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；2、二次函數(shù)形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).高頻考點(diǎn)一：冪函數(shù)的定義角度1：求冪函數(shù)的值例題1．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）．A．B．4C．D．8【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以可設(shè)f（x）＝xa，因?yàn)閳D象過，所以，所以，即，所以故選：C例題2．若函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則___________.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以，所以，故答案為：2練透核心考點(diǎn)1．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（

）A．2B．3C．4D．9【答案】B【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，圖象過點(diǎn)，故，故，，.故選：B2．函數(shù)同時(shí)滿足①對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，都有；②在上是減函數(shù)，則的值為（

）A．8B．4C．2D．1【答案】B【詳解】，，，代入分別是，在定義域內(nèi)，即是偶函數(shù)，因此取值或0，時(shí)，在上不是減函數(shù)，只有滿足，此時(shí)，，．故選：B．角度2：求冪函數(shù)的解析式例題1．已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值為（

）A．2B．1C．D．0【答案】C【詳解】由為冪函數(shù)，知.又函數(shù)圖像過點(diǎn)，則，故.故選：C例題2．若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，則的值為__________.【答案】3【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，則，，即，又點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則，解得，所以故答案為：3.練透核心考點(diǎn)1．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則_________.【答案】【詳解】設(shè)函數(shù)，又因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得：，所以函數(shù)，故答案為：.2．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則___________．【答案】【詳解】設(shè)冪函數(shù)為為常數(shù))，因?yàn)閮绾瘮?shù)過點(diǎn)，所以，則，所以，故答案為：.角度3：由冪函數(shù)求參數(shù)例題1．已知冪函數(shù)的圖像不過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1B．2C．－2D．1或2【答案】A【詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，，解得或．當(dāng)時(shí)，，圖像不過原點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，圖像過原點(diǎn)，不符合題意．故選：A．例題2．已知函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.【答案】2【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則，解得，所以.故答案為：2練透核心考點(diǎn)1．若是定義域?yàn)榈膬绾瘮?shù)，則_________.【答案】【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，則有，解得，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋项}意，所以.故答案為：12．已知冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則___________.【答案】【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，則，解得.故答案為：.高頻考點(diǎn)二：冪函數(shù)的值域例題1．在下列函數(shù)中，定義域和值域不同的是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由可知，,，定義域、值域相同；由可知，，定義域、值域相同；由可知，,，定義域、值域相同；由可知，，，定義域、值域不相同.故選：D例題2．已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；(3)求函數(shù)的值域．【答案】(1)或或(2)答案見解析(3)答案見解析【詳解】（1）解：依題意，即，解得，因?yàn)?，所以或或，所以或或?）解：若定義域?yàn)椋瑒t為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；若定義域?yàn)?，則為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若定義域?yàn)椋瑒t為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；（3）若，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?；若，則為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?；若，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?；練透核心考點(diǎn)1．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的值域是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】設(shè)，代入點(diǎn)得，則，令，函數(shù)的值域是.故選：C.高頻考點(diǎn)三：冪函數(shù)圖象角度1：判斷冪函數(shù)圖象例題1．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的大致圖象是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】設(shè)，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，解得，則，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，排除B、D，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋懦鼳．因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)可得在內(nèi)單調(diào)遞減，故C滿足，故選：C.例題2．下面給出4個(gè)冪函數(shù)的圖像，則圖像與函數(shù)大致對應(yīng)的是（

）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④【答案】A【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，該函數(shù)圖像應(yīng)與①對應(yīng)；函數(shù)，且該函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，該函數(shù)圖像應(yīng)與②對應(yīng)；的定義域、值域都是，該函數(shù)圖像應(yīng)與③對應(yīng)；，其圖像應(yīng)與④對應(yīng)．故選：A．練透核心考點(diǎn)1．若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】設(shè)冪函數(shù)，將點(diǎn)代入，得，解得，所以，定義域?yàn)?，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，大致圖像為B，故選：B．2．已知某冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該冪函數(shù)的大致圖象是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)為，由函數(shù)過點(diǎn)，所以，即，所以，解得，所以，則函數(shù)的定義域?yàn)?，且，故為偶函?shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故符合題意的為D；故選：D角度2：冪函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題例題1．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】【詳解】由于對任意的，恒經(jīng)過點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn),故答案為：例題2．冪函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)______．【答案】【詳解】冪函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn).故答案為：練透核心考點(diǎn)1．函數(shù)恒過定點(diǎn)______．【答案】【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)恒過定點(diǎn).故答案為：.2．不論實(shí)數(shù)取何值，函數(shù)恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)是___________．【答案】【詳解】因?yàn)?，故?dāng)，即時(shí)，，即函數(shù)恒過定點(diǎn).故答案為：.高頻考點(diǎn)四：冪函數(shù)單調(diào)性角度1：判斷冪函數(shù)的單調(diào)性例題1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上是增函數(shù)的為（

）．A．B．C．D．【答案】D【詳解】A：一次函數(shù)的性質(zhì)知在上是減函數(shù)，不合題意．B：定義域?yàn)镽且，為非奇非偶且是減函數(shù)，不合題意；C：定義域?yàn)镽且，為偶函數(shù)且在R上不單調(diào)，不合題意．D：定義域?yàn)镽且，為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，符合題意.故選：D．例題2．若冪函數(shù)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，滿足在區(qū)間上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不滿足在區(qū)間上是減函數(shù)，故答案為：練透核心考點(diǎn)1．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（

）A．1或B．C．1D．【答案】C【詳解】由冪函數(shù)定義得，解得：或．當(dāng)時(shí)，，利用冪函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，利用冪函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞增，不符題意舍去.故選：C.2．函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性是______.【答案】單調(diào)遞增【詳解】冪函數(shù)，定義域，指數(shù)為，滿足，故函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性是單調(diào)遞增，故答案為：單調(diào)遞增.角度2：由冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)例題1．若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（

）A．3B．1或3C．4D．4或6【答案】A【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：A例題2．“”是“冪函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（

）條件A．充分不必要B．必要不充分C．既不充分也不必要D．充要【答案】D【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以“”是“冪函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充要條件.故選：D練透核心考點(diǎn)1．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的值為___________.【答案】1【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，解得或，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，符合題意.故答案為：.2．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)__________.【答案】或3【詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則有，解得或.故答案為：或3角度3：由冪函數(shù)單調(diào)性解不等式例題1．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，若，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】設(shè)冪函數(shù)，其圖象過點(diǎn)，所以，解得，所以.因?yàn)?，所以為奇函?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以可化為，可得，解得，所以的取值范圍為.故選:C.例題2．已知冪函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則不等式的解集為___________．【答案】【詳解】設(shè)冪函數(shù)，由題意得，解得，故，，則，即為，根據(jù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則有，解得，故解集為，故答案為：．練透核心考點(diǎn)1．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，則的取值范圍是______.【答案】【詳解】設(shè)冪函數(shù)，，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得，所以，的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，解得，故答案為?．已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求x的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）已知冪函數(shù)，則，解得或，所以或，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以；（2）由于冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，若，則，平方后解得，所以x的取值范圍是.高頻考點(diǎn)五：冪函數(shù)的奇偶性例題1．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【詳解】為冪函數(shù)，，解得：或；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不合題意；綜上所述：.故答案為：.例題2．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或．又的圖像關(guān)于y軸對稱，所以，故．（2）由（1）可知，．因?yàn)?，所以，又函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故在上的值域?yàn)椋毻负诵目键c(diǎn)1．已知是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則滿足的實(shí)數(shù)的范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由題意，解得或，又在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，易知是偶函數(shù)，所以由得，解得或.故選：D.2．已知冪函數(shù)的表達(dá)式為，函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，且滿足，求的值．【答案】【詳解】∵為冪函數(shù)，∴，解得；又，∴，解得．∵，∴或．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，不合題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意，∴．∴．高頻考點(diǎn)六：二次函數(shù)角度1：二次函數(shù)值域問題例題1．函數(shù)在區(qū)間上（

）A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值【答案】A【詳解】解：因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸為，如圖所示：由此可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，無最小值.故選：A.例題2．函數(shù)，的值域是______.【答案】【詳解】因?yàn)椋嗪瘮?shù)的最小值是2，又，，∴函數(shù)的值域是.故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．已知函數(shù)，，函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，則.故選：D.2．已知二次函數(shù)，則的值域是___________．【答案】【詳解】解：二次函數(shù)，，因?yàn)椋?，所以的值域是，故答案為：角?：由二次函數(shù)單調(diào)性（區(qū)間）求參數(shù)例題1．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】函數(shù)的對稱軸為.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則應(yīng)有，所以；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則應(yīng)有，所以.綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是或.故選：C.例題2．（多選）函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值可能是（

）A．－1B．0C．1D．2【答案】BC【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以，所以，所以，故選：BC.練透核心考點(diǎn)1．已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________．【答案】【詳解】函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，依題意，，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：2．若二次函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，所以，即，解得,所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值（值域）求參數(shù)例題1．若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】的對稱軸為，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，故當(dāng)時(shí)，設(shè)另一根為，解得，要使定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)椋?故選：B例題2．已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】函數(shù)在[0,2]上單調(diào)遞減，在[2,+∞)上單調(diào)遞增，時(shí)時(shí)，函數(shù)的部分圖象及在上的的圖象如圖所示.所以為使函數(shù)在上的值域?yàn)?，?shí)數(shù)m的取值范圍是，故選：B.練透核心考點(diǎn)1．若函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，則a的值為(

)A．B．－3C．或－3D．4【答案】C【詳解】由題意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；②當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得；③當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上是減函數(shù)，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．綜上可知，a的值為或－3．故選：C．2．函數(shù)在[1，m]內(nèi)的值域?yàn)閇4，0]，則實(shí)數(shù)m需滿足___________.【答案】[1，3]【詳解】由可得，或，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在[1，m]內(nèi)的值域?yàn)閇4，0]，所以，即實(shí)數(shù)m的范圍為[1，3]，故答案為：[1，3]練透核心考點(diǎn)1．已知函數(shù)．(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）依題意，，則，解得或，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）依題意，的對稱軸方程為．當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值為；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值為；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)的最小值為．綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為6m，當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，的最小值為．2．設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值：(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最小值為，求.【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，其對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，故函數(shù)在區(qū)間的最大值為，最小值為；（2）對稱軸為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述：.第04講冪函數(shù)與二次函數(shù)分層練習(xí)1．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過第三象限，則a的值可以是（

）A．B．2C．D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，圖象在第一和第二象限，不經(jīng)過第三象限，A不合題意；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，圖象過原點(diǎn)分布在第一和第二象限，圖象不經(jīng)過第三象限，B不合題意；當(dāng)時(shí)，，圖象過原點(diǎn)分布在第一象限，不經(jīng)過第三象限，C不合題意；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，圖象經(jīng)過原點(diǎn)和第一、三象限，D符合題意，故選：D2．若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因?yàn)榈膶ΨQ軸為，且其圖象開口向上，所以或，解得或，所以的取值范圍是.故選：B.3．已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，，即點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，2，即，故.故選：D.4．已知函數(shù)f(x)，，則函數(shù)的值域是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】,對稱軸,當(dāng),又因?yàn)?所以函數(shù)的值域?yàn)?故選:D5．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A．B．