第頁第03講平面向量的數(shù)量積(精講）第一部分：知識點必背1、平面向量數(shù)量積有關(guān)概念1.1向量的夾角已知兩個非零向量和，如圖所示，作，，則()叫做向量與的夾角，記作．(2)范圍：夾角的范圍是．當(dāng)時，兩向量，共線且同向；當(dāng)時，兩向量，相互垂直，記作；當(dāng)時，兩向量，共線但反向．1.2數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．記作：.1.3向量的投影①定義：在平面內(nèi)任取一點，作.過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.②投影向量計算公式:當(dāng)為銳角（如圖（1））時，與方向相同，，所以；當(dāng)為直角（如圖（2））時，，所以；當(dāng)為鈍角（如圖（3））時，與方向相反，所以，即.當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以綜上可知，對于任意的，都有.2、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知向量，為向量和的夾角：2.1數(shù)量積2.2模：2.3夾角：2.4非零向量的充要條件：2.5三角不等式：（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）3、平面向量數(shù)量積的運算①②③4、極化恒等式①平行四邊形形式：若在平行四邊形中，則②三角形形式：在中，為的中點，所以5、常用結(jié)論①②③高頻考點一：平面向量數(shù)量積的定義角度1：平面向量數(shù)量積的定義及辨析例題1．已知在方向上的投影為，則的值為A．3 B． C．2 D．例題2．在矩形中，||＝6，||＝3.若點是的中點，點是的三等分點，且，則·＝（

）A．6 B．4 C．3 D．2練透核心考點1．已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12 B．8 C．-8 D．22．在中，，，，為的外心，則（

）A．5 B．2 C． D．角度2：平面向量數(shù)量積的幾何意義例題1．已知點O為所在平面內(nèi)一點，在中，滿足，，則點為該三角形的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心練透核心考點1．如圖，在正六邊形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，則_________．高頻考點二：平面向量數(shù)量積的運算角度1：求數(shù)量積例題1．已知向量，滿足，且與的夾角為，則（

）A．12 B．4 C．3 D．1例題2．已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．9 B． C．16 D．練透核心考點1．已知是邊長為2的等邊三角形，則（

）A． B． C． D．2．在中，，，，D是邊BC上一點，，設(shè)，．(1)試用，表示；(2)求的值．角度2：向量模運算例題1．已知向量與的夾角為60°，，，則（

）A．12 B．16 C． D．4例題2．已知向量，滿足，，，則等于（

）A． B． C． D．例題3．已知向量，，且，則________．練透核心考點1．設(shè)平面向量，，若，則等于（

）A． B． C． D．2．已知向量，為單位向量，，的夾角為，則_______．角度3：向量的夾角例題1．已知向量滿足，則（

）A．B．C．D．例題2．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．練透核心考點1．已知，，，則（

）A． B． C． D．2．已知單位向量，滿足，則______．角度4：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)例題1．已知平面向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為__________．例題2．已知，且向量與不共線.(1)若與的夾角為，求；(2)若與的夾角為且向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.練透核心考點1．已知平面向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為____________.2．若向量，已知與的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．角度5：已知模求數(shù)量積例題1．已知，是單位向量，若，則，的夾角是（

）A． B． C． D．例題2．若非零向量與滿足：，且，，則的最大值為______．練透核心考點1．空間向量，，若，，，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知向量，滿足，，則，則______．角度6：已知模求參數(shù)例題1．已知單位向量，，與的夾角為.(1)求證；(2)若，，且，求的值.練透核心考點1．已知，是單位向量，且，的夾角為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．高頻考點三：向量的垂直關(guān)系例題1．已知，，且?的夾角為，如果，那么的值為（

）A． B． C． D．例題2．已知，，．(1)求與的夾角；(2)若，且，求實數(shù)的值．練透核心考點1．已知兩個非零向量與不共線，(1)試確定實數(shù)k，使得與共線；(2)若，且，求實數(shù)的值．2．已知，.(1)若與的夾角為，求；(2)若與不共線，當(dāng)為何值時，向量與互相垂直？高頻考點四：向量的投影（投影向量）例題1．已知，，且，則在方向上的投影為（

）A． B． C． D．例題2．已知向量，則在方向上的數(shù)量投影為___________練透核心考點1．已知點，，，，則向量在方向上的投影向量的長度為（

）A． B． C． D．2．若向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．第03講平面向量的數(shù)量積課后鞏固練習(xí)1．已知向量，，，且，則實數(shù)為（

）A．-4 B．-3 C．4 D．32．已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C． D．3．若向量與向量的夾角為，，，則（

）A．12 B．6 C．4 D．24．已知，，，向量在方向上的投影是（

）A．12 B．4 C．－8 D．25．已知向量，滿足，，則（

）．A． B． C． D．6．已知點，，．則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．平面向量與相互垂直，已知，，且與向量(1，0)的夾角是鈍角，則=（

）A． B． C． D．8．已知向量與的夾角為，，若，則____________．9．已知向量，，其中，，若，則的最小