2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．102．已知直線與直線平行，則a的值為（

）A．2 B．1 C． D．2或3．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，，則正確的是（

）A．直線l的斜率為1 B．直線l的傾斜角為C．直線l的方向向量為 D．直線l的法向量為4．經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．在三棱錐O-ABC中，M，N分別是邊OA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且，用向量，，表示向量是（

）A． B．C． D．6．已知圓：與圓：有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（

）A． B． C．2 D．37．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．8．如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上，若直線DP與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．二、多選題9．已知直線l：，圓C：，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若直線l與圓C相離，則點(diǎn)A在圓C內(nèi)B．若直線l經(jīng)過點(diǎn)A，則點(diǎn)A在圓C上C．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相交D．若點(diǎn)A在圓C上，則過點(diǎn)A的圓的切線方程為10．在平行六面體中，各棱長(zhǎng)均為2，.則下列命題中正確的是（

）A．B．C．不是空間的一組基底D．直線與底面所成角的正弦值為11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：，點(diǎn)為曲線C上一點(diǎn)，則（

）A．曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱B．曲線C為中心對(duì)稱圖形C．直線與曲線C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)D．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為三、填空題12．已知點(diǎn)，，，使得與垂直的x值為.13．已知圓C：，直線l過點(diǎn)，若直線l與圓C相切，則直線l的方程為.14．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線E：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，其中A，，B三點(diǎn)共線，且，，則雙曲線E的離心率為.四、解答題15．已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心C在直線上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在圓C內(nèi)，過點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為GH和EF，求四邊形EHFG的面積.16．如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，點(diǎn)Q在棱PA上，且，底面為直角梯形，，，，，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn).(1)求證：平面PCB；(2)直線AD與直線CN所成角的余弦值.17．已知點(diǎn)在雙曲線C：（，），且C的實(shí)軸長(zhǎng)為2，，分別為C的左、右焦點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P為雙曲線上一點(diǎn).①當(dāng)時(shí)，求的面積；②求的取值范圍.18．如圖1，在四邊形中，，，，如圖2，把沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)處，且平面平面，為的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)判斷線段上是否存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．已知，分別是橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)，軸上方的兩動(dòng)點(diǎn)在上，且，當(dāng)時(shí)，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求的坐標(biāo)；(3)橢圓上的任意一點(diǎn)及（2）中的點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，求的最小值.

1．C由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】，所以，故選：C2．A根據(jù)平行得到方程，解出值后再檢驗(yàn)即可.【詳解】由題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，不合題意，舍去.則a的值為.故選：A.3．B由兩點(diǎn)求得斜率，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由斜率公式得，所以傾斜角為，方向向量為，法向量為，其中，所以A，C，D錯(cuò)誤，B正確.故選：B4．B先求得直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】在中，，，所以，即，故左焦點(diǎn)為，而，故直線的方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，，由韋達(dá)定理得，，則由弦長(zhǎng)公式得．故選：B．5．C根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量線性運(yùn)算求得答案.【詳解】依題意，.故選：C.6．B由圓心距和半徑和差的關(guān)系構(gòu)造不等式求解即可.【詳解】，圓心，半徑為1，，圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A有公共點(diǎn)，所以，解得，結(jié)合選項(xiàng)只有B符合，故選：B7．A根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，故雙曲線的方程為，且，又點(diǎn)在該雙曲線上，所以，解得，所以，故該雙曲線的漸近線方程是.故選：A8．D設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，且，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，且，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，則，設(shè)，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，所以.故選：D.

9．ABD根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可得結(jié)論．【詳解】對(duì)于A，若直線l與圓C相離，則，所以，所以點(diǎn)A在圓C內(nèi)，故A正確；對(duì)于B，若直線l經(jīng)過點(diǎn)A，則，則，所以點(diǎn)A在圓C上，故B正確；對(duì)于C，若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則，則圓心C到直線的距離，所以直線l與圓C相離，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若點(diǎn)A在圓C上，則，當(dāng)且時(shí)，則，則過點(diǎn)A的圓的切線斜率為，方程為，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，則過點(diǎn)A的圓的切線斜率為，切線方程為，滿足，當(dāng)時(shí)，，則過點(diǎn)A的圓的切線斜率不存在，切線方程為，滿足，綜上所述：若點(diǎn)A在圓C上，則過點(diǎn)A的圓的切線方程為，故D正確.故選：ABD.10．BCD對(duì)于A，由向量的線性運(yùn)算及模長(zhǎng)公式求解即可；對(duì)于B，可證明即可判斷；對(duì)于C，由題可得即可判斷；對(duì)于D，連接交于點(diǎn)，過作交于，可證平面，則就是直線與底面所成角，再求邊長(zhǎng)確定余弦值即可．【詳解】對(duì)于A，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，，故B正確；對(duì)于C，，即共面，即不是空間的一組基底，故C正確；對(duì)于D，連接交于點(diǎn)，易知，又，平面，平面，又平面，所以，過作交于，平面，，又平面，所以平面，則就是直線與底面所成角，，，，則，，即直線與底面所成角的正弦值為，故D正確；故選：BCD．11．BC將、代入方程可判斷A、B；聯(lián)立直線與曲線C：，解方程組可判斷C；由，解不等式判斷D.【詳解】將方程中的用替換可得，即，因?yàn)樗梅匠膛c方原程不恒等，所以曲線C不關(guān)于x軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；將方程中的用替換，用替換，可得，即，新方程與原方程相同，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；聯(lián)立，則，整理得，因?yàn)?，所以方程有兩不等的解，所以直線與曲線C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，故C正確；由C：，則C：，可得，解得，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，，則，則，即，解得.故答案為：.13．或根據(jù)題意，分過點(diǎn)的直線的斜率存在與不存在兩種情況討論求解即可.【詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，因?yàn)閳A心到切線的距離等于半徑1，所以，解得，所以切線方程為，即，當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑1，故直線也符合題意，綜上所述，所求的直線的方程是或.故答案為：或.14．設(shè)，由三角函數(shù)表達(dá)出其他邊長(zhǎng)，由雙曲線定義求出，從而利用勾股定理求出，從而得到離心率.【詳解】如圖，由⊥，可得，所以，可得，在Rt中，由，不妨設(shè)，則，由勾股定理得，又由雙曲線的定義可得，，根據(jù)可得，解得，所以，，故在中，，即，故，故雙曲線E的離心率為．故答案為：.15．(1)(2)（1）設(shè)圓心，根據(jù)解得，即可得圓心和半徑，進(jìn)而可得方程；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)分析可知最長(zhǎng)弦和最短弦，且最短弦EF垂直于GH，進(jìn)而可求面積.【詳解】（1）由題意設(shè)圓心，因?yàn)?，即，解得，即，則半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)?，由圓的性質(zhì)可知過點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦過圓心，即為直徑，即，且最短弦EF垂直于GH，可得，所以四邊形EHFG的面積.16．(1)證明見解析(2)（1）根據(jù)線面平行判定定理求解；（2）根據(jù)異面直線夾角的公式求值.【詳解】（1）（1）法一：取的中點(diǎn)，連接,則，.依題意得，，，則四邊形為平行四邊形，，為的中點(diǎn)，所以，所以，又平面，平面，故平面.法二：以為原點(diǎn)，以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，，分別是的中點(diǎn)，可得：，，，，，，，，可得，，設(shè)平面的法向量，則有即，令，則，，則，又平面平面.（2）（2）法一：由（1）知，，則直線與直線的所成角為直線與直線的所成角因?yàn)椋?，所以在中，則直線與直線所成角的余弦值為法二：由（1）知，,,所以直線與直線所成角余弦值為.17．(1)(2)①；②（1）由點(diǎn)在雙曲線上，和實(shí)軸長(zhǎng)得到，求解即可；（2）①由余弦定理得到，再由面積公式即可求解；②，得到，，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）由題設(shè)條件，可得，解得，，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①因?yàn)镻為雙曲線C：上的一點(diǎn)，所以，平方得

①，在中，由余弦定理，得，即

②，由①－②，得，即，所以的面積；②設(shè)，則，所以，，因?yàn)?，，，，，所以的取值范圍?18．(1)證明見解析(2)(3)存在，（1）在圖1中，證得，取AC的中點(diǎn)O，證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可證得；（2）以為原點(diǎn)，分別求得平面和平面的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，根據(jù)題意，求得，得到點(diǎn)到平面的距離為，令得到，結(jié)合向量的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）證明：在圖1中，由，可得，所以，則，因?yàn)?，可得，所以，在圖2中知，取AC的中點(diǎn)O，連接QO，BO，又因?yàn)镼為PC的中點(diǎn)，可得，所以，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：由題意知，平面平面，平面平面，且，所以平面ABC，所以直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，，所以，設(shè)平面的法向量為，因此，令，可得，，所以，因此，所以平面與平面的夾角的余弦值為.（3）解：假設(shè)線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得三棱錐的體積為，在中，，可得，因?yàn)槿忮F的體積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，可得，因此，因此點(diǎn)到平面的距離為，令（），由（