掌握平面向量的基本概念和基本運(yùn)算，能夠求解與平面向量有關(guān)的最值、范圍問(wèn)題.平面向量的數(shù)量積有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)之一，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、夾角、系數(shù)的范圍等．解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)(二次函數(shù)、三角函數(shù))等的最值或應(yīng)用基本不等式．同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以還有一種思路是數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì)．一般難度較大．必備知識(shí)1.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.2．對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.3．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．4．向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．5．平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b.6．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.二、必備方法（1）定義法（2）函數(shù)法（3）坐標(biāo)法（4）基向量法（5）幾何法（6）不等式法平面向量數(shù)量積的最值解題步驟：（1）根據(jù)題設(shè)條件引入恰當(dāng)?shù)淖兞?，如長(zhǎng)度、角度等；（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算定義式表示出數(shù)量積；（3）結(jié)合不等式、二次函數(shù)或三角函數(shù)的知識(shí)求最值。例1（2023·全國(guó)·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，則：，則當(dāng)時(shí)，有最大值.

當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，，則當(dāng)時(shí)，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問(wèn)題，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問(wèn)題的能力.【類題演練1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓O內(nèi)接邊長(zhǎng)為1的正方形是?。òǘ它c(diǎn)）上一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，設(shè)，則，，即可求解.【詳解】如圖，連接．易知，設(shè)，則．由已知可得，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，即的取值范圍?故選：B．這類問(wèn)題的解題思路是：第1步：選擇基向量：選定條件中兩個(gè)已知長(zhǎng)度或夾角的不共線向量；第2步：線性表示：根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，將要求數(shù)量積的兩個(gè)向量用基向量表示第3步：轉(zhuǎn)化：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，然后運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)等得出結(jié)論．例2（2024·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則；若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求的最小值.【詳解】解法一：因?yàn)?，即，則，可得，所以；由題意可知：，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，可得，又因?yàn)椋芍寒?dāng)時(shí)，取到最小值【類題演練1】（2024·江西鷹潭·二模）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊為,，，，是外接圓上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】A【分析】先判斷外接圓圓心是的中點(diǎn)，將化簡(jiǎn)為，再將分解整理得，結(jié)合圖形，利用向量數(shù)量積的定義式進(jìn)行分析，即得的最大值.【詳解】如圖，設(shè)的外心為，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，由，因，故,而，故當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取等號(hào).故選：A.【類題演練2】（23-2福建泉州·期中）在中，，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在斜邊BC的中線AD上，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合平方差公式和已知條件即可求解.【詳解】由題，所以由點(diǎn)P在斜邊BC的中線AD上得，故，故選：A.【類題演練3】（2024·陜西渭南·二模）已知菱形的邊長(zhǎng)為為菱形的中心，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，將分別用表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】由題意點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，則，，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值.

故選：A.這類問(wèn)題的解題策略為：（1）根據(jù)圖形的特殊性建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系：如等腰三角形、直角梯形等；（2）求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)并引入變量設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化；（4）運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想求解．例3（2024·北京·三模）已知點(diǎn)在邊長(zhǎng)為2的正八邊形的邊上，點(diǎn)在邊上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算即可.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，由于正八邊形的每個(gè)外角都為；則，所以.故選：C【類題演練1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足.在平面中，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故設(shè)，則,，其中銳角滿足，故的最大值為,故選：A

【類題演練2】（2024·北京昌平·二模）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)滿足．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取得最大值．【答案】/0.5【分析】第一空建立如圖所示坐標(biāo)系，用坐標(biāo)分分別表示出，再計(jì)算數(shù)量積即可；第二空建立如圖所示坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算數(shù)量積的最大值即可.【詳解】根據(jù)題意，建立以為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如圖

則因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為1，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以；如圖，

因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：；.幾何法的解題策略是：（1）結(jié)合條件進(jìn)行向量關(guān)系推導(dǎo)；（2）利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡；（3）結(jié)合圖形，確定臨界位置的動(dòng)態(tài)分析求出范圍．例4（2024·河北唐山·二模）已知圓：，過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出線段的中點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為，利用垂徑定理，由圖化簡(jiǎn)得，只需求的范圍即可，故又轉(zhuǎn)化成求過(guò)點(diǎn)的弦長(zhǎng)的范圍問(wèn)題.【詳解】

如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，則，由，因直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，考慮臨界情況，當(dāng)線段中點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（此時(shí)），弦長(zhǎng)最小，此時(shí)最長(zhǎng)，為，（但此時(shí)直線與軸平行，點(diǎn)不存在）；當(dāng)線段中點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，最短為0（此時(shí)符合題意）.故的范圍為.故選：D.本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合圓的弦想到取其中點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為，利用垂徑定理，將所求式轉(zhuǎn)化成，而求范圍即求弦的長(zhǎng)的范圍即可.【類題演練】（2024·黑龍江·三模）已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為，動(dòng)點(diǎn)位于線段上，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，而，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為，故選：C.求向量模的最值（范圍）將平面向量的模用一個(gè)變量表示，再結(jié)合函數(shù)的知識(shí)求最值.例5（2024·湖北黃岡·二模）已知為單位向量，向量滿足，則的最大值為（

）A．9 B．3 C． D．10【答案】C【分析】根據(jù)條件得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)條件得，得到，所以，即的最大值為，故選：C.【類題演練】（2024·湖北·二模）已知非零向量，的夾角為，，，則的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】求出向量乘積，結(jié)合二次函數(shù)求最值即可.【詳解】因?yàn)?，的夾角為，，所以，.故的最小值為1.故選：C解題策略：根據(jù)平面向量模的幾何意義，將模的最值轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題，然后分析動(dòng)點(diǎn)的極端位置，進(jìn)而得到答案.例6（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓是圓心為原點(diǎn)的單位圓，是圓上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)為弦的中點(diǎn)，則，后由圖形結(jié)合C點(diǎn)在圓內(nèi)部可得答案.【詳解】設(shè)為弦的中點(diǎn)，則．因?yàn)閮牲c(diǎn)不重合，則直線AB與圓O相交，所以點(diǎn)在圓內(nèi).考慮點(diǎn)D為圓上或圓內(nèi)一點(diǎn)，如圖當(dāng)且僅當(dāng)D，O，M三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)為，因C在圓內(nèi)，則；考慮點(diǎn)E為圓上或圓內(nèi)一點(diǎn)，如圖當(dāng)且僅當(dāng)O，E，M三點(diǎn)共線時(shí)，最短為，因C在圓內(nèi)，則.綜上，當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，，則.故選：D．

【類題演練】（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)、、為非零向量，若，則的最大值與最小值的差為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由、、分別為、、方向上的單位向量，分別考慮三個(gè)向量同向和兩兩夾角為的情況即可得解.【詳解】、、分別為、、方向上的單位向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、方向都相同時(shí)，等號(hào)成立，作，，，當(dāng)時(shí)，如圖所示：以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAEB，則該四邊形為菱形，且，所以，為等邊三角形，且，又因?yàn)椋?，由圖可知，，即，綜上所述，．故選：D．將向量模的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離，再轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線問(wèn)題、直線與圓的位置關(guān)系求解。例7（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面上點(diǎn)，，滿足，且，點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．1或【答案】A【分析】由題設(shè)三個(gè)條件依次得到，推得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，再得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，通過(guò)建系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成由點(diǎn)向圓做切線，求原點(diǎn)到該切線的最短距離問(wèn)題.【詳解】由題意，得，所以．因?yàn)?，所以．又，即，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系．易知，，則點(diǎn)的軌跡方程為．由，得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，設(shè)其方程為，即．由點(diǎn)到該切線的距離為，可得，解得或．由圖知，當(dāng)時(shí)，最小，切線的方程為，此時(shí)的最小值即為點(diǎn)到切線的距離，即．故選：A．【類題演練】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）向量，滿足，，且，不等式恒成立.函數(shù)的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)向量的夾角、模長(zhǎng)及恒成立求出，利用距離和的最值求解的最小值.【詳解】作，，，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，則，即，從而有，故.設(shè)，，則.作點(diǎn)E關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)F，，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào).故選：C.結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算以及不等式可求最值.例8．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）設(shè)，為單位向量，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用向量的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，，為單位向量，所?當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)，取到等號(hào).故選：C【類題演練】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．6【答案】B【分析】由，得，可得，由，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)可得最小值.【詳解】為單位向量，有，得，由，得，有，所以，，，，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時(shí)“”成立，如取時(shí)，可使“”成立.所以.夾角的最值（范圍問(wèn)題）將向量夾角的余弦值用變量表示，結(jié)合不等式或函數(shù)的知識(shí)求出余弦值的范圍，進(jìn)而求出向量夾角的范圍或最值.例9（23-24·重慶·期中）已知平行四邊形，，分別為，中點(diǎn)，設(shè)在方向上投影向量為，在方向上投影向量為，已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用表示，然后利用投影向量的公式求出，計(jì)算化簡(jiǎn)得到，最后根據(jù)及均值不等式求最值.【詳解】在平行四邊形中，，，，又分別為中點(diǎn)，則，因?yàn)樵诜较蛏贤队跋蛄繛?，所以，因?yàn)樵诜较蛏贤队跋蛄繛?，所以所以，解得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故選：C.【類題演練】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量與的夾角為銳角，為在方向上的投影向量，且，則與的夾角的最大值是．【答案】【詳解】先通過(guò)向量的定義得到，從而，通過(guò)求出，再求出，利用表示夾角，進(jìn)而利用基本不等式求最值.【分析】因?yàn)闉樵诜较蛏系耐队跋蛄?，且與的夾角為銳角，所以，故．因?yàn)椋?，所以．設(shè)，則，故．又．設(shè)與的夾角為，所以．因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以，即，故．又，所以．故與的夾角的最大值是．故答案為：.結(jié)合動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足的條件判斷出動(dòng)點(diǎn)所在軌跡，然后判斷出夾角取最值的位置，進(jìn)而求得答案.例10（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)軌跡是以為圓心，半徑為的圓，再由直線與圓相切可得的最大值為.【詳解】根據(jù)，可得，即可得；即可知點(diǎn)軌跡是以為圓心，半徑為的圓，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)與圓相切時(shí)，取到最大，又，可知此時(shí).故選：B【類題演練】（2024·安徽安慶·二模）已知點(diǎn)，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B滿足，則與夾角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，結(jié)合直線與圓相切，求得切線的傾斜角，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，可得，因?yàn)?，可得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，如圖所示，設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線的方程為，即，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，設(shè)切線的傾斜角為，則，可得，即與夾角的最大值為.故選：A.

參數(shù)的最值范圍問(wèn)題根據(jù)參數(shù)滿足的關(guān)系，結(jié)合基本不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解。例11（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在中，為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，.連接，在線段上任取一點(diǎn)，連接，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在線段上得到，結(jié)合已知條件得到，和的關(guān)系式，最后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值.【詳解】在線段上，，，為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，，，，由平面向量基本定理得，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：C.【類題演練1】（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（

）

A．1 B．2 C．4 D．【答案】A【分析】計(jì)算得，再利用三點(diǎn)共線結(jié)論得系數(shù)和為1，即，再利用基本不等式求出最值即可.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，所以.因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.【類題演練2】（2024·天津·二模）已知向量，其中且，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)兩個(gè)向量平行的充要條件，寫(xiě)出向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到結(jié)果.【詳解】∵，，其中，且，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：A.【類題演練3】（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)滿足，若橢圓上一點(diǎn)滿足，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用的坐標(biāo)表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)在橢圓上結(jié)合斜率關(guān)系求出，然后求出的最大值作答.【詳解】設(shè)，則，由，得，所以，由，得，即，又，因此，而，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故選：B恒成立問(wèn)題例12（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)、滿足且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得向量、是夾角等于的單位向量，因此給出點(diǎn)、的坐標(biāo)，設(shè)，將表示為關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá)式，利用輔助角與正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，算出的最大值，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由，則，以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，可設(shè)、，由點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，，可得，由三角函數(shù)的定義與性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，與均為正數(shù)，此時(shí)存在最大值，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，的最大值為，即有最大值，因?yàn)楹愠闪?，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【類題演練】（23-24高一下·重慶·期中）已知平面向量與的夾角為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)，構(gòu)造平行四邊形，由于恒成立，即恒成立，結(jié)合正弦定理將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，即可求解.【詳解】設(shè)，如圖作平行四邊形，

則，令，由于恒成立，即恒成立，在中，，，，由于恒成立，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.單項(xiàng)選擇題1．（2023·四川南充·一模）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，則（

）A．0 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則及向量的模計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：.2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，其中，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量平行，得到，結(jié)合基本不等式即可求.【詳解】由題意，因?yàn)椋?，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．故選：A3．（2024·四川內(nèi)江·三模）已知點(diǎn)A、B、C在圓上運(yùn)動(dòng)，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】由題意可得為直徑，且，當(dāng)共線且方向相同時(shí)模長(zhǎng)最長(zhǎng)，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋詾橹睆角疫^(guò)原點(diǎn)，的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以由平行四邊形法則可得：，所以，所以當(dāng)共線且方向相同時(shí)模長(zhǎng)最長(zhǎng)，即當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，取得最大值為.故選：C.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量，設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)在上求得，計(jì)算當(dāng)取得最小值時(shí)，求得即可.【詳解】是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則可設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故選：A5．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)F為線段BC上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】D【分析】先根據(jù)共線向量基本定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)F為線段BC上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），所以設(shè)，故，即，又，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9.故選：D6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】可由重心的性質(zhì)結(jié)合向量運(yùn)算得到點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合圓上的點(diǎn)到圓外定點(diǎn)的距離最小值為圓心到定點(diǎn)減半徑得到；亦可建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合圓的性質(zhì)得解.【詳解】法一：設(shè)的重心為，則，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，又，的最小值是.法二：以所在直線為軸，以中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，即，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)圓心為，，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)過(guò)圓心時(shí)最小，又，故得最小值為.故選：C.7．（2024·河北石家莊·二模）在平行四邊形中，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算律及數(shù)量積定義計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，由題意，所以，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?故選：A8．（2024·湖南·二模）設(shè)，對(duì)滿足條件的點(diǎn)的值與無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示得出C點(diǎn)軌跡，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】易知，所以，即C點(diǎn)軌跡為為圓心，為半徑的圓，易知到直線的距離為，即該圓與直線相切，若的值與無(wú)關(guān)，則該圓在兩平行直線之間，所以到直線的距離為，

由圖可知.故選：B多項(xiàng)選擇題9．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對(duì)任意不等式恒成立，若，則（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，最小 D．的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)條件得到，再數(shù)形結(jié)合，得到，從而判斷出選項(xiàng)A正確；再利用選項(xiàng)A的結(jié)果，得到，利用夾角公式，即可求得，從而得出選項(xiàng)B正確；由得到，即可判斷出選項(xiàng)C和D的正誤，從而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，且和相互垂直，所以，得到，?duì)于選項(xiàng)A，如圖，設(shè)，，則，，又對(duì)任意不等式恒成立，所以，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A知，，得到，所以，又，所以，所以選項(xiàng)B正確，又因?yàn)?，，，，所以，?dāng)時(shí)，，即，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：ABD.10．（2024·山東濰坊·二模）已知向量，，為平面向量，，，，，則（

）A． B．的最大值為C． D．若，則的最小值為【答案】BCD【分析】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)可得，從而可得的范圍；對(duì)B，化簡(jiǎn)，根據(jù)點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離求解最大值即可；對(duì)C，化簡(jiǎn)，再結(jié)合滿足圓的方程求范圍即可；對(duì)D，根據(jù)滿足圓的方程進(jìn)行三角換元求解最值即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)有，即，為圓心為，半徑為的圓，又的幾何意義為原點(diǎn)到圓上的距離，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，則轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到的距離最大值，為，故B正確；對(duì)C，，因?yàn)?，故，故C正確；對(duì)D，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，，故?dāng)時(shí)，取最小值取最小值，故D正確.故選：BCD11．（2024·江西南昌·二模）已知，為上一點(diǎn)，且滿足.

動(dòng)點(diǎn)滿足，為線段上一點(diǎn)，滿足，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，則為線段BC