/專題17二次函數(shù)與四邊形綜合類型一二次函數(shù)與一般平行四邊形1.拋物線y＝ax2－32x－2與x軸交于A（－1，0），B兩點，與y軸交于點C，點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一點（1）求拋物線的表達式；（2）如圖1，過P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E.設點D的橫坐標為m，當PE＝52BE時，求m的值（3）如圖2，點F（1，0），連接CF并延長交直線PD于點M，點N是x軸上方拋物線上的一點，在（2）的條件下，x軸上是否存在一點H，使得以F，M，N，H為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由.2.如圖，拋物線y1＝a（x－h(huán)）2＋k與直線y2＝k'x＋b分別交x軸和y軸于點A（－3，0）和點C（0，3），已知拋物線的對稱軸為直線x＝－2.（1）請寫出點B的坐標，并求拋物線的表達式；（2）觀察圖象，請分別寫出符合下列條件的結論：①當y1＜y2時，x的取值范圍；②在平面內(nèi)以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形時，寫出點D的坐標.類型二二次函數(shù)與菱形3.如圖，拋物線與x軸相交于點A（－4，0），B（－2，0），直線AC過拋物線上的點C（－1，3）.（1）求此拋物線和直線AC的表達式；（2）設拋物線的頂點是D，直線AC與拋物線的對稱軸相交于點E，點F是直線DE上的一個動點，求FB＋FC的最小值；（3）若點P在直線AC上，問在平面上是否存在點Q，使得以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由.4.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝－2x＋6的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸于點C，交AB于點E.（1）求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式.（2）是否存在點D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由.（3）F是第一象限內(nèi)拋物線上的動點（不與點D重合），過點F作x軸的垂線交AB于點G，連接DF，當四邊形EGFD為菱形時，求點D的橫坐標.類型三二次函數(shù)與矩形5.如圖，拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線上一動點，在平面內(nèi)是否存在點Q，使得以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.6.如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c交x軸于A，B（3，0）兩點，交y軸于點C（0，－3）.點P是拋物線上一個動點.（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）當點P的坐標為（1，－4）時，求四邊形BACP的面積；（3）當動點P在直線BC上方時，在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.類型四二次函數(shù)與正方形7.如圖，已知拋物線y＝－x2＋2x＋c與x軸交于點A（3，0），B，與y軸交于點C.（1）求c的值及該拋物線的對稱軸；（2）若點D在直線AC上，點E是平面內(nèi)一點.是否存在點E，使得以點A，B，D，E為頂點的四邊形為正方形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.8.如圖，拋物線y＝－ax2＋bx＋5過點（1，2）、（4，5），交y軸于點B，直線AB經(jīng)過拋物線頂點A，交x軸于點C，請解答下列問題：（1）求拋物線的表達式；（2）點Q在平面內(nèi)，在第一象限內(nèi)是否存在點P，使以A，B，P，Q為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.答案：1.解：（1）把點A（－1，0）代入y＝ax2－32x－2得a＋32－2＝0，解得a＝∴拋物線的表達式為y＝12x2－32（2）把y＝0代入y＝12x2－32x－2得，12x2－解得x＝－1或x＝4，∴B（4，0）.當x＝0時，y＝－2，∴點C的坐標（0，－2）.∴BC＝42＋22＝25，BC的表達式為y根據(jù)題意，設點D的坐標為（m，0），把x＝m代入y＝12x2－32x－2得，y＝12m2－把x＝m代入y＝12x－2，得y＝12∴P（m，12m2－32m－2），E（m，1∴DE＝2－12m，EP＝2m－12m∵PD⊥x軸，∴PD∥y軸，∴△BDE∽△BOC，∴BD∶BO＝BE∶BC，即BE·BO＝BC·BD，∴BE＝52（4－m∵PE＝52BE＝54（4－∴2m－12m2＝54（4－解得m＝52或m（3）存在，點H的坐標為（－72，0）或（112，0）或（－32∵C（0，－2），F(xiàn)（1，0），∴直線CF的表達式為y＝2x－2，當x＝52時，y＝2×5∴M（52∵點N是x軸上方拋物線上的一點，∴當y＝3時，12x2－32解得x＝－2或x＝5.當N（－2，3）時，F(xiàn)H＝MN＝92∴點H的坐標為（－72，0）或（11當N（5，3）時，F(xiàn)H＝MN＝52∴點H的坐標為（－32，0）或（7綜上，點H的坐標為（－72，0）或（112，0）或（－322.解：（1）根據(jù)題意得拋物線y1＝a（x＋2）2＋k，∵拋物線y1＝a（x＋2）2＋k與直線y2＝k'x＋b分別交x軸和y軸于點A（－3，0）和點C（0，3），∴0=a＋k，3=4a＋k，解得∵點A（－3，0），拋物線的對稱軸為直線x＝－2，∴B（－1，0）.（2）①由圖象可知當－3＜x＜0時，y1＜y2；②∵AB＝－1－（－3）＝2，∴D（－2，3）或（2，3）或（－4，－3）.3.解：（1）設該拋物線的表達式是y＝a（x＋4）（x＋2），把C（－1，3）的坐標代入得，a＝1.∴該拋物線的表達式是y＝x2＋6x＋8.設直線AC的表達式是y＝kx＋b，把A（－4，0），C（－1，3）的坐標代入得，－4k∴直線AC的表達式是y＝x＋4.（2）∵點A，B關于直線DE對稱，∴FB＝FA，∴FB＋FC＝FA＋FC.當點F與點E重合時，F(xiàn)B＋FC最小，最小值是32.（3）當AB為菱形的對角線時，菱形的另外兩個頂點在線段AB的中垂線上，而點P又在直線AC上，∴點P的坐標是（－3，1），∴Q1（－3，－1）.當AB為菱形的一邊時，①當AP＝2時，點P是以A為圓心，2為半徑的圓與直線AC的交點.∴點P的坐標是（2－4，2）或（－2－4，－2），∴Q2（2－2，2），Q3（－2－2，－2）；②當BP＝2時，點P是以B為圓心，2為半徑的圓與直線AC的交點.∴點P的坐標是（－2，2），∴Q4（－4，2），∴在平面上存在點Q1（－3，－1），Q2（2－2，2），Q3（－2－2，－2），Q4（－4，2），使得以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是菱形.4.解：（1）令y＝0，則－2x＋6＝0，則x＝3.令x＝0，則y＝6，∴A（3，0），B（0，6）.把A（3，0），B（0，6）分別代入y＝－x2＋bx＋c，得－9+3b＋∴拋物線所對應的函數(shù)表達式為y＝－x2＋x＋6.（2）存在點D，使得△BDE和△ACE相似，設點D（t，－t2＋t＋6），則E（t，－2t＋6），C（t，0），過點B作BH⊥CD，垂足為H，則H（t，6），∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，BH＝t，DH＝－t2＋t，DE＝－t2＋3t.∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE.①如圖1，當△ACE∽△BDE時，∠BDE＝∠ACE＝90°，∴BD∥AC，∴D點縱坐標為6，∴－t2＋t＋6＝6，解得t＝0（舍去）或t＝1，∴D（1，6）.圖1圖2②如圖2，當△ACE∽△DBE時，∠BDE＝∠CAE，過B作BH⊥DC于H，∴∠BHD＝90°，∴BHDH＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝OB∴t－t2＋t＝63＝2，∴－2t解得t＝0（舍去）或t＝12，∴D（12，綜上所述，點D的坐標為（1，6）或（12，25（3）①如圖3，當D在F左側時，∵四邊形EGFD為菱形，∴DE∥FG，DE＝FG，ED＝EG.設點D（m，－m2＋m＋6），E（m，－2m＋6），F(xiàn)（n，－n2＋n＋6），G（n，－2n＋6），∴DE＝－m2＋3m，F(xiàn)G＝－n2＋3n，∴－m2＋3m＝－n2＋3n，即（m－n）（m＋n－3）＝0.∵m－n≠0，∴m＋n－3＝0，即m＋n＝3或n＝3－m.∵A（3，0），B（0，6），∴AO＝3，BO＝6，∴AB＝AO2＋過點G作GK⊥DE于K，∴KG∥AC，∴∠EGK＝∠BAC，∴KGEG＝cos∠EGK＝cos∠BAC＝OA即n－mEG∴EG＝5（n－m）＝5（3－2m）.∵DE＝EG，∴－m2＋3m＝5（3－2m），∴m2－（3＋25）m＋35＝0，解得m＝3+25＋292（不合題意，舍去）或∴m＝3+25∴點D的橫坐標為3+25圖3圖4②如圖4，當D在F右側時，同①方法可得點D的橫坐標為3－綜上，點D的橫坐標為3+25－295.解：存在.當y＝0時，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A（－1，0），B（3，0），當x＝0時，y＝－x2＋2x＋3＝3，則C（0，3），設直線AC的表達式為y＝kx＋b，把A（－1，0），C（0，3）的坐標分別代入得－k＋∴直線AC的表達式為y＝3x＋3，當四邊形ACPQ為矩形時，PC⊥AC，∴PC的表達式為y＝－13x解方程組y＝－13∴點P的坐標為73∵點C向右平移73個單位，向下平移79個單位得到點∴點A向右平移73個單位，向下平移79個單位得到點Q，即Q當四邊形APQC為矩形時，AP⊥AC，設AP的表達式為y＝－13x＋b把A（－1，0）的坐標代入得－13×（－1）＋b＝0，解得b＝－1∴直線AP的表達式為y＝－13x－13，解方程組y＝－∴點P的坐標為103∵點A向右平移133個單位，向下平移139個單位得到點∴點C向右平移133個單位，向下平移139個單位得到點Q，即Q綜上所述，點Q的坐標為43,?76.解：（1）由題意可得c＝－∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2－2x－3.（2）如圖1，連接OP，過點P作PE⊥AB于點E，∵點P的坐標為（1，－4），∴PE＝4，OE＝1.令y＝0，則x2－2x－3＝0，∴x＝3或x＝－1，∴A（－1，0），∴OA＝1.∵C（0，－3），B（3，0），∴OC＝3，OB＝3.∴四邊形BACP的面積為S△OAC＋S△OCP＋S△OBP＝12OA·OC＋12OC·OE＋12＝12×1×3＋12×3×1＋＝9.圖1圖2（3）①在平面直角坐標系內(nèi)存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形.如圖2，四邊形BCQP為符合條件的矩形，PB交y軸于點E，CQ交x軸于點F，連接EF，過點P作PM⊥y軸于點M，過點Q作QN⊥x軸于點N，∵OC＝OB＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∵四邊形BCQP為矩形，∴∠PBC＝∠QCB＝90°，∴∠OBE＝∠OCF＝45°，∴△OBE和△OCF為等腰直角三角形，∴OB＝OC＝OE＝OF＝3，∴四邊形BCFE為正方形，∴CF＝BE，∠EFC＝∠BEF＝90°，∴四邊形EFQP為矩形.∴QF＝PE.∵∠MEP＝∠BEO＝45°，∠QFN＝∠OFC＝45°，∴△PME和△QNF為全等的等腰直角三角形，∴NF＝QN＝PM＝ME.∵OE＝3，∴E（0，3），設直線BE的表達式為y＝kx＋n，∴3k＋∴直線BE的表達式為y＝－x＋3.聯(lián)立得y＝－x+3∴P（－2，5），∴PM＝2，∴QN＝NF＝2，∴ON＝OF＋NF＝3＋2＝5，∴Q（－5，2）.②當四邊形BPCQ為矩形時，即∠BPC＝90°時，設P（m，m2－2m－3），由一線三垂直可知：3－mm2－2m＝－m2+2m∴P1－52，綜上，在平面直角坐標系內(nèi)存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形，此時點Q的坐標為（－5，2）或5+57.解：（1）∵拋物線y＝－x2＋2x＋c與x軸交于點A（3，0），∴－9＋6＋c＝0，解得c＝3，∵x＝－22×(?1（2）存在.∵y＝－x2＋2x＋3，∴C（0，3），設直線AC的表達式為y＝kx＋b，把A（3，0），C（0，3）的坐標分別代入得3k＋∴直線AC的表達式為y＝－x＋3，設D（t，－t＋3），∵點B與A（3，0）關于直線x＝1對稱，∴B（－1，0），∴AB＝3－（－1）＝4，當AB為正方形ABDE的邊時，如圖，則BD＝AB，BD⊥AB，AE＝AB，AE⊥AB，∴－t＋3＝4，解得t＝－1，∴D1（－1，4），E1（3，4）；當AB為正方形ADBE的對角線時，如圖，則DE⊥AB，EF＝DF＝AF＝BF＝12AB∴－t＋3＝2，解得t＝1，∴D2（1，2），E2（1，－2）.綜上所述，點E的坐標為（3，4）或（1，－2）.8.解：（1）∵拋物線y＝－ax2＋bx＋5過點（1，2）、（4，5），∴－a＋∴拋物線表達式為y＝x2－4x＋5.（2）在y＝x2－4x＋5中，令x＝0可得y＝5，∴B（0，5），∵y＝x2－4x＋5＝（x－2）2＋1，∴A（2，1），∴AB＝22＋（1設直線AB表達式為y＝kx＋n，則有2k＋∴直線AB表達式為y＝－2x＋5，①當PA⊥AB時，如圖1，可設直線PA的表達式為y＝12x＋m