邢臺(tái)市2025—2026學(xué)年高二(上)第三次月考

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)占55%,選擇性必修第二冊(cè)

第四章占45%。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的。

1.數(shù)列1,—√3,√5,—√7,3,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是

A.an=(一1)”·√2n+1B.an=(一1)n+1·√2n+1

C.an=(一1)"·√2n-1D.an=(一1)"+1·√2n-1

2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

封

A.(0,8)B.(0,4)C.(8,0)D.(4,0)

3.在等差數(shù)列{an)中，a?+ag=as+6,則a?+ag=

A.6B.8C.10D.12

4.如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E,F,G分別是線段BD,A?B?,C?D?的中點(diǎn)，則異面

直線AG與EF所成角的余弦值是

A

線

…B

…

C

D.

5.在數(shù)列{an}中，a?=2,anan+1=an—1,則a26=

ABC.2D.—2

【高二數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))】·26-170B·

6.在正四棱錐P-ABCD中，PA=2√6,AB=4,E,F分別是棱AB,PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到直線

EF的距離是

ABCD

7.設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,,貝

ABCD

8.阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他在《平面軌跡》中提出，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為非

1定值的點(diǎn)的軌跡是圓(后人稱為“阿氏圓”).已知在平面Ozy內(nèi)，A(-1,0),B(1,0),C(2,

-1),且|PA|=√2|PB|,則當(dāng)2|PB|+√2|PC|取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是

AB.(5,—2)D.(一5,2)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線l平分圓C:x2+y2—2x+4y=0的周長(zhǎng)，且直線l在x軸上的截距是在y軸上截

距的2倍，則直線l的方程可能是

A.2x+y=0B.x+2y=0

C.x+2y+3=0D.x—2y—5=0

10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S,若a?=2,am+n=anam,且S+5-S=4?-2,則

A.k=4B.k=12C.t=5D.t=13

11.已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F?,F?,P是雙曲線C右支上的點(diǎn)，G

是△PF?F?的內(nèi)心，記△GF?F?,△GPF?,△GPF?的面積分別為S?,S?,S?,

測(cè)

A.b=4

B.|GF?I2-|GF?I2=30

C.|PA|-|PF?|的最大值是7

D.當(dāng)時(shí)，|PF?|=18

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若橢圓C:的離心率是·,則m=▲

13.在數(shù)列{an}中，a?=1500,an=1.1an-1-100(n≥2),則an=▲

14.已知直線l:ax-by-2c=0與圓C:x2+y2+6x+6y+8=0交于A,B兩點(diǎn)，若a,b,c是

等差數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，則|AB|的取值范圍是▲·

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四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)

在數(shù)列{a。中，a?=1,an=an-1—2?1+2(n≥2).

(1)證明{a,+2"}是等差數(shù)列，并求(an〉的通項(xiàng)公式；

(2)求{an)的前n項(xiàng)和Sn

16.(15分)

已知圓C經(jīng)過(guò)A(1,1),B(4,0)兩點(diǎn)，且圓心C在直線l:2x-y-4=0上，

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(一1,-1)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為M,N,求|MN|的值.

17.(15分)

如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=2,AA?=4,∠BAC=120°,∠C?CA=60°,

AC?⊥BC,D是棱A?B?的中點(diǎn).

(1)證明：平面ACC?A?⊥平面ABC.

(2)求平面AC?D與平面BCC?B?夾角的余弦值.

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18.(17分)

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,且點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)直線l:y=kx+t(k<0,t>0)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為D,射線OD

(0為坐標(biāo)原點(diǎn))交橢圓C于點(diǎn)E.

(1)若直線l過(guò)點(diǎn)(1,0),且|,求k的值；

(Ⅱ)若OA·OB=0,求·的值.

19.(17分)

定義：若an=bn+cn,且{bn}和{cn}是公比不相同的等比數(shù)列，則稱{an}為“混雙等比數(shù)

列”.已知數(shù)列{an}滿足a?=3,an+1=3an+k·5”,其中常數(shù)k≠0且k≠

(1)證明：{an+1-5an}是等比數(shù)列.

(2)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,若{Sn}是“混雙等比數(shù)列”,求k的值.

(3)若“混雙等比數(shù)列”pn}滿足pn=k1q”+k?q2,1<q?<q?,{pn}的前n項(xiàng)和為T?,{Tn}

也是“混雙等比數(shù)列”,證明：當(dāng)1<i<j(i,j∈N")時(shí)，pipj>0.

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邢臺(tái)市2025—2026學(xué)年高二(上)第三次月考

數(shù)學(xué)參考答案

1.D由題意可得a=(-1)”+1·√2n-1是數(shù)列1,一√3,√5,—√7,3,…的一個(gè)通項(xiàng)公式.

2.B由,得x2=16y,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,4).

3.D由等差數(shù)列的性質(zhì)可知a?+a?=a?+a?,則a?=6,故a?+a?=2a?=12.

4.C以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD?所在直線分別為x軸、

y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=2,則

A(2,0,0),E(1,1,0),F(2,1,2),G(0,1,2),所以AG=(-2,

1,2),EF=(1,0,2).設(shè)異面直線AG與EF所成的角為θ,則

5.A因?yàn)閍nan+1=an-1,所以.因?yàn)閍?=2,所以

所以{a}是以3為周期的周期數(shù)列，則

6.B如圖，連接AC,BD,DE,記AC∩BD=0,連接OP.由正四棱錐

的性質(zhì)可知OB,OC,OP兩兩垂直，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,

OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)镻A

=2√6,AB=4,所以D(-2√2,0,0),E(√2,—√2,0),F(0,√2,2),

所以ED=(-3√2,√2,0),EF=(一√2,2√2,2),則點(diǎn)D到直線EFA

的距離是

7.C因

8.A因?yàn)镻|A|=√2|PB|,所以2P|B|+√2|PC|=√2(|PA|+|PC|≥√2|AC|,當(dāng)且僅當(dāng)

點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，等號(hào)成立.設(shè)P(x,y).因?yàn)閨PA|=√2|PB|,所以|PAl2=2|PBI2,

所以(x+1)2+y2=2[(x—1)2+y2],即x2+y2—6x+1=0.因?yàn)锳(-1,0),C(2,—1),所

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第1頁(yè)(共6頁(yè))】·26-170B·

以直線AC的方程為因?yàn)?/p>

P在線段AC上，所以x<2,則P的坐標(biāo)為

9.AC由題意可得直線l過(guò)圓C的圓心C(1,—2).當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線l在兩坐標(biāo)軸上的

截距都是0,符合題意，此時(shí)直線I的方程為y=—2x,即2x+y=0.當(dāng)直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，

設(shè)直線l的方程觀故直線l的方程為·

=1,即x+2y+3=0.

10.BD令m=1,得an+1=a?an=2an,則{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，故S=

因?yàn)镾k+5-S,=4?-2,所以2k+6—2k+1=4?—2=2?-2,則k=

12,t=13.

11.ACD設(shè)△PF?F?內(nèi)切圓的半徑為r,則解得c

=5,故b=√c2—a2=4,A正確.作GH⊥F?F?,垂足為H(圖略),則GH=r.由雙曲線的

定義及切線長(zhǎng)定理可得|PF?I-|PF?I=|HF?I-|HF?|=2a=6.又|HF?I+|HF?I=

2c=10,解得|HF?I=a+c=8,|HF?I=c-a=2,則|GF?I2-|GF?I2=|HF?I2+r2一

(|HF?I2+r2)=60,B錯(cuò)誤.因?yàn)閨PF?I=|PF?|+2a=|PF?|+6,所以|PA|-|PF?I=

|PA|-|PF?I—6.因?yàn)閨PA|-|PF?I≤|AF?|=13,所以|PA|-|PF?I=|PA|—|PF?I

—6≤7,C正確.延長(zhǎng)PG交F?F2于點(diǎn)M(圖略).因?yàn)?所以PM=

由角平分線定理可,所以|PF?|=

解得|PF?I=18,D正確.

12.7由題意可得a2=m+9,b2=m,則c2=9.因?yàn)闄E圓C的離心率為,所

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第2頁(yè)(共6頁(yè))】·26-170B·

,解得m=7.

13.500×1.1”?1+1000由an=1.1an-1-100,得an-1000=1.1(an-1-1000),因?yàn)閍?-

1000=500≠0,所以{an-1000}是以500為首項(xiàng)，1.1為公比的等比數(shù)列，所以a-1000

=500×1.1”-1,所以a?=500×1.1”-1+1000.

14.[4√2,2√10]因?yàn)閍,b,c是等差數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，所以2b=a+c,所以c=2b—a,則直

線l的方程為ax—by-4b+2a=0,即a(x+2)—b(y+4)=0,故直線l過(guò)定點(diǎn)M(—2,

—4).由題意可知圓C的圓心為C(-3,—3),半徑r=√10,則|AB|≥2√r2-|MC|2=

2√10-2=4√2.當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，A|B|取得最大值2√10,則|AB|的取值范圍是

[4√2,2√10].

15.解：(1)因?yàn)閍=an-1-2”-1+2,所以a?+2”—(an-1+2”-1)=2.……2分

因?yàn)閍?=1,所以a?+2=3……………………3分

{a?+2”}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列………………4分

則a?+2”=3+2(n-1)=2n+1……………6分

故a=2n+1—2”……………7分

(2)由(1)可知an=2n+1—2”,則S?=a?+a?+a?+…+an……………8分

=(3-2)+(5—22)+(7—23)+…+(2n+1—2”)…………9分

=(3+5+7+…+2n+1)—(2+22+23+…+2”)………10分

……………12分

=n2+2n+2—2”+1…………13分

16.解：(1)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,b),則2a—b—4=0…………1分

因?yàn)锳,B是圓C上的兩點(diǎn)，所以|CA|=|CB|,所以√(a-1)2+(b-1)2=

√(a-4)2+b2,

即3a—b—7=0………………3分

得即C(3,2)………5分

則圓C的半徑r=√(3-4)2+22=√5………6分

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y—2)2=5………………8分

(2)因?yàn)镻(-1,-1),C(3,2),所以|PC|=√(3+1)2+(2+1)2=5……9分

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第3頁(yè)(共6頁(yè)】·26-170B·

所以|PM|=√|PC|2—r2=2√5,………10分

則四邊形PMCN的面積S=|PM|·r=2√5×√5=1012分

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(-1,—1)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為M,N,所以MN⊥PC,…………13分

所以四邊形PMCN的面積,解得M|N|=4.……15分

17.(1)證明：因?yàn)锳A?=4,所以CC?=4.…………………1分

因?yàn)锳C=2,∠C?CA=60°,所以AC?=√AC2+CC2-2AC·CC?cos∠C?CA=2√3,…

…………………………2分

則AC2+AC2=CC2,所以AC?⊥AC4分

因?yàn)锳C?⊥BC,ACC平面ABC,BCC平面ABC,且AC∩BC=C,所以AC?⊥平面ABC.

……………6分

因?yàn)锳C?C平面ACC?A?,所以平面ACC?A?⊥平面ABC7分

(2)解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,AC?所在直線分別為x軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系.

由題中數(shù)據(jù)可知A(0,0,0),A?(-2,0,2√3),B(-1,√3,0),

C(2,0,0),C?(0,0,2√3),

則CC?=(-2,0,2√3),BC=(3,—√3,0),AC?=(0,0,2√3),

.……9分

設(shè)平面AC?D的法向量為n=(x?,y?,z1),

令x?=√3,得n=(√3,5,0)11分

設(shè)平面BCC?B?的法向量為m=(x?,y2,≈2),

令x?=√3,得m=(√3,3,1).………13分

設(shè)平面AC?D與平面BCC?B?的夾角為θ,則

,即平面AC?D與平面BCC?B?夾角的余弦值……15分

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第4頁(yè)(共6頁(yè)】·26-170B·

18.解：(1)由題意可得解得a=2,b=1,…………………3分

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程……………………4分

(22)(i)由得(4k2+1)x2—8k2x+4k2—4=0,…………5分

則△=(-8k2)2—4(4k2+1)(4k2—4)=48k2+16>0.

設(shè)A(x?,y?),B(x?,y2),則,………6分

所以,即點(diǎn)D的坐標(biāo)為

,則直線OD的方程為…………7分

得……………………8分

………………9分

因?yàn)?所以,解得k=—1(k=1舍去).………10分

(ii)當(dāng)直線OA的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線OA的方程為y=k?x,A(x1,y?),B(x2,

y2).

得,則………11分

因?yàn)镺A·OB=0,所以O(shè)A⊥0B,則直線OB的方程為

同理可得,則……………………12分

……………14分

當(dāng)直線OA,OB中一條直線的斜率不存在時(shí)，另一條直線的斜率為0,

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第5頁(yè)(共6頁(yè))】·26-170B·

此時(shí)……………16分