【第23講：等比數(shù)列及其前N項(xiàng)和】【新高考課程標(biāo)準(zhǔn)要求】1.理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義：要求學(xué)生清楚等比數(shù)列的定義，即從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)（公比）。掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能理解其含義，知曉通項(xiàng)公式中各參數(shù)的意義，能夠利用通項(xiàng)公式解決相關(guān)問題，如已知首項(xiàng)、公比求某一項(xiàng)，或已知某幾項(xiàng)的值求首項(xiàng)、公比等。2.掌握等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：探索并掌握等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，理解公式的推導(dǎo)過程，尤其是錯(cuò)位相減法的應(yīng)用。同時(shí)要注意公式使用時(shí)需對(duì)和進(jìn)行分類討論。3.理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的關(guān)系：明白通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式之間是相互關(guān)聯(lián)的，可通過通項(xiàng)公式推導(dǎo)前項(xiàng)和公式，也可根據(jù)前項(xiàng)和公式求出通項(xiàng)公式（，），并能利用這種關(guān)系解決相關(guān)問題。4.能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系并解決相應(yīng)問題：學(xué)會(huì)從實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題情境中，識(shí)別出等比數(shù)列模型，將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的相關(guān)問題，如求通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和等，進(jìn)而利用等比數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行求解，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想。5.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：了解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，當(dāng)，且時(shí)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看作是指數(shù)函數(shù)的離散形式，從而借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來理解等比數(shù)列的一些性質(zhì)，如單調(diào)性等?！局R(shí)梳理】等比數(shù)列的定義 定義：如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示（）。即（為常數(shù)且）或（為常數(shù)且，）。 要點(diǎn)詮釋：等比數(shù)列中至少含有三項(xiàng)，且首項(xiàng)和公比均不為零。當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列，非零的常數(shù)列是特殊的等比數(shù)列。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 公式：，其中為首項(xiàng)，為公比。任意兩項(xiàng)，的關(guān)系為。 要點(diǎn)詮釋：通項(xiàng)公式可變形為，當(dāng)且時(shí)，可將看作自變量的函數(shù)，點(diǎn)是曲線上的一群孤立的點(diǎn)，體現(xiàn)了等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。等比中項(xiàng) 定義：如果在與中間插入一個(gè)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)，且，即（，均不為）。 要點(diǎn)詮釋：當(dāng)，同號(hào)時(shí)，，的等比中項(xiàng)有兩個(gè)；當(dāng)，異號(hào)時(shí)，沒有等比中項(xiàng)。在一個(gè)等比數(shù)列中，從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)。等比數(shù)列的性質(zhì) 若數(shù)列，是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列。特別地，若是等比數(shù)列，是不等于的常數(shù)，則也是等比數(shù)列。 在等比數(shù)列中，若，則。當(dāng)（，，）時(shí)，。 在等比數(shù)列中，每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為。 當(dāng)，，（，，）成等差數(shù)列時(shí)，，，成等比數(shù)列。等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式 公式：。 要點(diǎn)詮釋：公式推導(dǎo)使用了錯(cuò)位相減法。當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和等于首項(xiàng)的倍；當(dāng)時(shí)，需注意公式中的計(jì)算，以及根據(jù)已知條件合理選擇或進(jìn)行計(jì)算。等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì) 若，令，則（，，，），反之，若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足這種形式，則數(shù)列為等比數(shù)列。 等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則（）；若項(xiàng)數(shù)為，則（）。 等比數(shù)列前項(xiàng)和為（且），則，，仍成等比數(shù)列，其公比為（）。且?！菊n前自測(cè)】一、單選題1．（2025高三·廣東·專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，若，則（

）A．3 B．4 C．8 D．92．（24-25高二下·江蘇蘇州·期末）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比，且，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·浙江紹興·期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則其前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．二、多選題4．（24-25高一下·廣東廣州·期末）已知等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B．=126C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D．?dāng)?shù)列也是等比數(shù)列三、填空題5．（2025高三·廣東·專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比為2，且數(shù)列中的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，則.6．（24-25高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知等比數(shù)列的公比為，且，，成等差數(shù)列，則.題型題型分類知識(shí)講解與?？碱}型【考點(diǎn)一：等比數(shù)列的基本量運(yùn)算】【例題】1．（24-25高二下·北京大興·期末）設(shè)等比數(shù)列的公比，其前n項(xiàng)和為，則下列等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二下·陜西渭南·期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．8 B．16 C．32 D．64【針對(duì)訓(xùn)練】3．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．16 B．32 C．27 D．81多選題4．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．5．（23-24高三上·黑龍江佳木斯·期中）記正項(xiàng)嚴(yán)格遞增等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則.6．（24-25高三上·北京海淀·階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則．【解題策略】等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略等比數(shù)列的基本量核心是首項(xiàng)和公比（），所有運(yùn)算均圍繞這兩個(gè)量展開，核心思路是“列方程、解方程”，具體策略如下：一、明確基本量關(guān)系，建立方程模型1.依托通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式：根據(jù)題目已知條件（如某幾項(xiàng)的值、前項(xiàng)和的值、項(xiàng)與和的關(guān)系等），直接代入核心公式，構(gòu)建關(guān)于和的方程（組）。 通項(xiàng)公式： 前項(xiàng)和公式：2.優(yōu)先分析的情況：若直接使用的求和公式，可能遺漏的特殊情況（此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，），需先驗(yàn)證是否滿足題意，再討論的情況。二、簡(jiǎn)化運(yùn)算的關(guān)鍵技巧1.減少未知數(shù)數(shù)量： 若已知（某一項(xiàng)），可將表示為，代入其他公式（如），消去，僅保留作為未知數(shù)，降低方程復(fù)雜度。 若題目中涉及“項(xiàng)的比值”（如），可直接用表示，無需單獨(dú)求解。2.利用整體代換思想： 當(dāng)方程中出現(xiàn)或等整體形式時(shí)，可設(shè)其為中間變量（如設(shè)），先求中間變量，再反推和，避免直接求解高次方程。3.結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)簡(jiǎn)化條件： 利用“等比中項(xiàng)”：若（），則，將分散的項(xiàng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為乘積等式，減少公式代入步驟。 利用“前項(xiàng)和的片段性質(zhì)”：若為前項(xiàng)和，且，則仍成等比數(shù)列，可直接用比例關(guān)系列方程，無需涉及。三、注意運(yùn)算細(xì)節(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)1.公比的取值限制：時(shí)刻牢記；若題目未明確的符號(hào)，需考慮為正或負(fù)的情況（如已知，則，與同號(hào)，必為正）。2.高次方程的求解：當(dāng)方程涉及（為常數(shù)）時(shí)，需根據(jù)的奇偶性和的符號(hào)確定的解的個(gè)數(shù)（如僅有一解，有兩解）。3.驗(yàn)證解的合理性：解方程得到和后，需代入原題條件（如項(xiàng)的正負(fù)、前項(xiàng)和的數(shù)值）驗(yàn)證，排除不符合實(shí)際意義的解（如已知，則的解需舍去）。【考點(diǎn)二：等比數(shù)列的證明與判斷】【例題】1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．證明：是等比數(shù)列．2．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【針對(duì)訓(xùn)練】3．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列與滿足關(guān)系，對(duì)于有，．求證：是等比數(shù)列．4．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，．(1)令，證明：為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．5．（25-26高三上·廣東·開學(xué)考試）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求；(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)求的最值．【解題策略】一、核心前提：明確等比數(shù)列的本質(zhì)所有判斷與證明均圍繞兩個(gè)核心：①數(shù)列中無零項(xiàng)（任意項(xiàng)）；②從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與前項(xiàng)的比值為非零常數(shù)（公比）。二、三大核心方法（按條件匹配）方法1：定義法（適用于已知遞推關(guān)系，如）核心原理：對(duì)任意，（，常數(shù)），且首項(xiàng)。操作步驟：先驗(yàn)證（無零項(xiàng)的基礎(chǔ)）；計(jì)算（），通過代數(shù)變形化簡(jiǎn)；判斷結(jié)果是否為“非零常數(shù)”，是則為等比數(shù)列。避坑提醒：勿漏驗(yàn)，或僅驗(yàn)證、等有限項(xiàng)，需保證“對(duì)所有成立”。方法2：通項(xiàng)公式法（適用于已知表達(dá)式）核心原理：等比數(shù)列通項(xiàng)必為（，，即首項(xiàng)）。操作步驟：將整理為“常數(shù)×指數(shù)項(xiàng)”形式（如）；驗(yàn)證“常數(shù)≠0”且“指數(shù)項(xiàng)的底數(shù)≠0”；符合則為等比數(shù)列，底數(shù)即公比。避坑提醒：若（如），需變形為，再驗(yàn)證首項(xiàng)（12）非零。方法3：前項(xiàng)和法（適用于已知表達(dá)式）核心原理：等比數(shù)列前項(xiàng)和為（，）或（，，），需結(jié)合通項(xiàng)驗(yàn)證。操作步驟：求通項(xiàng)：時(shí)，時(shí)；驗(yàn)證是否滿足時(shí)的（不滿足則非等比）；用“通項(xiàng)公式法”判斷是否符合等比形式。避坑提醒：勿僅憑的形式判斷，需驗(yàn)證與的一致性（如，，時(shí)，非等比）。三、解題策略總結(jié)方法速選：遞推關(guān)系用“定義法”，已知用“通項(xiàng)法”，已知用“前項(xiàng)和法（先求）”；通用原則：所有步驟均需先驗(yàn)證“無零項(xiàng)”，證明時(shí)需體現(xiàn)“普遍性”（對(duì)所有成立），不憑個(gè)別項(xiàng)下結(jié)論。【考點(diǎn)三：等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】【例題】1．（2025·云南麗江·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．2014 B．2024 C．2025 D．20262．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，則（

）A． B．40C．30或 D．或40【針對(duì)訓(xùn)練】3．（24-25高二下·江西撫州·期末）在等比數(shù)列中，是方程的兩根，則的值為（

）A．-4 B．-2或2 C．-2 D．24．（2025·四川成都·一模）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的公比為（

）A．2 B． C． D．多選題5．（24-25高二下·四川南充·期末）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列選項(xiàng)中說法正確的是（

）A．若等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)B．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則C．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則成等差數(shù)列D．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，則的最大值為306．（24-25高二下·湖南邵陽·期末）在等比數(shù)列中，若，則．【解題策略】等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用解題策略等比數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)（記為公比，）的數(shù)列，首項(xiàng)記為（），通項(xiàng)公式為。一、核心性質(zhì)1.通項(xiàng)相關(guān)性質(zhì) 若，且，則（可概括為“角標(biāo)和相等，項(xiàng)的積相等”）。 推論：當(dāng)時(shí)，（即中間項(xiàng)是前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)）。 通項(xiàng)的推廣：（已知任意一項(xiàng)，可直接表示其他項(xiàng)，無需先求首項(xiàng)）。2.前項(xiàng)和相關(guān)性質(zhì)等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式分兩種情況：時(shí)，；時(shí)，，其關(guān)鍵性質(zhì)如下： 仍成等比數(shù)列（公比為，需滿足）。 若，則（可直接對(duì)比不同項(xiàng)數(shù)的前項(xiàng)和）。3.其他重要性質(zhì) 數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件：（，且所有項(xiàng)不為0，可用于證明或判斷等比數(shù)列）。 單調(diào)性：若且（或且），數(shù)列單調(diào)遞增；若且（或且），數(shù)列單調(diào)遞減；時(shí)，為常數(shù)列（）或擺動(dòng)數(shù)列（）。二、解題策略1.求基本量（）：“知三求二”等比數(shù)列有5個(gè)基本量，已知其中3個(gè)，可通過通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式建立方程（組）求解，核心是根據(jù)已知條件列等式，解出未知量。需注意：若題干未明確公比，需先判斷是否符合條件，再分情況計(jì)算。2.利用“角標(biāo)和性質(zhì)”簡(jiǎn)化計(jì)算當(dāng)題目涉及“項(xiàng)的積”或“等比中項(xiàng)”時(shí)，優(yōu)先使用“”的性質(zhì)，無需單獨(dú)求和，直接通過角標(biāo)關(guān)系推導(dǎo)項(xiàng)的乘積關(guān)系，縮短計(jì)算步驟。3.前項(xiàng)和的“片段和性質(zhì)”應(yīng)用涉及（即不同倍數(shù)項(xiàng)數(shù)的前項(xiàng)和）的關(guān)系時(shí)，直接套用“成等比數(shù)列”的性質(zhì)，需嚴(yán)格注意前提條件，避免因忽略前提導(dǎo)致錯(cuò)誤。4.證明數(shù)列是等比數(shù)列：緊扣定義或中項(xiàng)性質(zhì) 定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)，為常數(shù)（且該常數(shù)不為0，數(shù)列各項(xiàng)也不為0）。 中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)，（且數(shù)列各項(xiàng)不為0），二者均可作為證明的核心依據(jù)。5.實(shí)際應(yīng)用：建立等比數(shù)列模型針對(duì)“增長(zhǎng)率”“復(fù)利計(jì)息”“倍增/倍減”等實(shí)際問題，先確定模型類型（等比數(shù)列），再明確首項(xiàng)（初始數(shù)量）和公比（增長(zhǎng)/衰減率，增長(zhǎng)時(shí)增長(zhǎng)率，衰減時(shí)衰減率），最后根據(jù)通項(xiàng)公式或前項(xiàng)和公式計(jì)算目標(biāo)量。三、易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.忽略公比限制：公比，且使用前項(xiàng)和公式時(shí)需分和討論，避免直接套用的公式導(dǎo)致漏解。2.誤判“片段和性質(zhì)”前提：成等比數(shù)列的前提是，需先驗(yàn)證是否為0，再應(yīng)用性質(zhì)。3.忽略項(xiàng)的符號(hào)：等比數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)由首項(xiàng)和公比共同決定（為負(fù)時(shí)項(xiàng)會(huì)正負(fù)交替），計(jì)算“等比中項(xiàng)”等問題時(shí)，需考慮項(xiàng)的正負(fù)兩種可能（除非題干明確數(shù)列各項(xiàng)為正）。課后針對(duì)訓(xùn)練課后針對(duì)訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．1022 B．1023 C．1024 D．10252．（24-25高二下·北京海淀·期中）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為（p為常數(shù)），且的公比為q，則（

）A．4 B．2 C．1 D．03．（24-25高二下·陜西漢中·期末）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．4 B．6 C．7 D．84．（24-25高二下·河南南陽·期末）已知等比數(shù)列的公比為.設(shè)甲：為遞減數(shù)列，乙：，，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．不存在6．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且，則（

）A． B． C． D．177．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，且成等比數(shù)列，則（

）A．－5或1 B．－5 C．－3 D．－3或18．（25-26高三上·廣