第15講圓錐曲線的方程與性質(zhì)（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]高考對這部分知識(shí)的考查側(cè)重三個(gè)方面：一是求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；二是求橢圓的離心率、雙曲線的離心率以及漸近線問題；三是拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用問題．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一:圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)F不在定直線l上，PM⊥l于點(diǎn)M.2．求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”“定型”：確定曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；“計(jì)算”：利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值．易錯(cuò)提醒求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)的常見錯(cuò)誤雙曲線的定義中忽略“絕對值”致錯(cuò)；橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混，橢圓中的關(guān)系式為a2＝b2＋c2，雙曲線中的關(guān)系式為c2＝a2＋b2；確定圓錐曲線的方程時(shí)還要注意焦點(diǎn)位置．【例1】（2024·新疆·二模）設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的最大值為(

)A． B． C． D．6【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且，為的內(nèi)心，若，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為為橢圓上異于的任意一點(diǎn)，且，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高三上·天津和平·期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的其中一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線與雙曲線交于點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)1．求離心率通常有兩種方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根據(jù)條件建立關(guān)于a，b，c的齊次式，消去b后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．2．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共漸近線bx±ay＝0的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．考向1橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)【例2】（2024·山東聊城·一模）設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若的一條漸近線的傾斜角為，且，則的焦距等于（

）A．1 B． C．2 D．4【變式1】（2024·湖北·二模）已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線的傾斜角分別為，則；當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為．【變式2】（23-24高三上·重慶·期末）已知，分別是雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)，過作一直線交C于M，N兩點(diǎn)，若，且的周長為1．則C的焦距為．【變式3】2024高三上·全國·競賽）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，的斜率為2，則的斜率為．考向2離心率問題【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，直線過點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)恰好在橢圓上，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·湖北·二模）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2】（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線都相交且交點(diǎn)都在軸左側(cè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·陜西西安·二模）如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，三點(diǎn)共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．3考點(diǎn)三：拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用拋物線的焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常見結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，弦AB的長最短為2p.規(guī)律方法利用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，要注意利用定義構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何圖形(如三角形、直角梯形等)來溝通已知量與p的關(guān)系，靈活運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦的特殊結(jié)論，使問題簡單化且減少數(shù)學(xué)運(yùn)算．【例4】（22-23高三下·河南安陽·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上．若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，．【變式1】（2024·新疆烏魯木齊·二模）拋物線過點(diǎn)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)E是C的準(zhǔn)線與C的對稱軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若，則（

）A． B． C． D．【變式3】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2024·廣東·一模）雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（

）A． B．1 C． D．2．（23-24高三上·北京西城·期末）已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是，漸近線為，則C的方程是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三下·貴州·階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A．7 B．9 C．13 D．154．（2023·四川南充·模擬預(yù)測）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距等于，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．5．（2023·甘肅酒泉·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．（23-24高三下·四川·期末）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，已知到雙曲線H的一條漸近線的距離為，則為（

）A．4 B． C．6 D．87．（2024高三·全國·專題練習(xí)）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，已知，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．（2024·遼寧·一模）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且軸，若，則的長軸長為（

）A． B． C． D．二、多選題1．（2024·遼寧·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則以下命題正確的是（

）A．的最小值是2B．C．當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4時(shí)，存在點(diǎn)，使得D．若是等邊三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是32．（2024·安徽阜陽·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為兩點(diǎn)都在上，，三點(diǎn)共線，（不與重合）為上頂點(diǎn)，則（

）A．的最小值為4 B．為定值C．存在點(diǎn)，使得 D．3．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）點(diǎn)在拋物線上，為其焦點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為.B．周長的最小值為.C．當(dāng)最大時(shí)，直線的方程為.D．過作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，的橫坐標(biāo)是1.三、填空題1．（2024·陜西榆林·二模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，寫出的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：.2．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）若直線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且與該雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為.3．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬，杯深，稱為拋物線酒杯.在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的最大值為.四、解答題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.過點(diǎn)做兩條互相垂直的弦、，設(shè)弦、的中點(diǎn)分別為.(1)求拋物線的方程；(2)過焦點(diǎn)作，且垂足為，求的最大值.2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若，試問：是否存在直線，使得點(diǎn)M在以為直徑的圓上?請說明理由．(3)點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．3．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測）已知橢圓E：過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過橢圓E的右焦點(diǎn)F作斜率為的直線l交橢圓E于點(diǎn)A，B，直線l交直線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，直線AQ交x軸于C，直線BQ交x軸于D，求證：點(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn)．4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的長軸長為4，離心率