第18講平面向量的數量積及其應用題型梳理題型梳理易錯分析易錯點一混淆向量數量積運算與數乘運算題型方法題型一求平面向量的數量積題型二求平面向量的投影向量題型三平面向量的垂直問題題型四平面向量的模的問題題型五平面向量的夾角問題知識清單知識清單知識點01向量的夾角已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．知識點02平面向量的數量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數量積，記作a·b.知識點03平面向量數量積的幾何意義設a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．記為|a|cosθe.知識點04向量數量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.知識點05平面向量數量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.幾何表示坐標表示數量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))常用結論1．平面向量數量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有關向量夾角的兩個結論(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.易錯分析易錯分析【易錯點一】混淆向量數量積運算與數乘運算【例1】（2025·云南玉溪·模擬預測）已知向量滿足，，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】對兩邊平方求出，再對平方運算可得答案.【詳解】因為，，所以，可得，則.故選：D.【舉一反三】【變式1】（2025·湖南邵陽·模擬預測）已知向量，滿足，且，若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由，利用向量數量積的運算即可求解.【詳解】由題意有，解得，故選：B.【變式2】（2025·廣西柳州·模擬預測）已知與的夾角，則.【答案】6【分析】根據平面向量數量積的定義及運算律求解即可.【詳解】由與的夾角，則.故答案為：6.【變式3】（2023·四川成都·模擬預測）已知的內角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，，，求的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理計算可得；（2）根據向量的線性運算得到，設，根據數量積的運算律及定義得到關于的方程，解得，最后由余弦定理計算可得.【詳解】（1）由得，由余弦定理，又，所以；（2）因為，所以，設，則，整理得，解得或（舍去），所以，則.題型方法題型方法【題型一】求平面向量的數量積【例1】（2022·全國乙卷·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據給定模長，利用向量的數量積運算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.解題技巧計算平面向量數量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐標運算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求數量積．(4)靈活運用平面向量數量積的幾何意義【舉一反三】【變式1】（2025·江蘇泰州·模擬預測）已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將題干條件平方處理，得出，然后對待求表達式也平方處理即可得解.【詳解】由，則，解得，于是，故.故選：B【變式2】（2025·湖南岳陽·模擬預測）已知菱形中，點，則．【答案】50【分析】連接，交于點，由菱形的特點可得為，的中點，且，進而根據平面向量的模的坐標表示及數量積的運算律求解即可.【詳解】連接，交于點，則為，的中點，且，由，則，即，所以.故答案為：50.【變式3】（2025高三·全國·專題練習）已知，，對任意的單位向量恒成立，求的最大值．【答案】【知識點】平面向量數量積的幾何意義、數量積的運算律、已知模求數量積【分析】根據，當且僅當在單位向量上的投影向量方向相同時等號成立，及題意得出恒成立，再根據數量積的運算律，轉化為成立，進而得出，平方后即可求解.【詳解】因為，當且僅當在單位向量上的投影向量方向相同時等號成立，所以由題意知，即恒成立，即恒成立，從而成立．因為恒成立，所以，即，所以，即的最大值為．【題型二】求平面向量的投影向量【例2】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預測）向量，，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，利用投影向量的定義求解.【詳解】向量，，則，，所以向量在方向上的投影向量為.故選：D【舉一反三】【變式1】（2025·貴州貴陽·模擬預測）已知向量和滿足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】數量積的坐標表示、求投影向量【分析】先計算向量，再應用投影向量公式計算求解.【詳解】，則向量，則在的投影向量為，故選:A．【變式2】（2025·河北·模擬預測）設非零向量、的夾角為，，在方向上的投影向量為，則．【答案】/【分析】由投影向量的定義可求得的值.【詳解】由題意可知，在方向上的投影向量為，故.故答案為：.【變式3】（2022·河南·模擬預測）已知向量，滿足，，.(1)求與的夾角；(2)求在上的投影向量的模.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據向量的數量積公式，結合化簡可得，再用向量的夾角公式計算可得從而求得；（2）根據，結合投影向量模的公式計算即可【詳解】（1）因為，即，又，，所以，即，解得.所以.因為，所以.（2）因為，所以，所以在上的投影向量的模為.【題型三】平面向量的垂直問題【例3】（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據向量的坐標運算求出，，再根據向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．【舉一反三】【變式1】（2025·北京大興·三模）已知平面向量，，若，則實數（

）A． B．1 C．或1 D．4【答案】C【分析】根據向量垂直的坐標表示即可求出的值.【詳解】因為，所以.因為，所以所以.解得.故選：C.【變式2】（2023·海南?？凇つM預測）已知向量，不共線，，，寫出一個符合條件的向量的坐標：.【答案】（答案不唯一）【分析】設，由平行的坐標表示可得，再由數量積的定義可得，即可得出答案.【詳解】由題意得，，則，設，得，且，滿足條件的向量的坐標可以為（答案不唯一或者）.故答案為：（答案不唯一）【變式3】（2020·江蘇蘇州·模擬預測）已知平面向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，得，由此能求出．（2）由，得，推導出，，由此能求出．【詳解】解：（1）平面向量，，，，解得，．（2），，，若，則，不滿足上式，舍，，，．【點睛】本題考查三角函數值的求法，考查向量平行、向量垂直的性質等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．【題型四】平面向量的模的問題【例4】（2025·北京·高考真題）在平面直角坐標系中，，.設，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據，求出，進而可以用向量表示出，即可解出．【詳解】因為，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故選：D.解題技巧求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②幾何法：利用向量的幾何意義．【舉一反三】【變式1】（2025·海南·模擬預測）已知平面向量滿足，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】將兩邊平方，可得，繼而根據，即可求得答案.【詳解】由于，，故，即，則，故，故選：D【變式2】（2023·全國·模擬預測）已知平面向量滿足，則實數的值為．【答案】1或【分析】結合平面向量的相關知識，將兩邊平方，計算即可.【詳解】將兩邊平方，得，得，即，解得或．故答案為：或.【變式3】（2023·全國·模擬預測）中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，．(1)，時，求CD的長度；(2)若CD為角C的平分線，且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意，可得，然后根據向量的模長計算公式，即可得到結果；（2）根據題意，可得，然后結合三角形的面積公式即可得到，從而得到的面積.【詳解】（1）當時，則所以，∴．（2）因為，即，∴，又，∴，則，∴．【題型五】平面向量的夾角問題【例5】（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.【詳解】因為，所以，則，，所以.故選：B.解題技巧求平面向量的夾角的方法①定義法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；②坐標法．(3)兩個向量垂直的充要條件a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)【舉一反三】【變式1】（2025·全國·模擬預測）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據已知向量，，利用向量減法求出和，再通過點積計算求出，通過模長計算求出和，利用向量夾角的余弦公式求解.【詳解】，......故選：C.【變式2】（2025·上海徐匯·二模）已知是正方形，點是的中點，點在對角線上，且則的大小為.【答案】/【分析】建立平面直角坐標系，求出點的坐標，利用數量積即可求解.【詳解】以點為坐標原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，設，則有，由有，所以，所以，所以，即，所以，故答案為：.【變式3】（2024·河南鄭州·模擬預測）如圖，在中，已知，，，，點為邊的中點，，相交于點．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由為中點得，在中，通過余弦定理即可求；（2）建立平面直角坐標系，求，，由數量積夾角公式得，并計算即可.【詳解】（1）因為，且為中點，所以.由余弦定理得：，即，所以，即．（2）如圖，以為原點，直線為軸，過點作的垂線為軸，建立平面直角坐標系，則，，，，設點，由可得：，即解得：，所以，，則，所以．好題必刷好題必刷一、單選題1．（2025·江西·模擬預測）若向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量垂直的坐標運算，化簡即可得到答案.【詳解】由，得，因為，所以，所以.故選：A.2．（2025·陜西延安·模擬預測）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據向量線性運算和向量數量積運算的坐標表示，求出參數，再求出結果.【詳解】由，可得，因為，所以，即，解得，則，則.故選：A.3．（2025·江蘇連云港·模擬預測）已知為的高，且，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】，根據垂直計算即可.【詳解】因為為的高，所以,故選：A.4．（2025·湖南永州·模擬預測）已知，求與在上的投影長度的比值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先根據向量數量積公式求出，再根據向量投影公式求出在上的投影長度，最后求它們的比值．【詳解】因為．所以．所以向量在上的投影長度為，故與在上的投影長度的比值為．故選：B5．（2025·湖南婁底·模擬預測）已知向量，，若，則實數（

）A． B．或 C．或1 D．【答案】B【分析】應用向量數量積的運算律將條件化為，再由向量模長的坐標運算列方程求參數值.【詳解】由兩邊平方化簡得，所以，即，化簡得，解得或.故選：B二、多選題6．（2025·河北·模擬預測）已知平面向量，，若，則下列說法正確的是（

）A．與的夾角 B．C． D．在方向上的投影向量為【答案】AD【分析】根據數量積公式及題中條件即可判斷選項A，B；根據數量積的運算律及垂直的向量表示即可判斷選項C；根據在方向上的投影向量的計算公式即可判斷選項D.【詳解】∵，∴，∴.又，∴，故選項A正確；∵，∴，當且僅當時，，故選項B錯誤；∵，∴，即，∴或，故選項C錯誤；在方向上的投影向量，故選項D正確.故選：AD.7．（2025·貴州黔南·模擬預測）已知向量，且在方向的投影向量為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】對于A，由向量共線的坐標形式求解后可判斷正誤；對于B，由向量垂直的坐標形式求解后可判斷正誤，對于CD，利用投影向量公式計算后可判斷正誤.【詳解】對于A，因為，故，故，故A錯誤；對于B，因為，故，整理得，故，故，故B正確；對于C，由題設有在方向的投影向量為，故，故即，故C錯誤，對于D，由C的分析可得，故，故D成立.故選：BD.8．（2025·陜西漢中·一模）已知向量，，則（

）A．B．C．D．在方向上的投影向量坐標是【答案】BD【分析】應用向量的坐標運算求模長、夾角，結合投影向量的定義求投影向量，即可判斷各項正誤.【詳解】對于A：，錯誤；對于B：，正確；對于C：，錯誤；對于D：在方向上的投影向量坐標是，正確.故選：BD.三、填空題9．（2025·浙江嘉興·二模）已知向量，若，則．【答案】【分析】根據向量垂直的坐標形式可求的值.【詳解】因為，故，即，故答案為：10．（2025·遼寧·模擬預測）已知向量，，則在上的投影向量的坐標為.【答案】【分析】根據平面向量的坐標運算求，，再結合投影向量的定義求解即可.【詳解】由，，得，，則向量在上的投影向量的坐標為.故答案為：.11．（2025·湖北武漢·模擬預測）在中，，，為所在平面內的動點，且，則的最小值為．【答案】【分析】可證，延長至，使得，連接，則為的垂直平分線，根據對稱可求得的最小值.【詳解】因為，故，故，故，所以，延長至，使得，連接，則為的垂直平分線，故，故，當且僅當共線時等號成立，而，故的最小值為.故答案為：.四、解答題12．（2025·天津河北·模擬預測）已知向量，，．(1)求的坐標，的值；(2)若，求實數k的值；(3)若，求實數k的值．【答案】(1)，；(2)；(3).【分析】（1）由向量線性關系和模長的坐標運算求坐標和；（2）由向量平行的坐標表示列方程求參數；（3）由向量垂直的坐標表示列方程求參數.【詳解】（1）由題設，；（2）由題設，又，所以，則，可得；（3）由（2）及，則，可得.13．（2025·安徽·三模）在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)設的垂心為，若.①求的值；②求的值.【答案】(1)(2)①；②【分析】(1)根據正弦定理,由邊化角,再根據兩角和的正弦公式變換化簡,求出結果.(2)根據垂心的向量性質,寫出數量積的表達式,求出比值.再根據余弦定理求出結果.【詳解】（1）因