微分方程的基本概念第一節(jié)

第七章解:設(shè)所求曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）引例1.一曲線通過點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的①(C為任意常數(shù))由②得C=因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程方程為y=y(x),1,引例2.列車在平直路上以的速度行駛,獲得加速度求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:設(shè)列車在制動(dòng)后

t

秒行駛了s

米,已知利用后兩式可得因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為即求s

=s(t).制動(dòng)時(shí)

v

方程中含有未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)方程中含有未知函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)共性：兩個(gè)引例得出的式子均含有

未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)微分方程(微分）特點(diǎn)：特點(diǎn)：一、微分方程的定義與分類

定義1：凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫做微分方程。

例都是微分方程。例分類：

定義2：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階。一階微分方程：高階（n階）微分方程：是一階微分方程；是二階微分方程。

一階微分方程、高階（n階）微分方程

確切地說，對(duì)于給定的微分方程

定義3：代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之為微分方程的解。

如果函數(shù)

在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足微分方程

那么稱函數(shù)

是微分方程在區(qū)間I上的解。

引例2引例1

微分方程的解二、微分方程的解的概念y=exy=sinx+cosx

特解的圖象：微分方程的積分曲線。2.特解：確定了通解中任意常數(shù)以后的微分方程的解。

1.通解：包含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同的微分方程的解。

微分方程的解分為：

通解的圖象：微分方程的積分曲線族。引例2引例1

通解:特解:即：求過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線

斜率為定值的積分曲線。即：求過定點(diǎn)的積分曲線；

初始條件：用來確定通解中任意常數(shù)的特定條件。三、初值問題

一階：

二階：

初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題?！?/p>

確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):定解條件初值問題的幾何意義有n個(gè)的通解，并求滿足初始條件的特解。

例3-4

驗(yàn)證函數(shù)是微分方程將和的表達(dá)式代入原方程，有：

故是原方程的通解。

故所求特解為

x引例2.求微分方程的通解.兩端積分得即(C

為任意常數(shù))引例1.解微分方程dy=3x2dxy=x3+C兩端積分可分離變量的微分方程分離變量法隱函數(shù)確定的微分方程的解微分方程的隱式通解第二節(jié)可分離變量的微分方程求解步驟：(變量分離法)1、分離變量,得2、兩端積分,得3、求出通解

分離變量

兩端積分

1.1.1.2.解根據(jù)題意,有對(duì)方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:C=M0（2x,0）（0,2y）切線和x軸，y軸的交點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件;2.可分離變量方程的求解方法:說明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個(gè)解.例如,方程分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).解;階;