2026屆安徽省池州市高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若向量則（）A. B.3C. D.2．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例（即百分比）為“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分別分得，，，，遞減的比例為，那么“衰分比”就等于，今共有糧石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和為石，則“衰分比”為（）A. B.C. D.3．如果雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.4．下面四個說法中，正確說法的個數(shù)為（）（1）如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合；（2）兩條直線可以確定一個平面；（3）若，，，則；（4）空間中，兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi).A.1 B.2C.3 D.45．過點與直線平行的直線的方程是（）A. B.C. D.6．橢圓的焦點坐標(biāo)是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）7．平行直線：與：之間的距離等于（）A. B.C. D.8．在各項均為正數(shù)等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則=（）A. B.C. D.9．橢圓的焦點坐標(biāo)為（）A.和 B.和C.和 D.和10．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.11．已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，過坐標(biāo)原點作兩條互相垂直的射線，，與分別交于，則直線過定點（）A. B.C. D.12．函數(shù)在單調(diào)遞增的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是，AB，的中點，則直線與GF所成角的大小是______（用反三角函數(shù)表示）14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則的值為__________.15．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則______16．寫出一個數(shù)列的通項公式____________，使它同時滿足下列條件：①，②，其中是數(shù)列的前項和.（寫出滿足條件的一個答案即可）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R時，證明l與C總相交；（2）m取何值時，l被C截得的弦長最短？求此弦長18．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點和.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點且斜率存在的直線與圓交于，兩點，且，求直線的方程.20．（12分）在①；②，這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.21．（12分）已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：（，）的離心率為，點P在雙曲線C上，點，分別為雙曲線C的左右焦點，.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點，，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.22．（10分）已知等差數(shù)列的前項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先求得，然后根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)運算求得【詳解】由于向量，，所以.故故選：D2、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【詳解】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，又由今共有糧食石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和為164石，則，，解得：，，故選：A3、D【解析】根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，然后將點代入，進(jìn)而求得答案.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以設(shè)雙曲線方程為，將代入得：，即雙曲線方程為.故選：D.4、A【解析】如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，即可判斷；利用兩條異面直線不能確定一個平面即可判斷；利用平面的基本性質(zhì)中的公理判斷即可；若兩兩相交的三條直線相交于同一點，則相交于同一點的三直線不一定在同一平面內(nèi)（如棱錐的3條側(cè)棱），即可判斷.【詳解】如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，故（1）不正確；兩條異面直線不能確定一個平面，故（2）不正確；利用平面的基本性質(zhì)中的公理判斷（3）正確；空間中，若兩兩相交的三條直線相交于同一點，則相交于同一點的三直線不一定在同一平面內(nèi)（如棱錐的3條側(cè)棱），故（4）不正確，綜上所述只有一個說法是正確的，故選：A【點睛】本題主要考查了空間中點，線，面的位置關(guān)系.屬于較易題.5、A【解析】根據(jù)題意利用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】解：過點的直線與直線平行，，即.故選：A.6、A【解析】根據(jù)橢圓的方程求得的值，進(jìn)而求得橢圓的焦點坐標(biāo)，得到答案.【詳解】由橢圓，可得，則，所以橢圓的焦點坐標(biāo)為和.故選：A.7、B【解析】先由兩條直線平行解出，再按照平行線之間距離公式求解.【詳解】，則：，即，距離為.故選：B.8、A【解析】利用等差中項的定義以及等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵成等差數(shù)列，∴，即，解得或（舍去），∴，故選：.9、D【解析】本題是焦點在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點坐標(biāo).【詳解】，可得焦點坐標(biāo)為和.故選：D10、C【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦定理分別討論當(dāng)為鈍角時的取值范圍，根據(jù)雙曲線的對稱性，可以只考慮點在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據(jù)雙曲線的對稱性不妨考慮點在雙曲線第一象限部分：當(dāng)為鈍角時，在中，設(shè)，有，，即，，所以；當(dāng)時，所在直線方程，所以，，，根據(jù)圖象可得要使，點向右上方移動，此時，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點睛】此題考查雙曲線中焦點三角形相關(guān)計算，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何意義結(jié)合特殊情況分類討論，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.11、A【解析】由橢圓方程可求得坐標(biāo)，由此求得拋物線方程；設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，根據(jù)可得，由此構(gòu)造方程求得，根據(jù)直線過定點的求法可求得定點.【詳解】由橢圓方程知其焦點坐標(biāo)為，又拋物線焦點，，解得：，則拋物線的方程為，由題意知：直線斜率不為，可設(shè)，由得：，則，即，設(shè)，，則，，，，，解得：或；又與坐標(biāo)原點不重合，，，當(dāng)時，，直線恒過定點.故選：A.【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.12、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上恒成立，求出的范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷得解.【詳解】由題得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒成立，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，選項中只有是的必要不充分條件.選項AC是的充分不必要條件，選項B是充要條件.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】連接，由得出直線與GF所成角，再由余弦定理得出直線與GF所成角的大小.【詳解】連接，因為，所以直線與GF所成角為.設(shè)，則，，，又異面直線的夾角范圍為，所以直線與GF所成角的大小是.故答案為：14、【解析】由題知，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解：因為向量，所以，所以故答案為：15、77【解析】依題意利用等差中項求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意可得，則，故故答案為：77.16、(答案合理即可)【解析】當(dāng)時滿足，利用作差比較法即可證明.【詳解】解：當(dāng)時滿足條件①②，證明如下：因為，所以；當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上，.故答案為：(答案合理即可).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）當(dāng)時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.【解析】（1）求出直線l的定點，進(jìn)而判斷定點和圓C的位置關(guān)系，最后得到答案；（2）當(dāng)圓心C到直線l的距離最大時，弦長最短，進(jìn)而求出m，然后根據(jù)勾股定理求出弦長.【詳解】（1）直線l的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，則l過定點P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交（2）圓的C方程可化為：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如圖所示，當(dāng)圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時，弦AB的長度最短，此時PC⊥l，又，所以直線l的斜率為，則，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.故當(dāng)時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.18、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求得，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）利用參變量分離法可得出對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，.因為，由，可得.①當(dāng)時，由可得，由可得.此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；②當(dāng)時，由可得，由可得，此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】解：當(dāng)且時，由，可得，令，其中，.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則，.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓心，由題意得，，結(jié)合兩點間的距離公式求解的值，則圓心與半徑可求，圓的方程可求；（2）若直線的斜率不存在，設(shè)直線的方程為，符合題意，若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，即，由圓心到直線的距離與半徑關(guān)系求得，則直線方程可求【小問1詳解】解：（1）設(shè)圓心，由題意得，，，解得.圓心坐標(biāo)為，半徑.則圓的方程為；【小問2詳解】解：（2）直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，，圓心到直線的距離，即，解得，得直線的方程為.20、條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合正余弦的和差角公式化簡可得，得出；若選擇②，利用余弦定理及面積公式可得，得；（2）由（1）可知，由及得，，再根據(jù)余弦定理求解的值.【詳解】解析：（1）選擇條件①.，，得，選擇條件②，由余弦定理及三角形的面積公式可得：，得.（2）由得，∵，，∴，解得.由余弦定理得：.【點睛】本題考查解三角形，難度一般.解答的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中邊角關(guān)系，運用正弦定理進(jìn)行邊角互化、再根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡是關(guān)鍵.一般地，當(dāng)?shù)仁街泻衋,b,c的關(guān)系式，且全為二次時，可利用余弦定理進(jìn)行化簡；當(dāng)含有內(nèi)角的正弦值及邊的關(guān)系，且為一次式時，可考慮采用正弦定理進(jìn)行邊角互化.21、（1）（2）證明見解析【解析】(1)根據(jù)題意和雙曲線的定